すべては対数である

すべては対数である 2026年5月25日 私が他で見たことのない、いくつかの物事の間のつながり。これらは何か意味があるのだろうか？\n\n1. 基数なし対数\n\n通常、対数は基数 \(\log_b (x)\) を伴って書かれ、これは \[y = \log_b (x) \Lra b^y = x\] を意味します。そして、対数の基数を \[\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a(b)}\] で変更できます。これは \(\log_a (x) = \log_a (b^{\log_b x}) = \log_b (x) \times \log_a (b)\) を並べ替えることで導かれます。\n\nこの公式が何をしているのかを考える一つの方法は、それが単位の変更であるということです。\(2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}}\) や \(5 \text{ bytes} = 40 \text{ bits}/\frac{8 \text{ bits}}{1\text{ byte}}\) と書くのと似ています。これは「\(x\) の中に \(b\) がいくつあるか？」を尋ねています。それは \(x\) の中にある \(a\) の数の、\(b\) の中にある \(a\) の数で割ったものです。これは完全に単純ですが、なぜかそのように対数を考えるのは難しいです。この表記法が…物事を曖昧にしているのでしょうか？特に \(\log_b x\) を「\(x\) の中に \(b\) がいくつあるか」と読むのは難しいです。なぜなら、その英語表現は \(\log_b x\) ではなく \(x/b\) という表記に対応するはずだからです。\n\n私は対数をより明確にすると思われる考え方を見つけましたが、それは私が基数なし対数と呼ぶ一種の奇妙なオブジェクトを許容する必要があります。それは単に基数を持たない対数です。\[\log N\] これを数値ではなく抽象的なオブジェクトと見なします。そして、通常の「基数付き」対数を、これら2つの基数なし対数の比として書きます。\[\log_2 N = \frac{\log N}{\log 2}\]\n\nこれは、漸近式における対数の基数を省略するなど、人々が口語的に行っていることの一種であることに注意してください。しかし、私はそれを略記として意味しているわけではありません。それを実際の代数的オブジェクトと見なすことが有用です。\(\log 2\) を単位「ビット」であると解釈します。\(\log N\) をビットで書くということは、それを \(\log 2\) の倍数として因数分解することです。\[\log N = \frac{\log N}{\log 2} \log 2 = \log_2 (N) \log 2 = \log_2 (N) \text{ bits}\]\n\nそうすると、対数の基数変換は、同じ幾何学的量を異なる単位で書くことから導かれます。例えば、単位としての \(\log e\) は「ナット (nats)」と呼ばれることがあります。\[\begin{aligned} \log N = \frac{\log N}{\log 2} \log 2 = \log_2 (N) \text{ bits} = \frac{\log N}{\log e} \log e = \ln (N) \text{ nats} \end{aligned}\]\n\n基数なしの \(\log N\) は、ベクトルの議論でおなじみかもしれないオブジェクトの乗法版のようなものです。ベクトルでは、点と変位を区別するのが一般的です。変位ベクトル \(\b{v}\) は、2つの点の差 \(\v = (b) - (a)\) によって与えられます。点を座標を持つものと考える場合、これは原点 \(\O\) の明示的な選択を伴い、\(\b{a} \equiv (a) - \O\) および \(\b{b} \equiv (b) - \O\) となります。そうすると、変位ベクトルは \(\O\) の因子を差し引くことで構成されます。\(\b{v} = \b{b} - \b{a} = ((b) - \O) - ((a) - \O) = (b) - (a)\)。\n\n基数なし対数は、同じことを乗法で実装します。値 \(\log N\) は、指定されていない原点の選択に対する \(\log N / \log \O\) と考えることができます。それを実際の数値に変換するには、2つのそのような対数を割って原点を打ち消す必要があります。\(\log_M N = \log N / \log M = (\log N / \log \O) / (\log M / \log O)\)。私は \(\log N\) を \(N\) に対応する点と見なし、\(\log N / \log \O\) を座標系を選択したときの対応する変位ベクトルと見なします。私は点をより基本的なものと考えることを好みます。\n\nあなたは尋ねるかもしれません。「もし基数なし対数 \(\log N\) があるなら、「基数なし指数」もあるのだろうか？」通常、\(b^{\log_b N}\) は \(b^{\log_b N} = b^{\ln N / \ln b} = e^{\ln N} = N\) のように書くことができます。これを実際に基数を選択せずに実現する方法はあるのでしょうか？私は答えは「ノー」でなければならないと思います。私たちが言えるのは、\(b^y = N\) の解である一つのオブジェクト、対数 \(\log_b N\) を、それぞれがそれ自体では「単位」を持たず、数値的な意味を持たない2つのオブジェクト、\(\log N\) と \(\log b\) に分割したということです。これは空間の点とまったく同じです。点それ自体は加算の操作を持たず、長さも持ちません。点を引いてベクトル（対称群に対して）を生成することはできますが、加算することはできません。そして、座標における通常の操作はすべて原点の選択を必要とします。実際、対数とベクトルの間には多くの驚くべき類似性があります。\n\n2. 対数はベクトルである\n\n適切に共変的な方法でベクトル代数と微分幾何学を行う際には、抽象ベクトルと特定の座標系におけるベクトルを区別します。私の個人的な慣習では、抽象ベクトルを「幾何学的」ベクトルと呼び、常に太字 \(\v\) で書き、一方、座標における値のタプルである「座標」ベクトルは、矢印を上にして \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\) と書きます。太字の幾何学的ベクトルは常に座標系に依存しませんが、座標ベクトルは単なる数値や他のオブジェクトの集合です。\n\n幾何学的ベクトル \(\b{v}\) は、その座標と基底ベクトルからなる「フレーム」\(X = (\x, \y, \z)\) との内積として書くことができます。\[\b{v} = \vec{v} \cdot X = (v_x, v_y, v_z) \cdot (\x, \y, \z) = v_x \x + v_y \y + v_z \z\]\n\n\(\v\) の基底ベクトル \(\x\) への射影は、ベクトルを基底ベクトルに対して「測定する」ことで与えられます（基底ベクトルは単位長さである必要はありません）。私はこれを割り算のように動作するため、割り算として書くのが好きです（ただし、技術的には擬似割り算です）。\[\frac{\v}{\x} = v_x\] これは、ここでのベクトル割り算に対する私自身の非常に非標準的な表記法1です。より一般的な書き方は、偏微分で微分 \(df = f_x dx + f_y dy + f_z dz\) の成分を射影することです。これも擬似割り算の操作です（これは偶然にも、偏微分が割り算のように機能するが、実際にはそうではないという感覚です）。\[\frac{\p f}{\p x} = f_x\]\n\n両方の形式で記述して、それらを簡単に翻訳できるようにします。私は微分計算の無関係な表記法を持ち込まないため、私のベクトル割り算のバージョンを好みますが、後者は実際に標準であるため、比較のために含めるべきです。\n\n\(\b{v}\) が一次元であると仮定します。\(\b{v} = v_x \x\)。このとき、「物差し」\(\b{m} = m \x\) への射影は、\(m\) の倍数でその長さを測定します。\[\frac{\v}{\b{m}} = \frac{v_x \x}{m \x} = \frac{v_x}{m}\]\n\n再び \(\b{m}\) を掛けることが、「\(\b{v}\) を \(\b{m}\) の単位で書く」という意味です。\[\frac{\b{v}}{\b{m}} \b{m} = (\frac{v_x}{m}) \text{m} \x\] (微分では、これは \(f\) の \(dx\) 成分に限定された微分です。\(\frac{\p f}{\p x} dx = f_x dx = df \mid_{x}\)。これは非常に興味深いオブジェクト（共変微分）ですが、このようにはあまり書かれません。ちなみに、ここでは本当に重要ではありませんが、極座標形式 \(\v = v_r \r + v_{\theta} \theta\) で任意のベクトル \(\v = v_x \x + v_y \y + v_z \z\) を書き換え、次に \(\r\) に射影することで、ベクトルの長さのすべての測定をこの方法で考えることができます。\(\| \v \| = \v/\r\)。これは物事をよく見る良い方法になりがちです。)\n\n基数なし対数は、対数に対して同じ操作を実行します。ここで、\(\log N\) は幾何学的ベクトル \(\v\) の役割を、\(\log 2 = \text{bits}\) は単位ベクトルまたは物差しの役割を果たし、\(\x\) の役割を担います。\[\begin{aligned} \frac{\log N}{\log 2} &= \log_2 N \\ \frac{\log N}{\log 2} \log 2 &= \log_2 N \text{ bits} \end{aligned}\] この意味で、基数なし対数は、物差しがベクトルを座標で記述するのとまったく同じ方法で、数値を座標で記述します。\n\n異なる単位での対数の同等性\[\begin{aligned} \log N &= \frac{\log N}{\log 2} \log 2 = \log_2 (N) \text{ bits} \\ &= \frac{\log N}{\log e} \log e = \ln (N) \text{ nats} \end{aligned}\] は、異なる単位での幾何学的ベクトルの同等性と同じです。\[\begin{align}