正五角形から正五芒星へ

アジムスのホーム 最近、私は皆さんにお見せしました。黄金比に基づく座標系で正二十面体を考え、すべての式で√5を-√5に置き換えると、大二十面体が得られるというものです。 しかし、この事実は単発のものではありません！正十二面体についても同じことを行うと、大星型十二面体が得られます。 大十二面体と呼ばれる星型多面体も存在します。すべての式でをに置き換えるという同じ操作を行うと、小星型十二面体が得られます。 これら6つの多面体は一つの族を形成し、4つの非凸多面体はケプラー–ポアンソ多面体と呼ばれます。私はそれらの何が「偉大」なのかを理解したことはありませんでしたが、もちろんそれらは魅力的に見えます。そこで、凸多面体を含めると、これらがによって関連付けられた3つのペアをなすことを知ったのは良いことでした。これはガロア共役と呼ばれます。このことは、この本の終わり近くで言及されています。 • John Horton Conway, Heidi Burgiel and Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A K Peters, Natick, Massachusetts, 2008. これらの著者は、この多面体族間の他の3つの関係を説明するためにより多くのエネルギーを費やしています。 しかし、私はガロア共役により興味があります。これはこの図の各多面体を六角形の反対側の角にある多面体へと変換します。私はガロア共役に興味を持つようになりました。なぜなら、これは二十面体準結晶で伝播する2種類の準粒子、フォノンとフェイソンを交換するからです。 • Phasons in Quasicrystals. しかし、その背後には単純な幾何学があり、ここで議論したいと思います。私が挙げたすべての例で、ガロア共役が正五角形を正五芒星に変えることに気づくでしょう。そして、それは一般的な事実であることが判明しました！ を黄金場（ゴールデンフィールド）とします。つまり、有理数を持つすべての数の集合であり、通常の加算、乗算、減算、除算が備わっています。ガロア共役をとして定義します。この写像はすべての体演算を保持し、2回適用すると元の場所に戻ります。したがって、多くの点で複素共役に似ています。黄金場という名前は、黄金比を含むためです。黄金比にガロア共役を適用すると、その負の逆数が得られます。 これは、ガロア共役が正五角形を何らかの形で正五芒星に写像することを示唆しています！なぜでしょうか？ 正五角形では、各外角はですが、正五芒星では、各外角はです。五角形の外角のコサインはであり、これにガロア共役を適用すると、五芒星の外角のコサインが得られます！ これは、ガロア共役が正五角形を正五芒星に変えることの完全な証明ではありません。実際、その主張が何を意味するのかを明確にする必要があります。しかし、それは証明の重要な要素です。より正確には、頂点がにある正五角形を考えましょう。注意：そのような五角形は平面上では不可能です！ パズル。これを示しなさい。 しかし、3次元以上では可能です。例えば、順に並んだこれらは3次元の正五角形の頂点です。そして一つ得られれば、並進と回転によって多数得ることができます。黄金場にエントリを持つ回転行列を考案するには少し考える必要があるかもしれませんが、たくさんあります。有理数のエントリを持つ回転行列でさえ、すべての回転行列の中で稠密です。 さて、ガロア共役は座標ごとに作用します。この写像を と呼ぶことにします。正五角形を取り、その頂点と辺にこの写像を適用すると、何が得られるでしょうか？私は正五芒星が得られると主張します！ 頂点の巡回順序だけが正五角形と正五芒星を区別するために必要であることに気づけば、証明は単純化できます。 定理。を巡回順に並べた正五角形の頂点とする。そのとき、同じ巡回順に並べたは正五芒星の頂点である。 証明。辺ベクトルを定義する。これらはすべて同じ二乗長を持つ。五角形の各頂点における外角はなので、これは連続する辺ベクトルととの間の角度である。したがって、となる。 さて、とし、とする。通常のドット積がに従うことを簡単に確認できるので、となり、したがって、連続する辺ベクトル間の角度のコサインはである。であるから、連続する辺ベクトル間の角度はである。 しかし待ってください！上記の計算は、が正であると密かに仮定しています。なぜなら、の通常の正の平方根がに等しいと主張し、も自由にで割ったからです。なぜが正なのでしょうか？と書くと、となる。これは実数の二乗の和であり、したがって非負である。は単射なので、はすべてゼロではないため、厳密に正である。5つの点は共面である。なぜなら、共面性は座標差の行列におけるある3×3の小行列式の消滅に等しく、これは上の多項式条件であるため、によって保存されるからである。これらの点もまた、が単射なので異なる。したがって、辺は等しい辺長と各頂点における一定の外角を持つ平面的な閉じた正多角形を形成する。これは正五芒星である。 █ 同様の論法により、ガロア共役をの頂点を持つ正五芒星に適用すると、正五角形に戻ることが示される。そして、平面に何が起こったか心配しているなら、恐れることはありません！ある二次体の座標を持つ正五角形を平面に描くことができます。このより大きな体もまた、正五角形を正五芒星に変換する自己同型写像を持っています。異なる体を使用して、七角形などでも同様の遊びができます。 謝辞と補遺 多面体の赤い画像はRobert WebbのStellaソフトウェアを使用して作成され、Wikicommonsに配置されました。ケプラー–ポアンソ多面体の図はTilman Pieskによって作成され、Wikicommonsに配置されました。小星型十二面体と大十二面体をリーマン面（球の分岐被覆）として記述したものについては、これを試してみてください。 • John Baez, Small stellated dodecahedron, Visual Insight, 15 June 2016. これらの分岐被覆がここで与えられたガロア理論の視点とどのように関連しているかはわかりません！ Mastodonでは、J. M.が二十面体が大二十面体にモーフィングし、十二面体が大星型十二面体にモーフィングするアニメーションを作成しました。 もう一つ面白い例があります。頂点座標がすべて黄金場にある菱形二十・十二面体を取り、ガロア変換を適用すると、五角形は五芒星に変わり、正方形は正方形のままで、正三角形は正三角形のままです。すべてを描くとごちゃごちゃしますが、五芒星だけを描くと美しいです。 興味深いことに、描かれていない正方形と三角形は同じサイズのままです。なぜなら、それらの辺の二乗長は有理数だからです！しかし、五角形の辺の二乗長はを含むため、五芒星の辺になると変化します。 関連 この記事は2026年5月29日金曜日の午後12時に投稿され、数学のカテゴリに分類されています。このエントリーへのすべての応答はRSS 2.0フィードでフォローできます。返信を残すか、自分のサイトからトラックバックすることができます。 「正五角形から正五芒星へ」への4つの応答 ジャスティンは次のように述べています。 2026年5月29日午後10時2分 八面体とテトラヘミヘキサヘドロン（https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahemihexahedron）の間、または八面体と他の星型多面体の間に類似の変換はありますか？それとも、このカテゴリの変換は二十面体と十二面体（プラトン立体の中で）にのみ適用されるのでしょうか？ 返信 レナート・クエンベルガーは次のように述べています。 2026年5月30日午前5時33分 彼のガロア群PSL (2,11)の3Dアニメーション可視化が、ペンローズの凧とダーツのタイル張り（3D五角形）の3D表現によって、大十二面体にもつながるということも興味深いかもしれません。https://vimeo.com/manage/videos/50231760 これは正しいのでしょうか？そして、これらの11の順列の中に、これまでの「抽象的な」ヘンデカコロンを特定できるのでしょうか？グループの動的可視化へのこの最初のアプローチはコスタントに触発され、正しい方法を見つけることを目的としていました。グループt