なぜ運動エネルギーは速度に線形ではなく、二乗で増加するのか？(2011)

Wikipediaに書かれているように、[...]質量$m$の非回転物体が速度$v$で移動するときの運動エネルギーは$rac{1}{2}mv^2$です。なぜこれは速度に線形に増加しないのでしょうか？$0 m\ m/s$から$1 m\ m/s$に加速するよりも、$1 m\ m/s$から$2 m\ m/s$に加速する方がはるかに多くのエネルギーを必要とするのはなぜでしょうか？私の直感が間違っています、助けてください！ 質問がいいですね。公式ではなく、直感に関するものだからです。ここにいる私たちのほとんどはニュートンの第二法則を知っており、積分を計算できます。ラグランジュを適用する方法を知っている人もいます。これらはすべて正しいです。しかし、積分もラグランジュも使わずに、直感や常識に訴えかけるような説明があれば素晴らしいでしょう。@mike-dunlaveyはそれを試みましたが、彼の答えは完璧ではありません。誰か直感に訴えかける答えを提供できますか？ @mentallurg、常識的なアプローチを求める意見に私も同意します。そして、それに応じた回答を書いて提出しました。あなたが指摘するように：Mike DunlaveyはF=maに結びつけており、それが正しい道だと私は信じています。ここでの多くの回答は、運動エネルギーの概念自体よりも抽象的な概念で書かれています。そのような回答は、私たちの理論の自己無矛盾性（他の文脈では有用なことですが）を示していますが、常識とのつながりは提供していません。 以前の回答はすべて、「仕事は力と距離のドット/積である」として問題を再提起しています。しかし、これは本当の意味で納得のいくものではありません。なぜなら、次に「なぜ仕事は力と距離のドット積なのか？」と尋ねることができ、謎は同じだからです。このような質問に答える唯一の方法は、対称性の原理に頼ることです。これらは運動の法則よりも根本的だからです。ガリレイ不変性、つまり物理法則が動いている列車に乗っているあなたにも同じに見えるという対称性を用いると、なぜエネルギーが質量に速度の二乗を掛けたものに比例しなければならないかを説明できます。 まず、運動エネルギーを定義する必要があります。私は次のように定義します：質量$m$で速度$v$で動いている粘土の球の運動エネルギー$E(m,v)$は、それが壁にぶつかったときに発生する熱のカロリー量である。この定義は機械的な量に言及しておらず、温度計を使って測定できます。ガリレイ不変性を仮定すると、$E(v)$は速度の二乗でなければならないことを示します。 $E(m,v)$が不変であるとすると、それは質量に比例しなければなりません。なぜなら、2つの粘土の球を並べてぶつけ、2倍の熱を得ることができるからです。したがって、 $$ E(m,v) = m E(v)$$ さらに、質量$m$で速度$v$で動いている2つの同じ粘土の球を正面衝突させると、対称性により両方の球は停止します。結果として、それぞれがもう一方の壁として機能し、$2m E(v)$に等しい量の熱が発生します。 しかし、衝突前の一方の球と一緒に動いている列車の中でこれを見てみましょう。この参照系では、最初の球は停止した状態から始まり、2番目の球が$2v$で衝突し、2つの球が結合したシステムは最終的に速度$v$で移動します。2番目の球の運動エネルギーは最初$mE(2v)$であり、衝突後には、結合した球に$2mE(v)$の運動エネルギーが蓄えられています。しかし、衝突によって発生する熱は以前の場合と同じです。したがって、考慮すべき$2mE(v)$の項が2つあります。1つは衝突によって発生する熱を表すもので、これは以前に$2mE(v)$であることがわかりました。もう1つは、移動する2倍の質量の球に蓄えられたエネルギーを表すもので、これも$2mE(v)$です。エネルギー保存の法則により、これら2つの項は衝突前の2番目の球の運動エネルギーに合計されなければなりません。 $$ mE(2v) = 2mE(v) + 2mE(v)$$ $$ E(2v) = 4 E(v)$$ これは$E$が二次であることを意味します。 誰もが非常に好んでいるようですが、正しく行われたことがない力と距離の議論の非循環的なバージョンがここにあります。エネルギーが速度の二乗に比例すると主張するためには、次の2つのことを確立すれば十分です。 地球表面のポテンシャルエネルギーは高さに線形である。 地球表面を落下する物体は一定の加速度を持つ。 結果はそれから導き出されます。一定の重力場におけるエネルギーが高さに比例するということは、静力学によって確立されます。てこの原理を信じるなら、てこの上に置かれた物体は、距離が質量に反比例するときに別の物体と平衡になります（これは、同じ質量の物体が重心の距離が等しいときにバランスをとるという事実以外に何も必要としない、簡単な幾何学的実証があります）。それからてこを少し傾けると、一方の物体が得た質量と高さの積は、もう一方の物体が得た質量と高さの積に等しくなります。これにより、すべての物体に加算された質量と高さの積が前後で一定である限り、非常に少ない労力で物体を持ち上げたり下ろしたりすることができます。これがアルキメデスの原理です。 同じことを別の方法で言うと、滑車を介してチェーンで接続された2つのプラットフォームからなるエレベーターを使用します。片方が上がるともう片方が下がる仕組みです。同じ量の質量を同じ量だけ下ろせば、物体を持ち上げることができます。2つの物体を2つのステップで一定の距離持ち上げるには、1つの物体を2倍の距離だけ落とします。これにより、エレベーターのすべての可逆的な動き、つまり（口語的な意味でも物理的な意味でも）何も仕事をする必要がない動きにおいて、すべての物体について合計された質量と高さの積が保存されることが確立されます。この「エネルギー」は、これらの物体が非無限小速度で動くことが許されたときに保存される運動量として定義できます。これはファインマンによるアルキメデスのバージョンです。したがって、質量と高さの積は何かを持ち上げるのに必要な労力の尺度であり、静力学において保存される量です。この量は、中間段階で動力学がある場合でも保存されるべきです。私が言いたいのは、2つの重りを紐で吊るして落下させ、弾性衝突をさせて、再び止まったときに2つの物体を捕まえた場合、あなたは何も仕事をしていません。物体は同じ総質量と高さの積にまで上がるはずです。これはクリスティアン・ホイヘンスによる弾性衝突の法則の最初の実証であり、彼は、2つの質量を振り子で落とし、衝突させると、ボールを最大点で捕まえるなら、それらの重心は同じ高さまで上がるはずだと主張しました。これから、ホイヘンスはアルキメデスに暗黙的に含まれるポテンシャルエネルギー保存の法則を一般化して、弾性衝突における速度の二乗保存の法則を導き出しました。重心が動的衝突によって上げられないという彼の原理は、エネルギー保存の最初の声明です。完全性のために、一定の重力場において物体が一様な加速度で加速するという事実は、ガリレイ不変性の結果であり、重力場が一定速度での上下の一様な運動に対してフレーム不変であるという仮定に基づいています。一定重力における運動が一定の加速度であるとわかれば、次のことがわかります。 $$ mv^2/2 + mgh = C $$ したがって、ホイヘンスの動的な量は加算的です。