ドローンの物理学

ドローンの物理学（更新日：2026年6月25日木曜日）、2024年1月27日セクション：ホーム / ポストカテゴリ：エンジニアリング、タグ：シミュレーション、UAV、空力学的に素晴らしい偉業をこなせる友好的なドローン。この記事はドローンの物理学について解説しています。読者は入門レベルの線形代数、入門レベルの微積分、入門レベルの古典力学に精通していることが想定されています。この作品は、適応制御に関する私の研究と、ドローン用のPythonシミュレーションフレームワークであるmultirotorに関するAIAA DASC 2023での発表から適応されたものです。ここでの表記法は、Charles Tytlerの優れた作品から多くを借用しています。 X、Reddit、HackerNewsで議論に参加してください。よりインタラクティブな解説については、Poor Man’s AutogradやSurprise! A Derivation of Entropyをご覧ください。 以下のトピックが順にカバーされています： 車両を記述するために使用される座標系。 車両を記述するために使用される状態変数。 ボディに作用する力とトルク。 運動方程式（線形および角運動）。 モーターとプロペラがどのように力とトルクを生成するか。 制御システムがプロペラ速度をどのように決定するか。 車両の記述 マルチローターUAVは6自由度でモデル化されます：線形運動のための3つの線形軸：$x, y, z$、および回転運動のための3つの角軸：$\phi, \theta, \psi$。 座標を使用するには、座標系に合意する必要があります。通常、North-East-Down（NED）システムが使用されます。正のx軸の方向は「前方」/北向きと見なされます。正のy軸は「右」/東、正のz軸は「下」です。 これは右手座標系です。親指の方向への軸周りの正の回転は、指を曲げた方向です。例えば、正のz回転は+xから+yへ行きます。 ボディの状態を表すために2つの参照フレームが使用されます： 公称、慣性、参照フレーム$n$は、軸が任意のグローバル方向と整列している静的な参照フレームです。これらは列ベクトル $\hat{n} = [\hat{x}^n, \hat{x}^n, \hat{x}^n]^T$ で表されます。 ボディ固定、非慣性、参照フレーム$b$は、運動中の剛体の重心に整列した軸を持ちます。これらは列ベクトル $\hat{b} = [\hat{x}^b, \hat{y}^b, \hat{z}^b]^T$ で表されます。ボディフレームは車両と共に移動および回転します。ボディフレームの原点をドローンの重心に固定することを考えます。 線形表現 ボディ固定参照フレーム$b$は、車両の重心に固定されています。つまり、ボディフレームから車両への変位は常に0です。車両の位置は、慣性フレームからのボディフレームの変位 $\hat{r}^n$ によって表されます。 車両の速度は、慣性フレームに対するボディフレームの速度です。ここでは、速度をボディフレームの座標で表すことを選択します。 角表現 慣性参照フレームにおけるボディの向きは、Tait-Bryan角度の規約に従います。つまり、向きは3つの連続した回転で記述できます：ヨー（$\psi$）、ピッチ（$\theta$）、ロール（$\phi$）—この順序で。回転の順序は重要です。慣性フレーム $\hat{n}$ から開始して、ヨー $\psi$ は慣性z軸周りのボディフレームの回転 $R(\psi)$ です。このヨーされたフレーム $\hat{n}_\psi$ から開始して、ピッチ $\theta$ は新しいy軸周りの回転 $R(\theta)$ です。そして、このヨーおよびピッチされたフレーム $\hat{n}_{_\psi,_\theta}$ から開始して、ロール $\phi$ は新しいx軸周りの最終回転 $R(\phi)$ です。最終的な積 $\hat{n}_{_\psi,_\theta,_\phi}$ がボディ参照フレームです。 車両の角速度 $\hat{w}^T = [\omega_x, \omega_y, \omega_z]$ は、ボディフレーム自体の瞬間的な回転率です。向きの各角度は、慣性軸からボディフレームへの順序付けられた回転（ヨー、次にピッチ、次にロール）中に、独自の参照フレーム（$\hat{n}, \hat{n}_\psi, \hat{n}_{_\psi,_\theta} = \hat{b}$）で定義されます。 ロール回転は最後に行われ、その結果がボディフレームです。したがって、x軸周りのレートである $\omega_x$ はロールレート $\dot{\phi}$ に等しくなります。ピッチは最初のヨーの後に行われますが、ロールの前です。したがって、y軸周りのレートである $\omega_y$ は、ボディフレームを取得するためにロール $\phi$ で回転されたフレーム $\hat{n}_\psi$ におけるピッチレートです。最後に、ヨー回転は慣性フレームで最初に行われます。したがって、ボディフレームのz軸周りのレートである $\omega_z$ は、ピッチ $\theta$ とロール $\phi$ で回転された慣性フレームにおけるヨーレートです。これは行列方程式として表現できます： $$ \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = R(\phi)\cdot R(\theta) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + R(\phi) \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{\theta} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$$$ \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\phi} + \dot{\psi} \sin{\theta}\\ - \dot{\psi} \sin{\phi} \cos{\theta} + \dot{\theta}\\ \dot{\psi} \cos{\phi} \cos{\theta} \end{bmatrix} $$ 慣性フレームとボディフレームの整合 ボディフレームは、(1)変位と(2)回転により慣性フレームと異なる場合があります。ボディフレームの原点はUAVの原点に固定されています。したがって、慣性フレームからのボディフレームの変位は、UAVの慣性位置です： $\hat{r}^n = [x,y,z]^T$。 ボディフレームの原点に対して相対的なベクトルは、慣性フレームの原点に変位すると回転して見える場合があります。慣性フレームのベクトル $\hat{\mathcal{V}}^n = [x^n,y^n,z^n]^T$ と、ボディフレームの原点での同じベクトル $\hat{\mathcal{V}}^b = [x^b,y^b,z^b]^T$ が与えられた場合、ボディから慣性参照フレームへの回転行列 $R_b^n$ は次のように定義されます。各回転行列は次のようになります： $$ \begin{align} R(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c\phi & -s\phi \\ 0 & s\phi & c\phi \end{bmatrix} \end{align} $$$$ \begin{align} R(\theta) = \begin{bmatrix} c\theta & 0 & s\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix} \end{align} $$$$ \begin{align} R(\psi) = \begin{bmatrix} c\psi & -s\psi & 0 \\ s\psi & c\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $$$$ \begin{align} \hat{\mathcal{V}}^b &= R(\phi)\cdot R(\theta) \cdot R(\psi) \cdot \hat{\mathcal{V}}^n \\ \hat{\mathcal{V}}^b &= R_n^b \hat{\mathcal{V}}^n \\ \begin{bmatrix} x^b \\ y^b \\ z^b \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c\psi c\theta & - s\psi c\theta & s\theta\\ s\phi s\theta c\psi + s\psi c\phi & - s\phi s\psi s\theta + c\phi c\psi & - s\phi c\theta\\ s\phi s\psi - s\theta c\phi c\psi & s\phi c\psi + s\psi s\theta c\phi & c\phi c\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^n \\ y^n \\ z^n \end{bmatrix} \end{align} $$ ここで $c | s$ は $\phi | \theta | \psi$ のコサインとサインをそれぞれ表します。この回転は、慣性視点からボディフレームで作用する力を調べるときに役立ちます。上記は、回転した参照フレーム間でベクトルを瞬時に変換します。 回転フレームでの導関数の整合 ただし、参照フレームが回転している間にベクトルが変化している場合、変化率はそれほど単純ではありません。ベクトルの変化率は、(1)ボディフレームでのベクトル量自体の変化と、(2)フレーム座標の変化によるものです。 つまり、瞬間的な角速度 $\hat{\omega}= [\omega_x, \omega_y, \omega_z]$ で軸周りに回転するボディフレームにおいて、共位置にある慣性フレームで測定されたボディフレームのベクトル $\hat{\mathcal{V}}^b = \hat{b} \cdot \hat{\mathcal{V}}$ の時間微分は、輸送定理によって与えられます： $$ \begin{align} \frac{d \hat{\mathcal{V}}^b}{d t} &= \hat{b} \cdot \frac{d \hat{\mathcal{V}}}{d t} + \frac{d \hat{b}}{d t} \cdot \hat{\mathcal{V}} \\ &= \hat{b} \cdot \frac{d \hat{\mathcal{V}}}{d t} + \hat{\omega} \times \hat{\mathcal{V}}^b \\ &= \hat{b} \cdot \frac{d \hat{\mathcal{V}}}{d t} + \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \hat{\mathcal{V}} \end{align} $$ 輸送