ゴットフリート・ライプニッツを訪ねて (2013)

ゴットフリート・ライプニッツを訪ねて 2013年5月14日 私は長年ゴットフリート・ライプニッツに興味を抱いてきました。それは、彼がMathematicaやWolfram|Alpha、そしておそらく『A New Kind of Science』のようなものを、3世紀も早く構築しようとしていたように思えるからです。先日ドイツを旅行した際、ハノーファーにある彼のアーカイブを訪れることができたのは興奮しました。彼の黄ばんだ（しかし私が触れるにはまだ十分頑丈な）ノートのページをめくりながら、私はある種の繋がりを感じました。それらを書き記した時の彼の思考を想像し、そして3世紀後の現代の知識と照らし合わせようとしました。 このエッセイは『Idea Makers: Personal Perspectives on the Lives & Ideas of Some Notable People』にも掲載されています。 特に数学においては、時代を超越するものがいくつかあります。例えば、ライプニッツが√2の無限級数を書き記している様子です（テキストはラテン語です）。 あるいは、ライプニッツが連分数計算を試みている様子です。彼はそれをすべて書き出しましたが、算術は間違っていました（Πは彼の初期の等号のバージョンでした）。 あるいは、微積分に関する簡単な要約です。これは現代の教科書に載っていてもおかしくないほどです。 しかし、それ以外のものは何だったのでしょうか？彼の仕事と思考の全体像はどうだったのでしょうか？私は常にライプニッツをやや不可解な人物だと感じてきました。彼は哲学、数学、神学、法律、物理学、歴史など、一見無関係に見える多くのことを行っていました。そして、現代から見ると奇妙な17世紀の言葉で、自分が何をしているかを説明していました。しかし、より多くのことを学び、ライプニッツという人物への理解が深まるにつれて、彼の多くの業績の根底には、私自身が従ってきた現代の計算的なアプローチに驚くほど近い、中核的な知的方向性があることに気づきました。 ゴットフリート・ライプニッツは1646年にライプツィヒ（現在のドイツ）で生まれました（ガリレオが亡くなる4年前、ニュートンが生まれる4年前）。彼の父は哲学教授であり、母方の家族は書籍取引に携わっていました。ライプニッツが6歳の時に父を亡くし、その後2年間の検討を経て、彼は父の書斎への立ち入りを許され、そこに収められた多様な蔵書を読み始めました。15歳で地元の大学に入学し、哲学と法律を学び、20歳で両方の学位を取得しました。 10代の頃から、ライプニッツは知識の体系化と形式化に興味を持っていたようです。1300年代のラモン・リュルの半神秘的な『アルス・マグナ』のように、適切な（デカルトが呼んだところの）「人間の思考のアルファベット」から引き出される記号の組み合わせから、あらゆる知識を導き出すことができる普遍的なシステムを構築するという漠然とした考えが長い間存在していました。そして、哲学の卒業論文で、ライプニッツはこのアイデアを追求しようとしました。彼は基本的な組み合わせ数学を用いて可能性を数えました。彼はアイデアを単純な構成要素に分解し、そこに「発明の論理」が作用できると論じました。さらに、神の存在を証明すると主張する議論も盛り込みました。 ライプニッツ自身が後年語ったように、この20歳で書かれた論文は多くの点でナイーブでした。しかし、それがライプニッツの生涯にわたるあらゆる事柄に対する思考様式を定義し始めたのだと思います。例えば、ライプニッツの法律の卒業論文「困惑する訴訟事件」は、そのような事件が論理と組み合わせ論に還元されることで、どのように解決できるかというものでした。 ライプニッツは教授になる道を歩んでいましたが、代わりに様々な宮廷や政治的支配者の顧問として働く人生を選びました。彼らのために行った仕事の一部は学術的なもので、難解だが政治的に重要な系譜学や歴史を調査することでした。一部は法典や図書館などの組織化と体系化でした。一部は実用的な工学で、銀鉱山から水を排出するより良い方法を模索するなどです。そして一部は、特に初期においては、政治的駆け引きのための「現場」での知的支援でした。 1672年のそのような活動の一つで、ライプニッツは4年間パリに滞在しました。その間、彼は多くの著名な知識人と交流しました。それ以前、ライプニッツの数学の知識はかなり基本的なものでした。しかしパリで、彼は最新のアイデアや手法をすべて学ぶ機会を得ました。例えば、彼はクリスティアーン・ホイヘンスを探し出し、ホイヘンスはライプニッツに数学を教えることに同意しました。その条件として、ライプニッツは三角数の逆数の和を見つけるというテストに合格する必要がありました。 長年にわたり、ライプニッツは知識の体系化と形式化に関するアイデアを洗練させ、知識がどのように計算可能になるかについての全体的なアーキテクチャを想像しました。彼は最初のステップとして、ars characteristica（物事に記号や象徴的な表現を割り当てる方法論であり、実質的に統一された「思考のアルファベット」を作成すること）の開発を考えました。そして彼は、現代の計算に関する知識と驚くほど共鳴する形で、この統一された表現から、「算術や代数のように、あらゆる分野の『理性の真理』を、ある種の計算によって見つけることができる」と想像しました。彼は scientia generalis（「知識の一般的方法」）、lingua philosophica（「哲学的言語」）、mathematique universelle（「普遍数学」）、characteristica universalis（「普遍的システム」）、calculus ratiocinator（「思考の計算」）といった、様々な野心的な名前で自身のアイデアについて語りました。彼は科学、法律、医学、工学、神学など、あらゆる分野への応用を想像しました。しかし、彼が比較的早く明確な成功を収めた分野は数学でした。 数学の歴史において、記法が中心的な問題と見なされることは非常にまれであることは、私にとって驚くべきことです。それは、1800年代後半の現代数学論理学の始まりに、ゴットロープ・フレーゲやジュゼッペ・ペアノのような人々によって起こりました。そして最近では、私がMathematicaとWolfram Languageを作成する努力の中で起こりました。しかし、それは3世紀前にライプニッツによっても起こりました。そして、ライプニッツの数学における成功は、記法に費やした努力と、それがもたらした数学的構造とプロセスに関する推論の明瞭さによるところが大きいと私は推測します。 ライプニッツの論文を見ると、彼の記法とその発展を見るのは興味深いです。多くのものはかなり現代的に見えます。17世紀の魅力的な要素もいくつかありますが、例えば代数変数に錬金術や惑星の記号を時折使用するなどです。 等号「=」の代わりに「Π」が使われています。これは、片方の脚が長くなっていることで「より小さい」（<）または「より大きい」（>）を示す、少しずる賢い考え方でした。 項のグループ化を示すためにオーバーバーが使われています。これは括弧よりも優れたアイデアかもしれませんが、入力が難しく、組版も必要です。 今日、私たちは平方根にオーバーバーを使用しています。しかし、ライプニッツは積分にもそれらを使用したいと考えていました。そして、私たちがMathematicaで積分を表すために発明した二重線で引かれた「微分d」を思い出させる、かなり良い「尾付きd」と共に。 特に方程式を解く際、±を使用したいことがよくありますが、a±b±cのような場合のグループ化がどのように機能すべきかは常に混乱します。さて、ライプニッツもそれを混乱しているように見えましたが、彼はそれに対処するための記法を発明しました。これは、今日でも検討する価値があるかもしれません。 ライプニッツの記法のいくつかは何を意味するのか私にはわかりません。しかし、それらのオーバーチルダはかなり見栄えが良いです。 点が付いたこれらのものも同様です。 あるいは、この興味深い見た目の図式的な形式も。 もちろん、ライプニッツの最も有名な記法は、彼の積分記号（「summa」のための長い「s」）とdです。これは1675年11月11日に初めて要約されたものです（「1675」の「5」は、おそらくライプニッツによって、後で「3」に変更されました）。 「計算」操作のための多くの記法があったにもかかわらず、ライプニッツが論理操作のための同様の記法を発明しなかったのは興味深いことです。「または」は単にラテン語の単語「ve」でした。