円周率の二乗は約10

米国や同様の日付形式を採用する国では、今日はτ（タウ）の日です（τ = 2π）。私は依然として、τrと(τr^2)/2という公式が2πrとπr^2よりも優れていると考えています。なぜなら、それらはmvと(mv^2)/2の公式（その他多くの理由）と一致するからです。しかし、その流れは既に決まってしまったので、τは単にπの2倍であるという位置づけになっています。さて、加算は些細なことですが、π^2 ≈ 10であり、π^2 ≈ g（地球の海面での重力加速度）であることはご存知でしたか？これらの偶然はどのようにして生まれたのでしょうか？今日は、最初の事実だけを確認しましょう。π^2 ≈ 9.8696であり、10（10の特定の定義によれば）に近い値です。自然数の逆数の二乗の和の値は何かという、あの有名な公式から始めましょう。オイラーから答えを知っています： ∑_{n=1}^{∞}{rac{1}{n^2}} = rac{π^2}{6} これは π^2 = 6ζ(2) であり、ここでζはリーマンゼータ関数です。この場合、次のような操作ができます。 ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞}{rac{1}{n^2}} = 1 + ∑_{n=2}^{∞}{rac{4}{4n^2}} しかし、4/(4n^2) ≤ 4/(4n^2 - 1)であり、ここの分母は二乗の差です。つまり rac{4}{4n^2-1} = rac{4}{(2n - 1)(2n + 1)} = rac{2}{2n - 1} - rac{2}{2n + 1} これにより、最後の和はテレスコーピング和になり、次のようになります。 ζ(2) ≤ 1 + rac{2}{3} = rac{5}{3} このため、π^2 ≤ 6 × (5/3) = 10 という結果になります。次に、π^2と10の差を見ると、次のようになります。 δ = rac{5}{3} - ζ(2) = ∑_{n=2}^{∞}{ (rac{4}{4n^2 - 1} - rac{1}{n^2}) } = ∑_{n=2}^{∞}{rac{1}{n^2(4n^2 - 1)}} 和の項はO(n^-4)のオーダーであり、それらが非常に速く0に近づくことを意味します。最初のいくつかの値は、1/60、1/315、1/1008です。π^2と10の間の誤差は6δであるため、これらの項を合計して6を掛けると0.125になります。したがって、π^2は約10であり、単位の8分の1まで近似できると言えます。これは役に立つでしょうか？最近、半径1/10の円の円周が1を超えるかどうかを非常に速く判断する必要がありました。10がπ^2に近似していることを知っていたので、これは実際には計算せずに約2/πであることがわかりました。将来、もう一方の近似についても見ていきましょう。それは単なる偶然かもしれませんか？見てみましょう。追伸：上記の例は些細なことだと気づきました。π ≤ 4なので、2π ≤ 10、つまり円周はすでに1未満です。おそらく、対数π（底を10とする）を非常に速く計算する必要がある場合の方が良い例でしょう。π^2は約10なので、問題の対数は0.5よりわずかに小さいです。