もしそれらがすべて間違っていたら？ (2020)

予想は数学の定番です。それらはあらゆる領域、サブ領域、サブサブ領域に浸透しており、どこにでも存在します。 それらは単一の一般的な形容詞を避けるのに十分多様です。それらはあらゆる形とサイズで現れます。 それらの中には、有名で、古典的で、一般的で、重要で、刺激的で、広範囲に及び、大胆で、エキサイティングで、人気のあるものがある一方、投機的で、狭く、技術的で、不正確で、こじつけで、誤解を招く、あるいは娯楽的なものもあります。 証明されていない主張に関する多くの信念ですが、私たちはそれらを提示し続け、意図せず私たちの経験、直感、そして偏見を明らかにしています。 予想はまた、態度においても様々です。 フィニッシュラインのリボンのように、それらはすべて外部からは等しく脆弱に見えますが、実際にはレースごとに大きく異なります。 一部は容易に到達可能であり、問題は誰が最初にそこに到達するかだけです（例：100メートル走）。 他のものは地平線上にわずかに見えているだけで、多大な努力、多様なツール、そして長い時間のコミットメントが必要です（例：アイアンマン・トライアスロン）。 最も称賛される第三の種類は、SFの宇宙探査のようなもので、数百年の世代を超えたコミットメントを必要とし、しばしば文明との接触を失います。 そして、ロマンチックな第四の種類を忘れることはできません。北極星のように、誰も実際に到達したいとは望んでいません。なぜなら、それらは主に航海のために、未知の海で方向を見つけるために使用されるからです。 さて、予想は科学的方法の基盤を famously 提供しますが、数学では実際にはそのように考えていません。 私は以前の鋭いブログ記事で、引用が日常の数学的発展にとって最も重要であると主張しました。したがって、参考文献の作成には最大限の注意を払うべきです。 この主張は大部分が議論の余地がなく、ほとんどのGoogle Scholarプロフィールにとっての存在理由となりますが、予想は便利な理想的な逃げ道を提供します。 したがって、「私はXYZ予想の研究に人生を捧げました」（たとえ何も発表しなくても）と言う方が、「私は同僚からの尊敬を得て、昇進し、家族を養うために、多くの論文を書くことに懸命に取り組んでいます」と言うよりも、はるかに高貴で徳のあることです。 右。明らかに… しかし、予想のこの明白な（真実または認識された）重要性を考えると、あなたはそれらを正しく使用していると確信していますか？ もしこれらの予想のいくつ/多くが実際には間違っていたら、どうなるでしょうか？ そこには何もないのに、その星船に乗っているべきでしょうか？ 理想主義者は「目的地ではなく旅だ」と主張するかもしれませんが、私は強く反対します。 真実に近づくことは、公共政策としても個人レベルでも、実際には非常に重要です。 したがって、私たちがどこに向かっているのかを正しく理解することは非常に重要です。 数学における予想とは何でしょうか？ それは愚かな質問ですよね？ 予想とは、その妥当性を確認しようとしている数学的な主張です。 それだけですか？ まあ、はい、誰かが実際にその予想に取り組むかどうかを気にしないなら。 言い換えれば、予想の何かが興味深く、刺激的である必要があります。 何が予想を興味深くするのでしょうか？ これは答えるのが難しい質問です。なぜなら、それは数学的なものと同じくらい心理的なものだからです。 典型的な答えは「ああ、なぜならそれは古く/有名で/美しい/などだからです」でしょう。 うーん、わかりました、しかしもう少し形式的にしてみましょう。 通常、「この予想は[興味深い主張と既知の結果のリスト]を意味するだろう」と主張します。 まあ、わかりました、しかしこれは自己参照的です。 私たちはすでにそれらの「既知の結果」をすべて知っているので、それらを再度証明する必要はありません。 そして、これらの「主張」は単に他の予想なので、これは実際には「この予想はあの予想を意味するだろう」というタイプの議論であり、普遍的に説得力はありません。 「見てください、この予想には非常に多くの興味深い結果があります」と主張できます。 しかし、これは主観的で直感的ではありません。 多くの興味深い予想される結果があるということは、おそらく予想が強すぎて間違っている可能性が高いことを示唆しているのではないでしょうか？ そして、もし予想が間違っている可能性が高いなら、それはそれを興味深くなくすべきではないでしょうか？ また、誰もが真実だと信じている予想を反証したら、それは興味深いのではないでしょうか？ ある意味では、これまで誰もが単に間違っていたとしたら、さらに興味深いのではないでしょうか？ もちろん、これらのアイデアはどれも新しいものではありません。 例えば、「BC予想」、あるいはそれに関する123ページの調査（非常に興味深く、正当化する必要はほとんどありません）を正当化する必要に直面して、著者たちは突然内省的になりました。 彼らは自己参照的なアプローチを意識し、それをすぐに捨て去り、別の戦術を選びました。「私たちは、予想の興味は、それがもたらす数学の統一感にあると信じています。」[M.P. Gomez Aparicio, P. Julg and A. Valette, “The Baum-Connes conjecture“, 2019] は？ 数学は絶対的な真実についてのものではなく、感情についてのものではないのでしょうか？ また、以前のブログ記事で、Noga Alonの「数学はすでに「一つの単位」である」という引用に言及しました。 もしそうなら、なぜ新しい「統一感」が必要なのでしょうか？ それとも、それは新しい時代のアイデアのようなもので、あらゆる機会に強化しないと真実でなくなるのでしょうか？ この時点で混乱しているなら、クラブへようこそ！ 特定の予想を興味深くするものを客観的に議論する方法はありません。 それはすべて私たちの想像力の中にあります。 Nikolay Konstantinovはかつて私に「数学は退屈な主題です。なぜなら、すべての命題は、ある集合が空であると言うことに等しいからです。」と言いました。 彼は挑発的であるつもりであって、意欲をそぐつもりではありませんでした。 しかし、彼が示唆している問題は非常に深刻です。 なぜ私たちは予想が真実だと信じるのでしょうか？ 予想が興味深いと主張するためには、それが真実であると主張する必要があること、あるいは少なくともそれらのすべての結果を得るために真実であると信じたいことを、すでに確立しました。 しかし、注意してください、私たちは予想が真実であると主張するのと、それが興味深いと主張するのと同じ方法で主張します。つまり、いくつかの特別なケースでそれが成り立つこと、そしてそれが真実だと信じられている他の予想を意味することを示しています。なぜなら、それらも様々な特別なケースでチェックされているからです。 したがって、本質的に、これはほとんどの場合「真実＝興味深い」ということになります。右？ ここで複雑になります。 例えば、「abc予想」に取り組んでいるとします。これは開いている場合もあれば、そうでない場合もあります。 あなたは、それが多くの結果をもたらすため、真実である可能性も興味深いとも主張します。 それらのうちの1つは、平面上に有理数ペアの距離を持つ密な集合の存在に関するErdős–Ulam問題の否定的な解決です。 しかし、E-U問題の肯定的な解決は、Harborthの予想（別名「整数Fáry問題」）を意味します。つまり、すべてのグラフは有理数辺長で平面上に描画できるということです。 したがって、直感に反して、上記の論理に従うと、Erdős–Ulam問題の肯定的な解決に取り組むべきではありませんか？なぜなら、それは1つの予想を意味し、別の予想の反例を与えるからです。 記録のために、私はそうしません。単に論争的な点を述べているだけです。 私はあなたがどこに向かっているのか本当に理解してくれることを願っています。 予想が真実であるかどうかを客観的に判断する方法はなく、それが exactly 何がそんなに興味深いのかもわからないので、私たちの偏見を捨てて、予想を証明しようとするのと同じくらい一生懸命に反証することにも取り組むべきではありませんか？ 人々は何と言っていますか？ 一般的な（少し詩的な）現代の説明から始める価値があります。 数学では、[..]偉大な予想は、最も可能性が高いが、まだ決定的な証明が見つかっていない、鋭く定式化された命題です。 これらの予想は深い根と広い影響を持っています。 それらの解決策の探求は、数学の大部分を導きます。 それらを最初に征服した者には永遠の名声が待っています。 驚くべきことに、数学は予想の定式化を高尚な芸術にまで高めました。[..] 適切に選択された未証明の命題は、その著者に世界的な名声をもたらすことがあります。