フェルマーの最終定理を解く：アンドリュー・ワイルズ

フェルマーの最終定理を解く：アンドリュー・ワイルズ アンドリュー・ワイルズは、生涯の大部分を、世界で最も有名な数学的問題であるフェルマーの最終定理の証明に捧げました。1993年、彼はこの問題の証明を発表し、一面トップ記事になりましたが、それは物語の終わりではありませんでした。彼の計算における誤りが、彼の人生をかけた仕事を危機に瀕させたのです。アンドリュー・ワイルズはNOVAのインタビューで、どのようにしてその間違いを受け入れ、最終的に人生の目標を達成したかを語りました。 NOVA：多くの偉大な科学的発見は執念の結果ですが、あなたの場合は子供の頃からの執念でしたね。 アンドリュー・ワイルズ：私はイングランドのケンブリッジで育ち、数学への愛は幼い頃から始まりました。学校で問題を解くのが好きでした。家に持ち帰って、自分で新しい問題を作ったりしました。しかし、私が ever 見つけた最高の問題は、地元の公立図書館で見つけました。数学の本の棚をぶらぶらしていたら、ある特定の問題、フェルマーの最終定理について書かれた本を見つけました。この問題は、300年間、数学者たちによって未解決のままでした。それはとてもシンプルに見えましたが、歴史上のすべての偉大な数学者たちがそれを解決できませんでした。10歳の私でも理解できる問題であり、その瞬間から私は決してそれを手放さないだろうと知っていました。私はそれを解決しなければなりませんでした。 NOVA：フェルマーとは誰で、彼の最終定理とは何ですか？ AW：フェルマーは17世紀の数学者で、本の余白に特定の命題を書き込み、それを証明したと主張しました。彼の命題は、ピタゴラスの方程式に非常に近い方程式に関するものでした。ピタゴラスの方程式は次のようになります：x² + y² = z² この方程式の整数解を尋ねると、3² + 4² = 5² や 5² + 12² = 13² のような解が見つかります。そして、さらに探していくと、そのような解がますます見つかります。 フェルマーは、この方程式の立方バージョンを考えました：x³ + y³ = z³ 彼は次のような質問をしました：立方方程式の解を見つけることはできますか？彼は解がないと主張しました。実際、彼は次のような一般化された族の方程式に対して：xn + yn = zn、n が 2 より大きい場合、解を見つけることは不可能であると主張しました。それがフェルマーの最終定理です。 NOVA：つまり、フェルマーは解を見つけられなかったから、解はないと言ったのですか？ AW：彼はそれ以上のことをしました。私たちが解を見つけられないというだけで、解がないわけではありません。数学者は、400万や40億まで解がないことを知っていても満足しません。彼らは無限まで解がないことを本当に知りたいのです。そして、そのためには証明が必要です。フェルマーは証明を持っていたと言いました。残念ながら、彼が書き残したのは次のことだけでした：「この命題には、この余白には収まりきらないほど素晴らしい証明がある。」 NOVA：証明とはどういう意味ですか？ AW：数学的な証明では、多くの、多くのステップからなる推論の線があり、それらはほとんど自明です。もし私たちが書く証明が本当に厳密であれば、誰もそれを間違っていると証明することはできません。ギリシャ時代にさかのぼる証明もあり、今日でも有効です。 NOVA：つまり、挑戦はフェルマーの最終定理の証明を再発見することだったのですね。なぜそれがそれほど有名になったのですか？ AW：ええと、いくつかの数学の問題はシンプルに見え、1年かそこら試してみると、非常に解くのが難しいことがわかります。これらの問題が簡単であるべき理由はありませんが、非常に複雑であることが判明します。最終定理はこれの最も美しい例です。 NOVA：しかし、証明を見つけることには現実世界での応用がありません。それは純粋に抽象的な問題です。なぜ人々は証明を見つけるためにそれほど多くの努力を費やしたのですか？ AW：純粋な数学者は未解決の問題に挑戦するのが大好きです。彼らは挑戦を愛しています。そして、証明が見つからずに時が経つにつれて、それは本当の挑戦になりました。19世紀初頭の手紙を読んだことがありますが、最終定理が解決されていないのは数学の恥だと書かれていました。そしてもちろん、フェルマーが証明を持っていたと言ったので、それは非常に特別です。 NOVA：どのようにして証明を探し始めましたか？ AW：10代前半、私はフェルマーが試したであろう方法で問題に取り組もうとしました。私は、彼が10代の私よりも多くの数学を知らなかっただろうと推測しました。そして大学に入ると、18世紀と19世紀に多くの人々がこの問題について考えていたことに気づき、それらの方法を研究しました。しかし、まだ何も進んでいませんでした。そして研究者になったとき、私はこの問題を脇に置くべきだと決めました。それを忘れていたわけではありません。それは常にそこにありました。しかし、それを解決するために私たちが持っていた唯一の技術は130年間存在していたことに気づきました。それらの技術が問題の根源に迫っているようには見えませんでした。フェルマーに取り組むことの問題は、何年も何も進歩せずに過ごす可能性があることでした。たとえ最終的に解決できなくても、興味深い数学を生み出す限り、どんな問題に取り組むのも良いことです。良い数学的問題の定義は、問題自体よりもそれが生み出す数学です。 NOVA：最終定理は不可能だと考えられており、数学者は無駄に時間を費やすリスクを冒すことができなかったようです。しかし、1986年にすべてが変わりました。カリフォルニア大学バークレー校のケン・リベットによる画期的な発見が、フェルマーの最終定理を別の未解決問題である谷山・志村予想と結びつけました。このニュースにどのように反応したか覚えていますか？ AW：それは1986年の夏の終わりのある晩、友人の家でアイスティーを飲んでいたときでした。何気ない会話の中で、友人がケン・リベットが谷山・志村予想とフェルマーの最終定理の間に繋がりを証明したと私に話しました。私は電撃を受けたようでした。その瞬間、私の人生のコースが変わることを知っていました。なぜなら、これはフェルマーの最終定理を証明するために、谷山・志村予想を証明するだけでよかったからです。それは、私の子供の頃の夢が、今やまともな研究対象になったことを意味しました。私はそれを決して手放すことができないと知っていました。 NOVA：つまり、谷山・志村予想は現代的な問題だったので、それに取り組むこと、そして暗黙のうちにフェルマーの最終定理を証明しようとすることは、まともなことだったのですね。 AW：はい。谷山・志村予想にどうアプローチするか誰も知りませんでしたが、少なくともそれは主流の数学でした。私は結果を証明しようとすることができましたが、たとえ全体を達成できなくても、それは価値のある数学になるでしょう。したがって、生涯私を魅了してきたフェルマーのロマンスは、専門的に受け入れられる問題と組み合わされました。 NOVA：この時点で、あなたは完全に孤立して働くことを決意しました。あなたは誰にもフェルマーの最終定理の証明に着手しているとは言いませんでした。なぜですか？ AW：フェルマーの最終定理に関わることはすべて、あまりにも多くの関心を生むことに気づきました。あまりにも多くの観客がいると、何年も集中力を維持することはできません。観客が多すぎると、それを破壊してしまうでしょう。 NOVA：しかし、妻にはあなたが何をしているか話したはずですね？ AW：私の妻は、私がフェルマーに取り組んでいる間だけ私を知っています。結婚式の数日後、新婚旅行中に彼女に話しました。私の妻はフェルマーの最終定理について聞いたことがありましたが、その時、それが数学者にとってどれほどロマンチックな意味を持つのか、それが長年私たちの悩みの種であったのか、全く知りませんでした。 NOVA：日常的に、どのように証明を構築しましたか？ AW：私は書斎に来て、パターンを見つけようとしました。数学の小さな部分を説明する計算を試みました。それを、私が考えていた特定の問題を明確にする、数学のある部分の以前の広範な概念的理解と結びつけようとしました。時には、本に行って、そこでどのように行われているかを見る必要がありました。時には、物事を少し変更し、追加の計算を少し行うことが問題でした。そして時には、これまでに何が行われてきたことも全く役に立たないことに気づきました。それから私はジュ