パレートフロント

ウィキペディア、フリー百科事典より パレート効率的状況の集合 多目的最適化において、パレートフロント（パレートフロンティアまたはパレート曲線とも呼ばれる）は、全てのパレート効率的解の集合です。[1] わかりやすく言うと、最適化問題で考慮すべき多くの異なる目的がある場合、パレートフロントは、ある解がセット内の他のどの解よりも全ての目的において優れているわけではなく、かつ、セットに含まれていない全ての解は、パレートフロント内の少なくとも1つの解によって全ての目的において上回られるような解の集合を表します。[2] この概念は工学分野で広く使用されています。[3]: 111–148 設計者が全てのパラメータの全範囲を考慮する代わりに、効率的な選択肢の集合に絞り込み、その中でのトレードオフを行うことを可能にします。[4]: 63–65 [5]: 399–412 パレートフロンティアの例。四角で囲まれた点は実現可能な選択肢を表し、小さい値の方が好ましいとされます。点Cは、点Aと点Bの両方に支配されているため、パレートフロンティア上にありません。点Aと点Bは、他の点によって厳密に支配されていないため、フロンティア上にあります。 生産可能性フロンティアの例。赤い線はパレート効率的フロンティアの一例であり、フロンティアとその左下側の領域は連続した選択肢の集合です。フロンティア上の赤い点は、パレート最適生産選択肢の例です。NやKのようなフロンティア外の点はパレート効率的ではありません。なぜなら、それらをパレート支配するフロンティア上の点が存在するからです。 定義 パレートフロンティア、P(Y)は、より形式的に次のように記述できます。関数 f : X → R^m を持つシステムを考えます。ここで、Xは距離空間 R^n における実現可能な決定のコンパクト集合であり、Yは R^m における基準ベクトルの実現可能集合であり、Y = { y ∈ R^m : y = f ( x ) , x ∈ X } となります。基準値の好ましい方向がわかっていると仮定します。点 y'' ∈ R^m は、別の点 y' ∈ R^m よりも好ましい（厳密に支配する）と書かれ、y'' ≻ y' と表記されます。したがって、パレートフロントは次のように書かれます。 P ( Y ) = { y' ∈ Y : { y'' ∈ Y : y'' ≻ y' , y' ≠ y'' } = ∅ }。 限界代替率 経済学におけるパレートフロントの重要な側面は、パレート効率的な配分では、全ての消費者の限界代替率が同じであるということです。[6] 形式的な記述は、m人の消費者とn個の商品、および各消費者の効用関数 z_i = f^i ( x^i ) を考慮することで導き出すことができます。ここで、x^i = (x_1^i, x_2^i, ..., x_n^i) は商品のベクトルです。実現可能性制約は、j = 1, ..., n に対して ∑_{i=1}^m x_j^i = b_j となります。パレート最適配分を見つけるために、ラグランジュ関数を最大化します。 L_i ( (x_j^k)_{k,j}, ( ext{λ}_k)_k, ( ext{μ}_j)_j ) = f^i (x^i) + ∑_{k=2}^m ext{λ}_k (z_k - f^k (x^k)) + ∑_{j=1}^n ext{μ}_j (b_j - ∑_{k=1}^m x_j^k) ここで、( ext{λ}_k)_k と ( ext{μ}_j)_j は乗数ベクトルです。j = 1, ..., n および k = 1, ..., m に対して、各商品 x_j^k に関するラグランジュ関数の偏導関数を取ると、次の一次条件のシステムが得られます。 ∂ L_i / ∂ x_j^i = f_{x_j^i}^1 - ext{μ}_j = 0 （j = 1, ..., n に対して） ∂ L_i / ∂ x_j^k = - ext{λ}_k f_{x_j^k}^i - ext{μ}_j = 0 （k = 2, ..., m および j = 1, ..., n に対して） ここで、f_{x_j^i} は f の x_j^i に関する偏導関数を表します。ここで、任意の k ≠ i および j, s ∈ {1, ..., n} を固定します。上記の一次条件は、f_{x_j^i}^i / f_{x_s^i}^i = ext{μ}_j / ext{μ}_s = f_{x_j^k}^k / f_{x_s^k}^k を意味します。したがって、パレート最適配分では、限界代替率は全ての消費者で同じでなければなりません。[7] 計算 有限個の代替案のパレートフロントを計算するためのアルゴリズムは、コンピュータサイエンスおよび電力工学で研究されています。[8] それらには以下が含まれます。 「点集合の最大値」 「最大ベクトル問題」またはスカイラインクエリ[9][10][11] 「スカラー化アルゴリズム」または重み付き和法[12][13] 「ε-制約法」[14][15][16] 多目的進化アルゴリズム [17][18] 近似 パレートフロント全体を生成することはしばしば計算量的に困難であるため、近似的なパレートフロントを計算するためのアルゴリズムが存在します。例えば、Legrielらは、集合SをパレートフロントPのε-近似と呼びます。これは、SとPの間の有向ハウスドルフ距離がε以下である場合です。彼らは、d次元の任意のパレートフロントPのε-近似は、(1/ε)^d クエリを使用して見つけることができると観察しています。Zitzler、Knowles、Thieleは、スケーリングへの不変性、単調性、計算複雑性などの様々な基準でパレート集合近似のためのいくつかのアルゴリズムを比較しています。[20] 参考文献 ↑ proximedia. "Pareto Front". www.cenaero.be. Archived from the original on 2020-02-26. Retrieved 2018-10-08. ↑ Kang, Shida; Li, Kaiwen; Wang, Rui (2025-06-01). "A survey on pareto front learning for multi-objective optimization". Journal of Membrane Computing. 7 (2): 128–134. doi:10.1007/s41965-024-00170-z. ISSN 2523-8914. ↑ Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering (Berlin/Heidelberg: Springer, 2014), pp. 111–148. ↑ Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., Multi-criteria Decision Analysis, 2nd ed. (Amsterdam: Elsevier, 2013), pp. 63–65. ↑ Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014 (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), pp. 399–412. ↑ Just, Richard E. (2004). The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation. Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew. Cheltenham, UK: E. Elgar. pp. 18–21. ISBN 1-84542-157-4. OCLC 58538348. ↑ Just, Richard E.; Hueth, Darrell L.; Schmitz, Andrew (2005-01-01). The Welfare Economics of Public Policy: A Practical Approach to Project and Policy Evaluation. Edward Elgar Publishing. ISBN 978-1-84542-157-1. ↑ Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto (2013). "Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II". Energies. 6 (3): 1439–55. doi:10.3390/en6031439. hdl:2117/18257. ↑ Nielsen, Frank (1996). "Output-sensitive peeling of convex and maximal layers". Information Processing Letters. 59 (5): 255–9. CiteSeerX 10.1.1.259.1042. doi:10.1016/0020-0190(96)00116-0. ↑ Kun