シルベスター・ガラ定理

シルベスター・ガラ定理 画像：Wikimedia Commons ユークリッド平面上の有限個の点集合で、すべてが一直線上（共線的）にない場合、そのうちのちょうど2点だけを通る直線が存在する。 この証明は、ミシガン州立大学の数学者リロイ・ミルトン・ケリーによるものである。 すべての点が一直線上にあるわけではない点集合Sを考える。そして、少なくとも2つの点を含む直線を接続線と定義する。 集合内の他のどの点と直線のペアよりも近い距離にある点Pと直線ℓが存在しなければならない。ケリーは、ℓがSの点のうち2つだけを含むことを証明する。 これが真実ではない、つまりℓがSの点のうち3つ以上を含むと仮定する。その場合、それは少なくとも3つの点を通ることになる。 これらのうち少なくとも2つは、Pのℓへの垂線投影であるP'の同じ側に位置するはずである。BをP'に最も近い点として、BとCという2つの点があるとしよう。 もし、PとCを通る接続線mを引き、Bからmへの垂線をB'とすると、BB'はPP'よりも短くなる（なぜなら、PP'CとBB'Cは相似な三角形だからである）。 これは矛盾である。我々は、Pとℓを、集合内の他のどのペアよりも近い距離にある点と直線のペアとして定義したからだ。 したがって、ℓが3つ以上の点を含むという我々の仮定は真実ではありえない。 2026年7月26日 2026年7月25日 | 科学・数学