興味深いフーリエ変換 – 1/fノイズ

アカデミア / リサーチ べき乗則関数は科学技術分野で一般的です。驚くべき性質として、べき乗則関数のフーリエ変換もまたべき乗則関数になるというものがあります。しかし、これは始まりに過ぎません。多くの興味深い特徴がすぐに明らかになります。これは、80年続く物理学の謎を解く鍵となる可能性すらあります。 以下のフーリエ変換から始まります。 t^α ↔ ω^-(α+1) ここでαは定数です。例えば、t^2 ↔ ω^-3 および t^-0.75 ↔ ω^-0.25 です。残念ながら、この単純な関係を歪める追加の項があります。 第一に、左辺には単位ステップ関数 u(t) が含まれます。これは、t < 0 では u(t) = 0、t ≥ 0 では u(t) = 1 と定義されます。つまり、これは時間領域を片側べき乗則にします。 第二に、周波数領域のべき乗則は振幅にのみ関係し、全くべき乗則に似ていない位相項があります。 第三に、周波数領域にはスケーリング係数 Γ(α +1) があります。これはガンマ関数であり、本質的には階乗の連続版です。ガンマ関数のグラフを以下に示します。この奇妙な関数についてはあまり心配しないでください。これは単に、αの値に応じて周波数領域の振幅をスケーリングする定数と考えてください。 以下の表は、このフーリエ変換の9つのケースを示しており、αは-2.0から2.0まで変化し、曲線のおおよそのスケッチが描かれています。周波数領域も、対数-対数プロットで振幅のおおよそのスケッチを示しており、これは傾き -(α+1) の直線になります。この図を数分かけて調べ、特に時間領域と周波数領域の対称性に注目してください。 これらのケースのうち、α=0 の場合が皆さんに馴染み深いもののはずです。これは単位ステップ関数のフーリエ変換であり、振幅は 1/ω、位相は -π/2 です。おそらく覚えていると思いますが、これは完全な積分器のインパルス応答と周波数応答を表します。 次に、積分器にさらに積分器を続けた場合を考えます。この2段階の組み合わせのインパルス応答は、単位ステップ応答自身との畳み込みです。周波数領域では、振幅は 1/ω × 1/ω となり、位相は 2 × (-π/2) となります。この2連積分器のカスケードは、α=1 のグラフに示されており、インパルス応答は線形に増加する直線であり、周波数スペクトルは 1/ω^2、位相は -π です。同様に、α=2 は3連積分器のカスケードを表し、以降同様です。 これらのフーリエ変換は、両方の領域に厄介な特徴（例えば、t → ∞ で t^2、ω → 0 で ω^-3 など）が含まれているにもかかわらず、非常にうまく振る舞うというのは興味深いことです。 さらに興味深いことがあります。α = -1 に近づくと、時間領域は t^-1 の形状に近づき、周波数領域はゼロ位相のフラットな振幅に近づきます。しかし、フラットな振幅とゼロ位相は、時間領域のデルタ関数 δ(t) に対応します。つまり、α → -1 の極限では、u(t)t^-α = δ(t) となります。これは、t^-α の鋭い尖りが α → -1 で急速に成長し、関数全体を支配するためです。しかし、α = -1 では正確に何が起こるのでしょうか？鋭い尖りが、t^-1 の有限の幅を完全に打ち消すことができるのでしょうか？数学は、この質問をしないように教えてくれます。周波数領域には Γ(α+1) というスケーリング係数があることを思い出してください。α = -1 の場合、ガンマ関数は定義されません。 ここで、私が絶対に魅力的だと感じる特徴にたどり着きます。一般に、一方の領域のべき乗則がもう一方の領域のべき乗則に対応することを見てきました。さらに、逆の関係があります。時間領域の減衰が速いほど、周波数領域の減衰は遅くなり、その逆も同様です。これは、両方の領域が等しくなる特定の減衰率が存在しなければならないことを意味します。これは α = -0.5 の場合に起こり、時間領域は t^-0.5、周波数領域は ω^-0.5 となります。興味深いですが、これは何を意味するのでしょうか？ 次に、一般的な電子アンプ内で発生するノイズを測定したグラフを示します。100 Hz 以上の平坦な部分はホワイトノイズと呼ばれ、よく理解されています。しかし、100 Hz 以下の傾斜部分は全くよく理解されていません。これは1/fノイズであり、80年以上説明を拒んできた謎です。1/fノイズは、電子機器、高速道路の交通密度、クラシック音楽の音量、DNAコーディングなど、奇妙な場所で観測されています。 ノイズの多くの特性は、信号の電力、つまり振幅の二乗に直接関係しています。したがって、ノイズを扱うほとんどの人は、振幅スペクトルではなく、パワースペクトルで考えます。1/fノイズという名前は、そのパワースペクトルが 1/f に近い形状をしていることに由来します。しかし、1/fノイズの振幅スペクトルを見ると、その形状は 1/f^0.5 となります。上記のグラフでわかるように、振幅の対数-対数プロットでは、1/fノイズは傾き -0.5 を持ちます。 これで、私が何を言おうとしているかわかるでしょう。少なくとも限定的な意味で、1/fノイズはそれ自身のフーリエ変換であり、周波数領域では ω^-0.5、時間領域では t^-0.5 です。例えば、u(t)t^-0.5 で与えられる単一のパルスは、1/f のパワースペクトルを持ちます。同様に、このようなパルスのランダムに発生するシーケンスは、少なくとも広い周波数範囲では、1/f のパワースペクトルを持ちます。さらに、1/fノイズは、インパルス応答が u(t)t^-0.5 のフィルタをホワイトノイズに通すことによって生成できます。 残念ながら、これらのシナリオのいずれも、1/fノイズの広範な観測を説明する物理的な解釈を持っていないようです。何かがまだ欠けていることは明らかです。 もう一つの問題もあります。u(t)t^-0.5 は、振幅 Mag = ω^-0.5、位相 φ = -π/4 の変換ペアです。しかし、1/fノイズの位相が何であるか、あるいは定義された位相を持っているかさえ誰も知りません。もし位相が φ = -π/4 と異なる場合、対応する時間領域信号も異なります。つまり、1/fノイズの特徴的な時間領域波形が単に t^-0.5 ではない可能性があるということです。それにもかかわらず、1/fノイズがそれ自身のフーリエ変換であるという考えは非常に説得力があります。 ランダムなイベントに関連する最も重要な波形であるガウス曲線について考えてみてください。中心極限定理は、ガウス分布がなぜ一般的に観測されるのかを説明します。しかし、ガウス関数のフーリエ変換もガウス関数であるという事実もあります。これは単なる偶然以上のもののように思えます。1/fノイズの謎を解く上で重要な手がかりだと思います。 コメントは大歓迎です！特に、新しい研究の方向性に関する提案や（神に誓って）数学的な誤りがあれば感謝します。 スティーブ・スミス メール http://www.dspguide.com/ 2007/11/24 あなたも好きかもしれません 第四の波を探して アレン・ダウニー著 それ自身のフーリエ変換である波形 なぜガウス関数はユニークではないのか：無限の自己フーリエ波形を構築する簡単なトリック スティーブ・スミス著 フーリエ変換はなぜ壊れているのか 実用的な信号処理におけるギブス現象、Lp完備、およびフーリエの時間局在性の欠如を説明する サミ・アルダラメ氏著 プライバシーを尊重します 当社は、サービスを提供し、関連コンテンツを表示するためにクッキーを使用しています。クッキーポリシー、プライバシーポリシー、および利用規約をご覧ください。 すべて必須を受け入れる のみ ブログ スティーブ・スミス 興味深いフーリエ変換 - 1/f ノイズ スティーブ・スミス●2007年11月23日●25件のコメント コメント コメントを書く コメントを追加するを選択 [ - ]コメント by inhahe●2009年5月20日 8 私は数学があまり得意ではないので、1/fノイズについての単純な見解を述べます。低周波の方が高周波よりも伝播し、浸透しやすいことはすでに広く知られています。音、光、あるいは何であれ、例えばそれが