メビウスの帯のクロスワード

ランドール・ローゼンバーグは、ニューヨーク・タイムズ（1988年8月10日）で、「パズルメーカーたちはERNEとESNEの衰退、そしてXEROXとPEACE PLANの台頭についてクロスワードで意見を交わしている」と書いていますが、2年前にはロバート・ギルバート・シニアという人物が、この論争を知らずにPago Pagoという競争クロスワードゲームを開発し、クロスワードファンの情熱に初めて気づきました。 「ギルバートがクロスワードベースのゲームPago Pagoを発明した」という記述は、2012年3月14日のブログに掲載された、書誌情報なしで転載されたニュース記事または雑誌記事に繰り返されています。その記事は「ロバート・ギルバート・シニアはクロスワードパズル殿堂を開設したいと考えている。あるいは、ギルバートが習慣から言うように、博物館、聖域、保管庫、ギャラリー、あるいは不滅の偉人たちの殿堂を。」（もしこの記事の出典をご存知でしたら、教えていただければこの投稿を更新します！）いずれにせよ、Pago Pagoについて私が印刷物で見つけられたのはこれだけです。 ヘレン・ホヴァネックの記事「Robert Guilbert’s Crossword Academy」（CROSSW RD、1992年11月/12月）にはPago Pagoに関するテキストは含まれていませんが、ギルバート（1911-1990）が熱心に作業している様子を捉えた、キャプションのない写真が含まれています。 「Pre-Shortzian Puzzle Project」ブログのデビッド・スタインバーグは、ギルバートの短命に終わったクロスワードアカデミーとの関連でギルバートに数回言及しており、2016年にはギルバートの息子ジョナサンから非常に素晴らしいブログコメントを受け取り、電子メールでもう少し情報を得ました。ジョナサンは、一部を次のように書いています。 写真では、彼が「メビウスの帯」としてデザインしたパズル、「始まりも終わりもない『無限クロスワードパズル』」に取り組んでいるのが見えます。私は、彼がこのゲームを「Pago Pago」という名前で製造・販売しようとしていたのだと思います。個人的には、ジョナサンの推測は間違っていたのではないかと疑っています。メビウス帯パズルと「Pago Pago」パズルゲーム（それがどのような性質のものであったにせよ）は、別々のプロジェクトだったのではないでしょうか。しかし、ジョナサンの推測を根拠に、メビウス・Pago Pago仮説は、エイドリアーヌ・ラフェルの博士論文「The Crossword Mentality in Modern Literature and Culture」（ハーバード大学、2018年）で事実として再現されました。「1986年、ミルウォーキー出身で引退後パズルに没頭していた元広告コピーライターのロバート・ギルバートは、Pago Pagoというゲームを発明しました。これはメビウスの帯上の無限クロスワードで、クロスワードファンに売り込み始めました。」同じ文章が、ラフェルの著書Thinking Inside the Box（2020年）にも登場します。伝言ゲームは、ネイサン・ラストのAcross the Universe（2025年）でも続いています。「彼はPago Pagoというゲームを発明し、それを偉大な人々に売り込みたかった。」 しかし、メビウスの帯上のクロスワードとは、そもそもどのようなものなのでしょうか？と私は自問しました。おそらく、それは下から上（そしてその逆）へとループするクロスワードでしょう。四辺すべてでそのようなループを持つものは、「トーラス状」になります。これは、私がキース・カルキンスの「tori crosswords」のページで見つけたものですが、作者はジェフ・ウィークスだと推測しています。 ジェフ・ウィークスはこれらのパズルをたくさん作っています。MoMathのこのPDFをご覧ください。彼は実際に「クラインの壺」上のクロスワードさえ作っています。ここでは、右辺と左辺は以前と同様に接続され、上辺と下辺はメビウスの半分のねじれで接続されます。 上記のクロスワードは、5x5でありながら、2つの最も長いエントリがそれぞれ9文字であるという点で興味深いですが、完全には満足のいくものではありません。なぜなら、Acrossエントリの半分は右から左に読まれ、もしそれが実際に半分のねじれでループするとしたら、文字も逆さまになるのではないでしょうか？そうなると、6-DownはMESSENGERではなく、MESSENGERになるでしょう。そして、その他も同様です。（2-Downは非常にきれいに鏡像反転しますが！） さて、真の数学的なメビウスの帯は、マーティン・ガードナーによれば、トポロジストが「非向き性」と呼ぶものです。帯が厚さゼロの真の表面であると想像してください。この2次元空間に埋め込まれた、鏡像と同一でない（鏡像と区別がつかない）平坦な生物がいます。そのような生物が帯を一周して仲間に戻ると、そのパリティが変化し、かつての自分の鏡像になってしまいます。 もし私たちの「平坦な生物」がクロスワードエントリの文字形であるならば、クロスワードがループするとき、文字形はパリティを変化させます。SはSになり、そしてそうなるでしょう。したがって、使用できる文字は垂直対称なものだけのように思われ、以下の無限のジョークよりも複雑なクロスワードを作成するのは非常に困難でしょう。 あるいは、水平対称な文字（HEEHEEHEE...）で水平にループさせることもできます。しかし、無限に長くならないエントリを作成するには、代わりに斜めの「はしご」を作成する必要があります。これは、写真のロバート・ギルバートがやっているように見えるものです！ もし私たちの「はしご」が左下に向かう斜めであれば、このようになります：ABC DEF GHI そうすれば、OやXはもちろん、45度の線上に対称軸を持つ文字を使用できるようになります。また、Lも使えます。「LOX」を水平にすると、Downエントリの1つとして「XOL」になります。実際、Wも使用できます。これは（うまく描けば）Eに反転し、Hは（セリフ付きで）Iに反転し、CはUに反転し、Dさえも（長いセリフ付きで）きれいな丸い大文字Aに反転します。 これにより、以下のメビウス帯クロスワードを作成するのに十分な自由度が得られます。 この帯を印刷し、端を半分のねじれで貼り合わせてください。重いインクマーカーで塗りつぶすと、最初の5つの手がかりを解くだけでよく、その後帯を裏返して、紙を通してにじみ出た文字形で最後の5つの手がかりの答えを読むことができることがわかります！（あるいは、紙の裏を光にかざすか、本当に怠惰な人は、横に鏡を置くだけです。） 私のクロスワードは良くありません。ひどい埋め込みだけでなく、エントリも繰り返しています。Acrossエントリの6つがDownエントリにも繰り返されています。しかし、コンピュータの助けを借りても見つけられた、最良の3文字のはしごでした。可能な単語の辞書は23組の単語しかありませんでした。（覚えておいてください、すべてのAcrossエントリはDownエントリに反転します。もしLAWがAcrossなら、必然的にEDLがDownになります。そしてEDLは単語ではないので、LAWも辞書にはありません。）このように鏡像反転する3文字以上の単語は、非常に珍しいです。HOWLはLEO Iに、ALOEはWOLDに、ALOUDはA COLDに反転します。それくらいです。 より良いメビウス帯クロスワードを思いつきますか？あるいは、ロバート・ギルバートのPago Pagoプロジェクトに関する追加情報をお持ちですか？メールで教えてください！ 関連項目：「完全にシュレーディンガーのクロスワード」（2025-01-03） 投稿日：2026-08-04 クロスワード、数学、美しい写真、パズル