あらゆる階数のマジックヘキサゴンは存在する

19という数字の何が特別なのでしょうか？この疑問は先月、学校が19周年を迎えた際のYSDA卒業生たちの会話で持ち上がりました。誰かが19は双子素数だと指摘しました。別の誰かは、19は唯一の非自明な正規マジックヘキサゴンに含まれるセルの数だと答えました。そもそも、「マジックヘキサゴン」とは何でしょうか？そこから始めましょう。 マジックスクエアとマジックヘキサゴン おそらくマジックスクエアについてはご存知でしょう。マジックスクエアとは、すべての行、すべての列、そして両方の主対角線が同じ合計値（マジックコンスタントと呼ばれる）になるような数字の正方形グリッドのことです。通常、数字は連続していること、典型的には1からn^2までの範囲であることが要求され、これを正規マジックスクエアと呼びます。そうでなければ、すべてのセルに同じ数字を入れることができ、それはグリッドを埋める非常に退屈な方法になります。マジックスクエアは何千年もの間知られており、現在では非常によく理解されています。我々は、n>2のすべての階数の正規マジックスクエアを構築するためのアルゴリズムを持っています。 マジックヘキサゴンは、このアイデアを六角形のグリッドに適用したものです。そのセルは3つの方向に直線状に配置され、そのような各直線は同じ合計を持つ必要があります。スクエアの場合と同様に、マジックヘキサゴンは、階数nのヘキサゴンの総セル数である1から3n^2-3n+1までの連続した数字を含んでいる場合、正規と呼ばれます。上記に見られるのは、その回転や鏡像を除けば、存在する唯一の非自明な正規マジックヘキサゴンです。証明は単純です。3つの方向のそれぞれにおいて、セルは2n-1本の直線に分割されます。したがって、すべての数字の合計は2n-1で割り切れる必要があります。階数n>3の場合、1から3n^2-3n+1までの数字の合計は、この割り切りのテストに失敗します。 さて、ここで話を終わらせるのは面白くありません。より興味深いものにするために、いわゆる異常マジックヘキサゴンを見てみましょう。ここでは制約を1つ緩和します。グリッド上の数字は連続している必要がありますが、必ずしも1から始まる必要はありません。この小さな緩和によって、新しい解が現れるようになります。しかし、それらを見つけるのは容易ではありません。マジックスクエアとは異なり、公式な構築方法や決定的なアルゴリズムはありませんでした。唯一知られているアプローチは、可能な配置の非常に巨大な探索空間をさまようことでした。Wikipediaによると、2026年7月現在、知られている最大の解は、2024年にKlaus Meffertによって発見された階数n=9のヘキサゴンでした。 では…これらの解を見つけるのがなぜそれほど難しいのでしょうか？そして、試してみるのはどうでしょうか？ 第1章：観察を行う（人間の脳で） 2つの独立した制約の間には明確な緊張関係があります。 * 数字は連続している必要があります。 * 直線の長さは異なりますが、すべての直線上の合計は等しくなければなりません。 私が以前に見つけた解は、人々がすでにいくつかの探索アルゴリズムを試しており、おそらくそれらをうまく最適化していたことを示唆していました。そのため、もしこの分野を進歩させたいのであれば、探索を速くすることではなく、探索空間を小さくすることに焦点を当てるべきだと考えました。 観察：反対称ヘキサゴンははるかに単純 まず、グリッド上の数字をあるKに対する対称区間-K、…、Kに制限しましょう。すべての直線上の合計が等しい場合、これは各直線上の合計がゼロであることを要求することと同等です。次に、中央に0を置き、180度回転させたときに互いに反対側にあるセルが反対の値を持つことを要求します。1つのセルがxを含む場合、その反対側のセルは-xを含みます。 これにより、どれだけの制約が消えるかに注目してください。中心を通るすべての直線は、反対側のペアで値が相殺されるため、自動的に合計がゼロになります。中心を通らない他のすべての直線は、反対側の反対側の数字の合計を持つ反対側の直線を持っています。それらのうちの1つがゼロに合計される場合、もう1つもゼロに合計されます。 もちろん、制約を単純化することにはリスクが伴います。おそらく、解は追加の対称性を全く満たさないかもしれません。この時点では、酔っ払いの原則に従って、反対称性は単に可能性のある探索場所でした。しかし、ゼロサムヘキサゴンについて考え始めると、別の構造が現れました。 観察：すべてのゼロサムヘキサゴンは同じ6点リングから構築される 任意の六角形グリッド、ゼロサムであるかどうかにかかわらず、考えてみてください。任意の内部点の周りの6つのセルを取り、交互のパターン[-1,+1,-1,+1,-1,+1]を追加します。中央のセルは変更しません。このリングに交差するすべての直線は、寄与を受けないか、または2つの反対側の寄与（+1と-1）を受け取ります。したがって、その合計は変更されません。このパターンの任意の倍数を追加しても、単一の直線上の合計は変更されません。 これらの局所的な交互リングは基底を形成します。すべてのゼロサムヘキサゴンは、それらのユニークな線形結合として構築できます。簡潔さのために証明は省略しますが、アイデアはかなり単純です。外側の層から始めて、そのセルをキャンセルするリング係数を選択し、層を剥がして帰納法で内側へ進みます。したがって、階数nのゼロサムヘキサゴンは2つの等価な表現を持ちます。表示されるセルの値。各局所リングがどれだけ含まれているかを記録する階数(n-1)のポテンシャルフィールド。 ポテンシャルフィールド表現も、構築によってすべての直線上の合計の制約を満たします。しかし、表示される値がすべて異なり、連続していることを保証するものではありません。それらは依然として困難な大域的制約です。 以下では、階数3の反対称ヘキサゴンのポテンシャルフィールドで遊ぶことができます。ポテンシャルフィールドをどのように変更しても、ヘキサゴンの直線上の合計はゼロのままです。しかし、ヘキサゴンを「マジック」にすることは、依然として非常に難しい課題です。（残念ながら、このプレイグラウンドはモバイルリーダーには小さく見えます） インタラクティブなポテンシャルフィールドの可視化 この表現は反対称性ともよく合います。反対称ヘキサゴンのポテンシャルフィールドはそれ自体が対称です。 アイデアは、任意の配置の中から探索して壊れた直線 repeatedly 修復する代わりに、すべての直線がすでにゼロに合計される空間内を完全に探索できるということです。これは、ソルバーにとって（あるいはそうでないかもしれませんが）より小さい探索空間になる可能性があります。 第2章：新しいヘキサゴンを見つける（AIがコードを書く） ほぼ同時期に、私はMidnight Code Cup 2026の事前問題解決を手伝っていました。これは、LLMの使用が明確に奨励されているプログラミングコンペティションです。そのタスクの多くは最適化問題です。私の主な収穫は、LLMがドメイン固有のソルバーを開発する上で異常に効果的であり、Z3やOR-Toolsのような汎用ツールをはるかに凌駕することでした。 そのため、別の汎用制約ソルバーに頼る代わりに、GPT-5.6 Solにアクセスし、問題に対してより自由を与えました。私は反対称性の制約とポテンシャルフィールド表現を指摘しました。モデルは関連する概念を検索し、問題をHeffter配列（ゼロサム条件が指定された符号付き整数の組み合わせ配置）に結びつけました。問題は同一ではありませんが、この関連性により、影響を受ける合計を制御しながら値を整理し、交換するためのより良い方法が示唆されました。 結果として得られたプログラムは、汎用制約ソルバーのアプローチを放棄し、カスタムシミュレーテッドアニーリングを採用しました。その後、数ラウンドの最適化を通じてデューデリジェンスを行いました。モデルにホットループでNumbaを使用するように依頼し、perfでメモリ割り当てと乱数生成のボトルネックを特定し、最終的にプログラムからさらに50%のパフォーマンスを引き出しました。 これが最終結果です。その後、数日間、約24個のCPUコアを使用して自宅のサーバーで実行させました。期待していた通り、より小さい探索空間と専門化されたソルバーの組み合わせは驚くほどうまく機能しました。すぐに、n=21までのすべての階数のマジックヘキサゴンを発見しました。それらはここにあります。 マジックヘキサゴン ポテンシャルフィールド 階数21 読み込み中… セルの値は混沌としてノイズが多いように見えます。それらのポテンシャルフィールドはそうではありません。それらは地形図に似ており、広大な斜面、尾根、谷、そして驚くほど滑らかな遷移があります。この滑らかさが手がかりなのか、それとも単に探索の副産物なのかは、まだわかりませんでした。いずれにせよ、それらの風景を見て、より大きな構造が隠れているのではないかと疑わないのは困難でした。 第3章：すべてのヘキサゴンを見つける（AIが主導する） 繰り返し fi