HRT反例の部分的消化

新しいもの 私の研究と解説論文の最新情報、未解決問題の議論、その他の数学関連トピック。 テレンス・タオ著 ホーム プロフィール キャリアアドバイス 執筆について 書籍 Mastodon+ アプレット フィードを購読 HRT反例の部分的消化 2026年8月6日 解説、数学.CA | タグ: HRT予想、時間周波数解析 | by Terence Tao 1変数関数は、空間シフトによる空間的移動で新しい関数を得ることができ、また周波数シフトによる周波数変調で新しい関数を得ることができます。 これら2つの操作を合成することで、時間周波数シフトを得ることができます。 （これはハイゼンベルク群のワイル表現の一部と見なすことができますが、ここでは表現論的な視点は採用しません。） いくつかの関数は、その時間周波数シフトの間に有限の線形関係を満たします。例えば、正弦波は関係を満たします。 しかし、Heil-Ramanathan-Topiwala（HRT）予想は、ある合理的な減衰条件を課せば、そのような関係は存在しないと主張しています。 予想1（HRT予想） がゼロでない場合、いくつかの異なる点といくつかの係数（すべてがゼロではない）の形の関係は存在しない。 HRT予想の特殊なケースで、これも未解決だったものは、追加の仮定としてがシュワルツ関数であるとしていました。 この予想に向けて多くの肯定的な結果が知られていました。ここではいくつかだけ言及します。 Linnellの結果として、が離散部分群の平行移動に属する場合、予想は真であることが知られています（これは、共線的なケースを処理する議論と合わせて、すべてのケースを確立します）。また、ケースに関するいくつかの部分的な結果も知られています。 BownikとSpeegleの研究により、が十分に超指数関数的な速度で減衰する場合も予想は真であることが知られています。 私は、さまざまな講演や同僚との会話を通じてこの予想を知っており、しばらくの間自分で試してみたことさえありましたが、特に真剣な努力（または進歩）はありませんでした。 したがって、Faulhuber、Petersen、van Velthoven、Voigtlaenderによって、シュワルツケースでさえ解決されたのを見て、嬉しい驚きでした。 定理2 ゼロではない複素数、異なる点、およびゼロではないシュワルツ関数が存在し、次の関係を満たす。 おそらく、この現在の時代において、この結果がAI支援であることは驚くべきことではありません。しかし、著者はAIの使用を責任を持って開示しており、最終的な議論は手書きで、議論の読みやすい概要、方法論の適切な議論、過去の文献との関連、および結果に対するその他の独立した数値チェックとともに書かれています。 否定的な結果は、肯定的な結果の少し先にあるだけです。は現在まで増加し、点のすべて（ただし1つ）は（離散部分群の平行移動）に属します（実際、明示的な部分群が使用されます）。構築された関数は滑らかで急速に減衰しますが、解析的または超指数関数的に減衰するわけではありません。これは既知の肯定的な結果と衝突し始めます。 初期の証明戦略の考案にAIが使用されたことに加えて、議論の1つのステップを検証するために、より伝統的な数値計算が使用されました。 結果の完全な消化を行う時間がありませんでしたが、（導入を読み、私自身のAI支援を少し利用して）主要なアイデアを高レベルで理解することができました。 最初のいくつかの還元は比較的標準的です。 と設定し、問題を固有値問題として見ることができます。 時間周波数シフトは、特定の無理数シフトによる離散部分群の平行移動に配置されます。 標準的な格子 のシフトで作業している場合、のザック変換を扱うのが自然ですが、位相的な理由（平均ゼロの標本値準周期関数のゼロを強制することに関連する）から、これを実行するとアプローチはうまくいかないことが判明したため、著者はわずかに密な格子 を使用しました。これは、ベクトル値のザック変換のベクトル値バージョンに関連しており、値はではなく、の範囲をとります。 この変換を適用すると、固有値問題は標準的な計算によって「ベクトルコサイクル問題」に変換されます。ここで、はゼロではない滑らかな準周期ベクトル値関数、は無理数シフト、および は、の選択に依存する特定の明示的な行列値関数です。 この方程式をどのように解くか？ 動機となるシナリオは、行列関数がランク1関数に置き換えられた場合です。ここで、は単位大きさの滑らかなベクトル値関数の場合です。この場合、方程式を次のように解くことができます。 関数をこの形式に正確にすることはできませんが、いくつかの数値計算と巧妙なAI支援による推測を通じて、著者は、とを選択し、がこの形式のランク1関数にほぼ等しくなるようにすることができ、実際、一様な推定値を得ることができました。 結局のところ、そのような近似は、収縮写像の議論を実行して、のバリアントの方程式の解を見つけるのに十分です。ここで、は滑らかでです。（ここでは、演算子ノルムのバウンドが以下になることが重要でした。彼らはかろうじてそれを達成しており、数値的に得られたバウンドはですが、このバウンドは最適ではないかもしれません。） 残りの主な障害は、「固有値関数」が定数ではなくパラメータで変化していることです。（この問題は、以前のDemeterの研究で、ほぼマチュー離散シュレディンガー演算子の固有関数がHRT予想に対するほぼ失敗の反例を与えたが、定数ではなく補助的な位相シフトパラメータに依存する固有値を持っていたことが観察されたことで、ある程度予測されていました。） しかし、もし滑らかな のためにスカラーコサイクル方程式を解くことができれば、次のように方程式を解くことができます。 方程式を解くアプローチは標準的です。対数をとり、フーリエ変換を適用し、シフトに関連する乗数を割り算します。 これは、さまざまな力学的な文脈（例えばKAM定理）で発生する有名な「小分母」問題を引き起こす可能性がありますが、標準的な解決策は、有理ベクトルにあまりにも似ていないシフトを選択することです。 数値計算の目的で、著者は非常に具体的なシフトを選択しました。しかし、ここでの正確な選択は議論にとって重要ではなく、他の多くの無理数代数的数がここで機能した可能性があるという印象を受けました。 共有: 印刷（新規ウィンドウで開きます） 印刷 友達にリンクをメール（新規ウィンドウで開きます） メール もっと Xで共有（新規ウィンドウで開きます） X Facebookで共有（新規ウィンドウで開きます） Facebook Redditで共有（新規ウィンドウで開きます） Reddit Pinterestで共有（新規ウィンドウで開きます） Pinterest いいね 読み込み中... 最近のコメント dutifullyb3c31ab42c on A digestion of the Jacobian co… Anonymous on A partial digestion of the HRT… jennifer suzuki on The three-dimensional Kakeya c… Anonymous on A digestion of the Jacobian co… Anonymous on A digestion of the Jacobian co… Anonymous on A digestion of the Jacobian co… Terence Tao on A partial digestion of the HRT… Anonymous on A digestion of the Jacobian co… Anonymous on How to assign partial credit o… Anonymous on A partial digestion of the HRT… pirategenerously045d… on About Terence Tao on A partial digestion of the HRT… Michael M. Ross on A digestion of the Jacobian co… Anonymous on A direct proof of the stationa… Anonymous on A partial digestion of the HRT… トップ投稿 A partial digestion of the HRT counterexample A digestion of the Jacobian conjecture counterexample Career advice The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl Work hard An integration approach to the Toeplitz square peg problem On writing About Books Does one have to be a genius to do maths? アーカイブ 2026年8月 (1) 2026年7月 (9) 2026年6月 (3) 2025年5月 (1) 2026年3月 (4) 2026年2月 (3) 2026年1月 (4) 2025年12月 (5) 2025年11月 (5) 2025年9月 (1) 2025年8月 (3) 2025年7月 (1) 2025年6月 (2) 2025年5月 (5) 2025年4月 (2) 2025年3月 (1) 2025年2月 (3) 2025年1月 (