自然数集合の束は豊かである

自然数集合の束、すなわち冪集合束 $\<P(\N), \subseteq>$ の広大で密に populate された領域を探求しましょう。私たちはここで、自然数のあらゆる集合 $A \subseteq \N$ を見つけ、それらを包含関係 $A \subseteq B$ に関して考察します。これは束順序です。なぜなら、2つの集合の和集合 $A \cup B$ は包含関係におけるそれらの最小上界であり、共通部分 $A \cap B$ はそれらの最大下界だからです。実際、$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ という関係から分配束であり、さらに冪集合代数としてブール代数であり、あらゆるブール代数は分配束です。空集合 $\emptyset$ はもちろん束の最下位にある全体最小元であり、集合全体 $\N$ は最上位にある全体最大元です。単集合 $\{n\}$ は原子であり、$\emptyset$ から1段上、一方それらの補集合 $\N \setminus \{n\}$ は原子補元であり、$\N$ から1段下です。一般に、有限集合は束の地上の下位に集まり、$\emptyset$ に有限の近さにあると考えられますが、一方、補有限集合は天上の最上位に限りなく近いです。対照的に、その間の広大な中心領域には、素数、平方数、平方因子を持たない数、合成数など、多くの深く興味深い集合を含む無限かつ補有限でない集合が見られます。質問。自然数集合の冪集合束 $P(\N)$ の部分順序として、どのような馴染みのある順序を見つけることができるでしょうか？初期区間の連鎖を単純に考えることで、冪集合束 $P(\N)$ の中に自然数順序 $\<\N, \leq>$ のコピーを簡単に見つけることができます：$\quad \emptyset \subseteq \{0\} \subseteq \{0,1\} \subseteq \{0,1,2\} \subseteq \cdots$この列は、図の左側をはしごのように登っていきます。好奇心旺盛な読者は、これらの集合のどれも有限であり、したがって私たちが言ったように地球に張り付いていると考えられますが、それでもこの列には、全体最大元 $\N$ 以外の束における上限はないことに気づくでしょう—任意の自然数は最終的に包含されます。したがって、このはしごは、常に地球に近づきながらも、束の最上位まで伸びています。同様に、それらの集合の補集合は無限に減少する列を形成します：$\quad \cdots \subseteq \N \setminus \{0,1,2\} \subseteq \N \setminus \{0,1\} \subseteq \N \setminus \{0\} \subseteq \N$補有限集合のこの連鎖は、図の右側を、天国から垂れ下がる結び目のあるロープのようにぶら下がっています。このロープの各結び目は補有限集合であり、私たちはそれを最上位に非常に近いと考えますが、それでもロープは $\emptyset$ 以外の最小界を持たないため、誘惑的に地球に向かって垂れ下がっています。離散整数順序 $\<\Z, \leq>$ のコピーを冪集合束で見つけることはできるでしょうか？はい、できます。例は、図の右側にある赤い連鎖、空間に吊るされたスカイクレーンとしてすでに表示されています。奇数の集合に立って、1度に1つの追加の偶数を加えることで離散的なステップで上昇できます。または、連続する奇数を削除することによって同様に下降することもできます。結果は整数順序 $\Z$ と同型な離散連鎖であり、極端な点 $\emptyset$ と $\N$ 以外では有界ではありません。例えば、有理数直線 $\<\Q, \leq>$ のような密な順序を見つけることはできるでしょうか？何？冪集合束の中に密な順序を見つけたいのですか？束が根本的に離散的な性質を持っていると考えると、それは不可能に思えるかもしれません。結局のところ、任意の集合の最も近い隣人は、要素を1つ追加または削除することによって得られます—そうすることで、厳密に中間的な集合なしに離散的なステップで上下します。束の本質的に離散的な性質は、密な順序 $\<\Q, \leq>$ を埋め込むことができないことを示唆していますか？いいえ！驚くべき事実は、実際に有理数直線を有理数直線 $\<\Q, \leq>$ を冪集合束 $P(\N)$ に埋め込むことができるということです。実際、さらに多くのことが真実です—どんな可算順序であっても、そのコピーを束 $P(\N)$ に埋め込むことができることがわかっています。どこにでも現れるあらゆる可算順序は、自然数集合の束の中に現れます。定理。自然数上の冪集合束 $P(\N)$ は、すべての可算順序に対して普遍的です。つまり、可算定義域上のあらゆる順序関係は、$\<P(\N), \subseteq>$ の部分順序と同型です。証明。まず、あらゆる順序関係 $\<L, \preccurlyeq>$ が、集合のコレクション上の部分集合関係 $\subseteq$ と同型であることを証明しましょう。すなわち、各 $q \in L$ に対して、$q{\downarrow}$ を $q$ の下位集合、すなわち $q$ の先行集合とします：$\quad q{\downarrow} = \{p \in L \mid p \preccurlyeq q\} \subseteq L$これは $L$ の部分集合であり、私が主張するのは次のとおりです：$\quad p \preccurlyeq q \quad \text{ iff } \quad p{\downarrow} \subseteq q{\downarrow}$これはほとんど明白です。順方向の含意については、$p \preccurlyeq q$ ならば、$p$ の下のあらゆる順序要素も $q$ の下にあるため、$p{\downarrow} \subseteq q{\downarrow}$ です。逆に、$p{\downarrow} \subseteq q{\downarrow}$ ならば、$p \in p{\downarrow}$ なので、$p \in q{\downarrow}$ でなければならず、したがって $p \preccurlyeq q$ となります。したがって、写像 $p \mapsto p{\downarrow}$ は、元の順序 $\<L, \preccurlyeq>$ からすべてのもとでの集合の族 $\{p{\downarrow} \mid p \in L\}$ への、部分集合関係を用いた同型写像です。証明を完成させるために、可算無限集合 $L$ の冪集合束 $P(L)$ は $P(\N)$ と同型であり、有限集合 $L$ の場合は自然数の有限集合以下の冪集合束と同型であるという事実を観察するだけです。これは、$L$ と自然数の集合との間の任意の全単射が、それぞれの部分集合の対応する同型を誘導するからです。したがって、所望のように $L$ のコピーを $P(\N)$ の中に見つけることができます。$\Box$証明をより具体的にするために、2つのステップを組み合わせることができます。すなわち、$\<L, \preccurlyeq>$ が任意の可算順序関係である場合、定義域集合 $L = \{p_0, p_1, p_2, \ldots\}$ を列挙し、各 $p \in L$ に対して $A_p = \{n \in \N \mid p_n \preccurlyeq p\} \subseteq \N$ とします。これは $p$ の下位集合に似ていますが、要素自体ではなく要素のインデックスを使用します。$p \preccurlyeq q$ ならば $A_p \subseteq A_q$ となり、したがって写像 $p \mapsto A_p$ は $\<L, \preccurlyeq>$ から $A_p$ の集合と $\subseteq$ の関係への順序同型写像となり、所望通りです。有理数の集合 $\Q$ は可算なので、上記の普遍性の定理のインスタンスとして、冪集合束 $\<P(\N), \subseteq>$ の中に有理数直線 $\<\Q, \leq>$ のコピーを見つけることができると結論付けられます。冪集合束の中に有理数直線のエレガントな明示的な表現を見つけることはできますか？$\Q$ を可算で無限に続く密な線形順序として特徴付けることを考慮すると、可算で無限に続く密な線形順序を形成する $P(\N)$ の連鎖を見つけるだけで十分です。しかし、それだけではありません！実際、自然数上の冪集合束の中に実数直線 $\<\R, \leq>$ のコピーを見つけることができるのです！待ってください…本当に？それはどうして可能なのでしょうか？実数は非可算であり、したがってこれは自然数集合の束における非可算連鎖となるはずですが、$P(\N)$ の各部分集合 $A \subseteq \N$ は可算であり、A に追加できる要素は可算個しかありません。束の中に非可算連鎖が存在しうるのはどうしてでしょうか？説明しましょう。定理。自然数上の冪集合束 $\<P(\N), \subseteq>$ は非可算連鎖を持ち、実際、実数連続体 $\<\R, \leq>$ のコピーを持っています。証明。冪集合束 $P(\N)$ の中に有理数直線 $\<\Q, \leq>$ のコピーが存在しなければならないことをすでに観察しました。つまり、写像 $q \mapsto A_q \subseteq \N$ が存在し、$\quad p < q \quad \text{ iff } \quad A_p \subseteq A_q$ が任意の有理数 $p, q$ に対して成り立ちます。