Show HN: Eigendrum - どんな形でも描いて、それがドラムとしてどんな音がするか聞く

仕組み 縁で固定されたドラムヘッドは、特定の形状と周波数でのみ振動できます。それらの形状と周波数は、形状内の−∇²u = λu、エッジ上のu = 0という方程式の解です。各解uはモード、つまり定常波であり、各λは√λに比例する周波数を与えます。これは固有値問題であり、ほとんどすべての形状に対して公式はありません。 したがって、Eigendrumはそれを数値的に解きます。形状を三角形のメッシュで覆い、有限要素法による剛性行列と質量行列を構築し、Kφ = λMφの最小固有値を求めます。 数値の信頼性 いくつかの形状では、スペクトルを正確に書き出すことができ、ソルバーは変更のたびにそれらに対してテストされます。円の周波数はベッセル関数のゼロであり、長方形の周波数はπ²(m²/a² + n²/b²)です。ソルバーは両方を0.1パーセント未満で再現し、適合有限要素法は制限された空間でエネルギーを最小化するため、その答えは常にわずかに過大評価され、過小評価されることはありません。測定された誤差は「数値」にあります。 どこを叩くかが重要 ある点を叩くと、そのモードがそこでどれだけ動くかに比例して各モードが駆動されます。モードが静止している線（モードが全く動かない場所）を叩くと、それを全く励起できません。これはプログラムされたものではなく、マレットをモードに投影することから生じます。したがって、打撃は決して単一のモードではなく、マレットが着地した場所によって決まる混合物としてすべてのモードを同時に表します。モードリストに沿ったルールは、その混合物であり、四角でマークされたモードはマレットが到達できなかったモードです。行を押すと、単一のモードだけが再生されます。これはマレットではできないことで、形状の1つの周波数が実際にどのように聞こえるかを聞く唯一の方法です。 方程式からのドラム 輪郭を描くだけでなく、数式で記述することもできます。r(t)はtが1回転する際の半径を示し、1 + 0.3cos(5t)は5つの葉を持つ花です。パラメトリックなx(t), y(t)のペアは、腎臓形や卵形のような、極座標では到達できない閉曲線に到達します。これは描画のショートカットではありません。手で正確にトレースできない形状、例えば11個の均等な葉を持つ形状や、円と正方形の中間にある超楕円に到達します。そして、形状を変化可能なものにします。1つの数字を変更して、何が動いたかを聞くことができます。記述された形状は、それ自体のテキストとして転送されます。数式へのリンクには数式が含まれているため、エンコードされた輪郭の数百文字ではなく、読み取って再入力できるものであり、アドレスバーでの編集も機能します。メッシュ化するのに薄すぎるものは、スライバーでも数値が返され、それが間違っている可能性があるため、拒否されます。 ドラムの形を聞くことはできますか？ マーク・カックは1966年にまさにそのことを尋ねました。1992年にキャロリン・ゴードン、デビッド・ウェブ、スコット・ウォルパートは、同じスペクトルを持つ2つの異なる形状を構築することで、それに「いいえ」と答えました。両方ともリストにカックドラムIとIIとして含まれています。それぞれが同じ7つの三角形を並べ替えて作られています。それらは同じ面積と周長を囲み、すべての周波数が一致します。それらを切り替えて聞いてみてください。輪郭は明らかに異なり、音も違います。 モデリングの選択肢 周波数比、モード形状、基音のピッチは物理学であり、輪郭によって完全に固定されます。輪郭に含まれないのは、波の速度、つまり張力と密度です。ピッチスライダーは、この面積の円が鳴る音の名前を付けることでそれを設定し、各形状はその量だけ基準の上に配置されます。すべての形状は、解決前に同じ面積にスケーリングされるため、そのオフセットはサイズではなく形状です。組み込み形状全体で約6半音あり、円が最も低く、これはファバー・クラーンであり、選択ではありません。倍音がどれだけ速く減衰するかは素材と空気であり、これはスライダーのままです。マレットもモデル化されています。その幅はスライダーで、接触時間は数ミリ秒に固定されています。なぜなら、実際のビーターは瞬時ではなく、瞬時であればすべてのモードを等しく強く駆動するからです。どちらも、打撃がモードのどれだけを到達できるかを決定しますが、モードの周波数を移動させることはできません。減衰はレイリー減衰であり、損失は周波数の二乗で増加します。高次の倍音は最初に消えるため、ドラムは鳴り続けるにつれて暗くなります。 どこにあり、私に連絡する方法 Eigendrumはeigendrum.comでホストされています。リンクおよび引用するアドレスです。古いbaselashraf81.github.io/eigendrumは、現在そこへリダイレクトするミラーです。広告またはパートナーシップに関するお問い合わせは、u2679054@uel.ac.ukまでご連絡ください。数学またはインターフェースに問題がある場合は、リポジトリに問題を報告する方が良いです。なぜなら、修正が公開されるからです。 コロフォン ビルドステップもアプリケーションバックエンドもありません。メッシュ、ソルブ、オーディオはすべてお使いのコンピューターで実行されます。デプロイされたサイトはVercel Analytics、Google Analytics、Google AdSenseを使用しており、これがドメインの費用を支払い、無料で使用できるようにしています。描画した形状は、ブラウザがサーバーに送信しないアドレスの#の後に存在し、アナリティクスはそれを記録しないように設定されています。詳細はプライバシー通知をご覧ください。Jost*（indestructible type*）で設定されています。Kac、Can One Hear the Shape of a Drum? (1966); Gordon, Webb and Wolpert (1992); Driscoll, Eigenmodes of Isospectral Drums (1997)に触発されており、後者の座標が2つのカックドラムに使用されています。ソース（ソルバーとそれを閉形式スペクトルに対してチェックするテストを含む）はgithub.com/BaselAshraf81/eigendrumにあります。インストール不要で、アカウントも不要で、無料で利用できます。もし寄付をしたい場合、または広告なしのバージョンを希望する場合は、ko-fi.com/baselashrafをご参照ください。