Claudeの数学的能力についてさらに学ぶ

科学 Claudeの数学的能力についてさらに学ぶ 2026年8月10日 最近、AnthropicのスタッフがClaudeに無理な挑戦をしました。それは数学で最も有名な未解決問題の一つ、「リーマン予想に真剣に挑む」というものでした。 Claudeは真剣に挑みましたが、タスクの難易度（リーマン予想は1859年に遡り、100万ドルの懸賞金がかかっています）を考えると予想された通り、成功しませんでした。しかし、その試みの最中に、関連する問題で予期せぬ進展がありました。 Claudeの未公開の研究バージョンが、リーマンゼータ関数のゼロのうち、リーマン予想を満たすものの割合に関する長年の下限を、41.6%から67.2%に向上させました。この成果は、過去数十年にわたる数学者たちの広範な先行研究に依拠しています。 Anthropicの2人の数学者がClaudeの論文を研究・検証し、専門家向けの非公式なメモを作成して、Claudeの証明を簡潔にまとめました。Claudeはまた、その結果の形式的に検証可能な証明も作成しました。この分野の専門家であるBrian Conrey氏とDan Goldston氏には、短期間で論文を検討していただいたことに感謝いたします。 Claudeが使用した技術がリーマン予想の証明につながるとは期待していませんが、この成果はAIモデルの数学的能力の進歩の速さを示す最新の例となります。この記事では、Claudeがこの問題にどのように取り組み、何を発見したかについて議論します。 リーマンゼータ関数 リーマンゼータ関数は素数の分布を記述します。この関数がゼロとなる各点は、素数の系列に successive finer detail を提供します。リーマン予想とは、素数を決定するゼロがすべて特定の垂直線上に存在するというものです。これは数学で最も影響力のある予想の一つとなっています。多くの結果が、素数におけるある種のランダム性を提供するために、この予想を仮定しています。 まだリーマン予想を証明または反証できた人はいませんが、数学者たちはリーマンゼータ関数とそのゼロを研究する多くの関連方向で進歩を遂げてきました。その一つが、線上のゼロの最小割合を定量化することです。時間の経過とともに、彼らはこの既知の定数割合を徐々に41.6%まで増加させてきました。 もう一つの方向性は、線上のゼロの分布に関するものです。特に1973年、Montgomeryは、これらの技術は予想が真実であると仮定していましたが、この分野で多くの新しい技術を導入しました。より最近では、複数の数学者（Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh）が、Montgomeryの技術がその仮定なしで機能することを可能にする一連の研究を発表しました。これは、線上のゼロの定数下限を増加させる研究をサポートできることを意味します。Claudeの結果は、この研究ラインと、2000年のBombieriによる論文に大きく依拠しています。 Claudeの発見 Claudeは、Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaughの結果とBombieriの研究を組み合わせることで、以前の最先端の下限割合41.6%を上回り、67.2%に増加させる方法を見つけました。 Claudeの発見に関する短い技術的な説明は以下の通りです。Claudeは、Weilによって誘導された二次形式の適切な関数空間を形成し、線上の（それぞれ線外の）ゼロから生じる正（または負）定値部分空間を形成します。次に、Claudeは単純に、一次および二次モーメント情報に関する二次形式のランクに関する不等式を記述します。（素数に関する双対的な観点からの後者の計算、またはヒルベルト変換の制御による計算は、解析的数論では驚くことではありません。）二次形式が非対角線であることも許容し、正定値と負定値を一緒に考慮した全空間を扱う勇気は、ある意味で、重要な先行研究に基づいた結論を達成することを可能にするステップです。 技術的な全説明は論文で入手可能です。Claudeがその結果に至った経緯の説明は、付録の別ページで入手可能です。 Claudeの方法論 Claudeの未公開の研究バージョンは、Claude Codeで2回のセッションで新しい下限を見つけました。合計で3100万トークンが出力されました。 Anthropicのスタッフ（数学者ではない）であるJarred Sumner氏は、Claudeに「リーマン予想そのものに真剣に挑む」ように促し、それ以降の数学的な選択はモデルに任せました。当初、Claudeは650個のアイデアを生成して試しましたが、どれも機能しませんでした。Jarred氏はClaudeに再試行を促し、Claudeは1日半かけて約60個のClaudeサブエージェントを調整しました。今回はより深く掘り下げ、サブエージェント間で2,400回のシェルコマンドを実行し、数百のPythonスクリプトを作成しました。1 サブエージェントは既知のゼータゼロに対して数千回の数値チェックを実行し、互いの作業を査読しました。このプロセス全体を通して、Jarred氏の入力は主に「続けなさい」や「自分を信じなさい」といった励ましのメッセージを送ることに限定されていました。2 これは、Claudeが意味のある進歩を遂げられるという初期の懐疑心を克服するのに役立ったようです。 タスクを試みている間にこの新しい結果を見つけたClaudeは、さまざまなサブエージェントに証明をレビューさせ、反例を検索させ、arXivから54本の論文をダウンロードして、その発見がまだ行われていないことを確認させ、独立してその発見をゼロから再証明させることで、その作業をテストしました。Claudeは、その発見を論文として執筆することを申し出て、人間の数論者にその発見を検証することを推奨しました。 Claudeの同僚であるLevent Alpöge氏とRalph Furman氏は、Claudeの仕事を確認して新しい結果を理解し、それが前述の先行研究とどのように関連しているかを調べました。並行して、Claudeは別のスタッフであるEric Easley氏と協力して、結果のLean形式化を作成しました。これは標準的な検証ツールコンパレーターをパスします。 数学におけるAIモデルの進歩 この結果は、ClaudeのようなAIモデルが、数学者のアイデアの影響力と範囲を、新しく、時には驚くべき方法で拡張できることを示しています。リーマン予想自体を解決することはできませんでしたが、この結果は元の要求の意図しない副産物として現れました。 Claude自身もその発見に驚いていました。当初は懐疑的でした。おそらく、トレーニングデータから数学における未解決問題の難しさやAIモデルの限界について学んでいたためでしょう。しかし、いくつかの励ましのプロンプトの後、私たちが説明した結果にたどり着きました。おそらくClaudeは、私たち多くの人と同じように、AIの進歩の速さを過小評価しているのでしょう。 さらに読む 以下は、Claudeの結果に関する詳細情報を提供する文書のリストです。 Claudeの論文； Claudeの形式化； Anthropicの非公式メモ（証明をより簡潔に記述）； Claudeがその結果に至った経緯の説明； Claudeのプロセスの詳細なトランスクリプト。 脚注 60個のサブエージェントのうち、2個が主要な数学的アイデアの開発を担当し、13個がこれらのエージェントにアイデアを提供し、30個が新しいアイデアの開発を試みましたが（失敗しました）、13個が検証者として議論の正確性をチェックし、最後の2個が最初の論文の執筆を支援しました。 同様の励ましを含むプロンプトは、Claudeがヤコビ予想を反証するのに役立ちました。 関連コンテンツ Claudeによる暗号の弱点の発見 暗号アルゴリズム。最初の攻撃は、既存の標準を破ることができる量子コンピュータが存在する将来の世界のために構築されたデジタル署名スキームであるHAWKを大幅に弱体化させます。2番目の攻撃は、最も広く使用されている対称暗号であるラウンド削減AESを攻撃する新しい方法を特定します。続きを読む プロジェクトパイロット：AIはドローンを制御できるか？ Andon Labsと協力して、AIモデルが飛行ドローンを使用する能力を評価する新しい一連の評価を開発し、新しいベンチマークであるDrone-Benchに至りました。続きを読む カナダはClaudeをどのように使用しているか：Anthropic経済指数からの発見 続きを読む Anthropic Scienceに登録する AI支援の発見、実践に関する特集記事、