大学院生がフラクタルに対する量子不確定性原理を証明

ホーム 大学院生がフラクタルに対する量子不確定性原理を証明 コメント 記事の保存 後で読む シェア Facebook コピー済み！リンクをコピー メール ポケット Reddit Ycombinator コメント コメント 記事の保存 後で読む 後で読む カオス理論 大学院生がフラクタルに対する量子不確定性原理を証明 Shalma Wegsman著 2026年8月12日 混沌、量子論、そして無限に複雑なフラクタル構造を組み合わせた数学は、「基礎的な結果」と呼ばれている。 Ada Zejun Shen/Quanta Magazine 序論 量子スケールでは、微小な粒子は奇妙な振る舞いをします。その理由の一つは不確定性原理であり、量子粒子の位置をより正確に知るほど、その速度をより正確に知ることができなくなり、その逆もまた然りです。最近、この規則に珍しいアップグレードが施されました。新しい不確定性原理は、どれだけズームインしても同じように複雑な形状であるフラクタルに関連しています。約10年前、マサチューセッツ工科大学の数学者であるセミヨン・ディアトロフは、量子粒子が同じカオス的な状況に置かれた場合に、通常の粒子とは異なる振る舞いをするかどうかを研究していました。時として、カオス的に運動する物体は、永遠にフラクタルに似た経路をたどるように閉じ込められることがあります。量子粒子も同じことができるのでしょうか？量子粒子は波のように広がる傾向があり、その正確な位置をぼかします。量子粒子がこれらの複雑な閉じ込められた経路をたどるにはぼやけすぎるかどうかを判断するために、ディアトロフは新しい不確定性原理を必要としました。それはフラクタルを扱うことができるものでした。2016年、この分野で著名な数学者であり、この研究の直後に亡くなったジャン・ブルガンからの重要なアイデアを得て、ディアトロフは1次元フラクタル、つまりギザギザの線のように見えるもののためのフラクタル不確定性原理を証明しました。これらの線は、2次元を運動する物体の経路を表すことができ、例えばビリヤード台の上を移動するボールのようなものです。その秋、ディアトロフとブルガンは、より高次元への証明の拡張を期待して、ニュージャージー州でワークショップを開催し、世界中から数学者を集めました。拡張された証明は3次元世界を研究するために使用でき、それ自体が普遍的な数学的ツールとなるでしょう。しかし、その課題はあまりにも困難であることが判明しました。ワークショップの終わりまでに、「誰もそれができるとは本当に信じていなかった」と、参加者の一人であるソルボンヌ大学の数学者、フレデリック・ノードは述べています。数年後、MITの博士課程の学生であったアレックス・コーエンがようやくブレークスルーを達成しました。2025年に、この分野で最高のジャーナルと広く見なされている「Annals of Mathematics」に掲載された論文で、彼はすべての高次元にフラクタル不確定性原理を拡張しました。この結果はコーエンの博士論文となり、25歳でニューヨーク大学の助教授の職を得ました。フラクタル不確定性原理は「基礎的な結果」であり、「彼が博士論文で成し遂げた、非常に注目すべき成果だ」と高等研究所のピーター・サルナックは述べています。すでに、この原理は量子粒子と古典的な粒子がどのように深く異なるかという新しい方法を明らかにしています。ピンボール・ウィザード 不確定性原理は粒子の文脈では奇妙に思えるかもしれませんが、より単純な形でも現れることがあります。音が短いほど、その音を構成する音調についてより確信が持てなくなります。短いレーダーパルスは潜水艦を正確に位置特定できますが、その移動先を特定するにはより長い信号が必要です。量子的なものを含む、これらすべての不確定性原理は、同じ数学的な源から生じています。このより深い数学的不確定性原理は、任意の関数、つまり、どれほどでこぼこでワイルドに見えても、ほぼ曲線に広く適用されます。それは19世紀に発明されたフーリエ変換と呼ばれる方程式に由来します。フランスのジョセフ・フーリエにちなんで名付けられたフーリエ変換は、任意の関数を、異なる周波数または音調を持つ単純な波のセットに分解します。これらの単純な波を合計すると、元の関数に戻ります。Mark Belan/Quanta Magazine 不確定性原理は組み込まれています。空間全体に無限に広がる単純なサイン波は、1つの明確な周波数を持つため、そのフーリエ変換は単一のピークになります。しかし、スネアドラムの打撃音は、空気中を伝わるパルスのように見えます。そのフーリエ変換は幅広い周波数を持っており、ピッチが不明瞭な音です。一般に、関数の幅が狭いほど、そのフーリエ変換はより広く分散しなければならず、その逆もまた然りです。つまり、関数が空間でピークになる場所についてより確信が持てるほど、その周波数、つまり時間とともにどのように変化するかについては、より確信が持てなくなります。量子力学では、粒子は数学的に波として記述され、最も見つかりやすい場所にピークがあります。その波のフーリエ変換は、粒子の運動を記述します。これが、量子粒子の位置と運動量を同時に正確に知ることができない理由です。それらはフーリエ変換によって関連付けられています。しかし、フラクタルのように見える関数のフーリエ変換を取ったらどうなるでしょうか？この質問を理解するために、単純な種類のフラクタルを想像してみましょう。線から始めて、それを3つのセグメントにカットします。次に中央のセグメントを削除します。プロセスを繰り返します。各残りのセグメントを3つにカットし、中央を削除します。結果はカントール集合と呼ばれるフラクタル集合です。この集合は、数学者が「多孔質」と呼ぶ特徴を持っています。それは、すべてのスケールでスポンジのように穴だらけです。今、このカントール集合がx軸上にあり、この集合の各点に周波数を表すピークがあると想像してください。フラクタル不確定性原理は、そのフラクタルに似た周波数の波を合計すると、結果の曲線もフラクタル、つまり多孔質にはなれないと述べています。逆もまた真なり：フラクタルに似た関数のフーリエ変換を取ると、結果はフラクタルに似た周波数のセットにはなれません。そのようなフラクタルに似た関数は、見つけるのが難しいかもしれません。しかし、それらは数学者がカオス的な状況で量子粒子、またはより一般的には波に何が起こるかを研究するときに現れます。ピンボール台で跳ね回るボールのように、カオスを経験する物体は、しばしば空間全体を無秩序に移動します。「あなたの経路を見ると、それはランダムな落書きのように見えるでしょう」と、ハーバード大学の数学者であるエレナ・キムは述べています。しかし、まれなケースでは、物体はカオスの中に安定性を見出すことができます。平らなピンボール台では、ボールは3つのバンパーの間を永遠に跳ね返って閉じ込められる可能性があります。ボールはまったく同じ経路を繰り返しませんが、バンパーの間に閉じ込められ、毎回わずかに異なる場所で跳ね返ります。そして、ボールが各バンパーに当たるすべての場所をマークすると、それらのマークがカントール集合のようなものを形成することがわかります。このマークの集まりはフラクタルダストとも呼ばれます。バンパーに当たるボールのほとんどは飛び去ります。「これが残されたダストです」と、カリフォルニア大学バークレー校のマチェイ・ズウォルスキは述べています。ハーバード大学の数学者であるエレナ・キムは、フラクタル不確定性原理を使用して、型破りな空間におけるカオスシステムを理解しています。Steph Stevens しかし、ピンボールとは異なり、フラクタル不確定性原理によれば、波はフラクタルに似た経路に閉じ込められることはできません。3つのバンパーの間に波を閉じ込めようとすると、漏れ出して逃げてしまいます。「ですから、量子と古典的な[カオス]の間には何らかの違いがあります」とディアトロフは言いました。「そして、それのために使用できる要素の1つは、不確定性原理です。」未完の知識 コーエンは2021年にMITに入学し、自己申告では「若くてエネルギッシュな調和解析学者」でした。調和解析とは、関数とそのフーリエ変換を研究する数学の分野です。博士課程の学生として、彼はディアトロフのフラクタル不確定性原理に関する講演に出席しました。「彼はすべての講演を、『高次元のフラクタル不確定性原理がありません。それがあればいいのに！』と言って締めくくっていました」とコーエンは言いました。「私は、『OK、これは非常に...」