Eigendrum: 数式から聞こえるドラムの形

仕組み 縁でクランプされたドラムヘッドは、特定の形状と特定の周波数でのみ振動できます。それらの形状と周波数は、形状内の−∇²u = λu、エッジ上のu = 0の解です。各解uはモード、すなわち定常波であり、各λは√λに比例する周波数を表します。これは固有値問題であり、ほとんどの形状に対して公式はありません。そのため、Eigendrumはこれを数値的に解きます。形状を三角形のメッシュで覆い、有限要素法による剛性行列と質量行列を構築し、Kφ = λMφの最小固有値を求めます。 数値の信頼性 いくつかの形状ではスペクトルを正確に書き出すことができ、ソルバーは変更のたびにそれらに対してテストされます。円の周波数はベッセル関数のゼロであり、長方形の周波数はπ²(m²/a² + n²/b²)です。ソルバーは両方を0.1パーセント未満で再現します。適合有限要素法は制限された空間でエネルギーを最小化するため、その答えは常にわずかに過大評価され、過小評価されることはありません。測定された誤差は「数値」にあります。 どこを叩くかが重要 ある点を叩くと、そのモードがそこでどれだけ動くかに比例して各モードが駆動されます。モードが静止する線（ノード）を叩くと、それを全く励起できません。これはプログラムされたものではなく、マレットをモードに射影することから生じます。したがって、打撃は決して単一のモードではなく、マレットが着地した場所によって決まる混合として、すべてのモードが同時に発生します。モードリストに沿ったルールは、その混合であり、四角でマークされたモードはマレットが届かなかったモードです。行を押すと、その単一のモードだけが再生されます。これはマレットではできないことで、形状の1つの周波数が実際にどのように聞こえるかを聞く唯一の方法です。 方程式からのドラム 輪郭をトレースするだけでなく、それを記述することもできます。r(t)はtが1回転する際の半径を示し、1 + 0.3cos(5t)は5つの葉を持つ花です。パラメトリックなx(t), y(t)ペアは、極座標では到達できない閉曲線、例えばネフロイドや卵のような曲線に到達します。これは描画のショートカットではありません。手で正確にトレースできない形状、例えば11個の均等な葉を持つ形状や、円と正方形の中間にあるスーパー楕円に到達します。そして、形状を変化可能なものにします。1つの数字を変更して、何が動いたかを聞きます。記述された形状は、それ自体のテキストとして転送されます。数式へのリンクには数式が含まれているため、読み取って再入力できるものであり、エンコードされた輪郭の数百文字ではありません。アドレスバーで編集することもできます。メッシュ化するのに薄すぎるものは、正直にメッシュ化できないため拒否されます。なぜなら、細長い形状でも数値は返されますが、それは間違ったものになるからです。 ドラムの形を聞くことはできますか？ マーク・カックは1966年にまさにそのことを尋ねました。1992年にキャロリン・ゴードン、デビッド・ウェブ、スコット・ウォルパートは、同じスペクトルを持つ2つの異なる形状を構築することで、それに「いいえ」と答えました。両方ともリストに「カックドラムI」と「II」として含まれています。それぞれが同じ7つの三角形を並べ替えて作られています。それらは同じ面積と周長を囲み、すべての周波数が一致します。それらを切り替えて聞いてください。輪郭は明らかに異なり、音も異なります。 モデリングの選択とは 周波数比とモード形状は物理学であり、完全に輪郭によって決まります。絶対的なピッチはサイズと張力に依存し、各倍音がどれだけ速く減衰するかは素材と空気に依存するため、これらは静かな仮定ではなくスライダーです。すべての形状は、ソルバーの前に同じ面積にスケーリングされるため、聞こえるのは形状でありサイズではありません。マレットもモデル化されています。その幅はスライダーであり、接触時間は数ミリ秒に固定されています。なぜなら、実際のビーターは瞬間的ではなく、瞬間的なビーターはすべてのモードを等しく強く駆動するからです。どちらも、打撃が到達できるモードの量を決定しますが、モードの周波数を移動させることはできません。減衰はレイリー減衰であり、損失は周波数の二乗とともに増加します。高次の倍音は最初に消えるため、ドラムが鳴り響くにつれて暗くなります。 どこにあり、私に連絡する方法 Eigendrumはeigendrum.comでホストされています。リンクや引用はこのアドレスにしてください。古いbaselashraf81.github.io/eigendrumは、現在そこにリダイレクトされるミラーです。広告またはパートナーシップに関するお問い合わせは、u2679054@uel.ac.ukまでご連絡ください。数学またはインターフェースの誤りについては、リポジトリに問題を報告する方が良いです。なぜなら、修正が公開されるからです。 コロフォン ビルドステップもアプリケーションバックエンドもありません。メッシュ、ソルブ、オーディオはすべて、お使いのマシンで実行されます。デプロイされたサイトは、Vercel Analytics、Google Analytics、Google AdSenseを使用しており、これがドメインの費用を支払い、無料で使用できるようにしています。描画した形状は、ブラウザがサーバーに送信しないアドレスバーの#の後ろにあり、アナリティクスはそれを記録しないように設定されています。詳細はプライバシーポリシーをご覧ください。Jost*（indestructible type*）で設定されています。Kac、Can One Hear the Shape of a Drum? (1966); Gordon, Webb and Wolpert (1992); および Driscoll、Eigenmodes of Isospectral Drums (1997) に基づいており、後者の座標が2つのカックドラムに使用されています。ソース（ソルバーと、それを閉形式スペクトルに対してチェックするテストを含む）: github.com/BaselAshraf81/eigendrum アカウント不要、インストール不要で無料で使用できます。もし寄付したい場合、または広告なしで利用したい場合は、ko-fi.com/baselashraf