E7における三世代

Azimuth ホーム E7における三世代について クォークとレプトンの3つの世代が存在する理由、すなわち、ヒッグス粒子との相互作用の仕方以外はすべて同一であるように見える3組の粒子が存在する理由は、長らく謎でした。何らかの優れた物理的な説明があれば良いのですが、誰も知りません。それが無理なら、このパターンを自然に見せるような美しい数学的構造があれば良いでしょう。それが私の新しい論文のテーマです。これは、例外的な代数的構造と標準模型に関する私の3番目の論文です。 代数における有名なガジェット、すなわち「単純リー代数」「ユークリッド型ジョルダン代数」「正エルミート型ジョルダン対」のような、派手な名前を持つ美しいガジェットを分類すると、それらは無限級数と、八元数を用いて構築できるいくつかの例外からなる傾向があります。これは少し不気味なので、私は長い間これに興味を持っていました。少数の物理学者は、これらの例外が何らかの役に立つことを期待してきました。例えば、私たちの最高の素粒子物理学理論である標準模型の奇妙な特徴が偶然ではないのかもしれません。おそらく、それらは何らかの例外的な代数的構造から自然に導き出されるのかもしれません。それは可能性が低いですが、私たちは素粒子物理学の新しい基本法則を見つけるのに長い間（おおよそ1980年代初頭から）行き詰まっているので、試す価値はあります。 2018年に、Michel Dubois-VioletteとIvan Todorovは、標準模型のゲージ群が、いわゆる「例外型ジョルダン代数」と、その中に含まれるいくつかの通常のジョルダン代数の対称性として現れることに気づきました。私は、優れた若い数学者の多大な助けを借りて、ここでそれを明確にしようとしました。 • John Baez and Paul Schwahn, The Standard Model gauge group from the exceptional Jordan algebra. (ブログ記事はこちら) これは非常に素晴らしいことです。なぜなら、問題となっているジョルダン代数は、量子物理学の基礎を公理化しようとするときに自然に現れるからです。量子物理学の何かが標準模型を数学的に自然に見せるとしたら、それは素晴らしいでしょう！しかし、実際にはこの結果は標準模型のゲージボソン、すなわち光子、グルーオン、Wボソン、Zボソンにのみ関係します。フェルミオン、つまりクォークとレプトンについては何も述べていません。そして、それらをこの絵に入れるのは非常に難しいようです。 2020年に、Latham Boyleはこの問題を例外型ジョルダン代数と複素数をテンソル積することで解決しようとしました。これにより、1世代のフェルミオンが非常に自然に現れました！しかし、量子物理学との関連は失われたように見えました。例外型ジョルダン代数と複素数のテンソル積は、最初は単なる形式的なトリックのように思えるかもしれません。この春、Lathamと彼の学生であるEndre Bokor、そして私は、量子物理学との関連が失われていないことを示しました。 • John Baez, Endre Bokor and Latham Boyle, Jordan pair quantum theory and the Standard Model. (ブログ記事はこちら) アイデアは、ジョルダン代数ではなく、1975年以来数学者によって研究されてきた、より一般的な「ジョルダン対」で作業することです。私たちは、ジョルダン対でも量子物理学ができることを示しました。そして、標準模型のゲージ群と1世代のフェルミオンを自然に含む「例外型」ジョルダン対が存在することを示しました！このジョルダン対は、複素数とテンソル積された八元数であるバイオクテニオンから構築されています。そして、それは例外型リー代数であるに密接に関連しています。 これは素晴らしいことです。なぜなら、Dubois-VioletteとTodorovの研究は、より小さな例外型リー代数であるを使用したからです。 への上昇は、1世代のフェルミオンを含めるための部屋を与えます。 さらに大きな例外型リー代数であるを使用してジョルダン対を構築することもできます。それはと呼ばれます。 Bokor、Boyle、そして私は、これを使用して3世代のフェルミオンを得ようとしました。これを魅力的にする要因があります。それは単に大きいという事実だけでなく、それから得られるジョルダン対が一種の3重対称性を持っているという事実です。しかし、うまくいきませんでした。 この頃、私は2025年10月に送られてきたある仕事に非常に興味を持つようになりました。私の受信トレイには新しい物理学の理論が満載です。大規模言語モデルの台頭以来、その流入は増加しています。毎日約2通のメールが、誰かが物理学で革命的な発見をしたと私に伝えてきます。これらの理論のほとんどは私に訴えません。しかし、この論文とこの論文は異なっていました。 • Benjamin Nasmith, An exceptional combinatorial sequence and Standard Model particles, 2020. • Benjamin Nasmith, Tight Projective 5-Designs and Exceptional Structures, Ph.D. thesis, Royal Military College of Canada, 2023. 彼は、例外型リー代数に3世代のフェルミオンを適合させることができると主張しました。 私がこの論文を真剣に理解しようとし始めたとき、私はそれを私がより快適な言語に翻訳し、アイデアを少し拡張することになりました。そこで私はこれを書きました。 • John Baez, Three generations in 基本的なアイデアは次のとおりです。 アイデア 標準模型のゲージ群のリー代数を、リー代数に適合させる標準的な方法があります。 それらの間に適合するリー代数を構築できます。 ベクトル空間としては、次元のベクトル空間のようになります。 さらに、リー代数は、リー括弧を介して、標準模型の3世代のフェルミオンとその反粒子（右巻きニュートリノとその反粒子を含む）に作用するのとまったく同じように、に作用します。ただし、スピンは無視します！ 実際、標準模型のリー代数をそれに入れたときに明らかになる、非常に興味深い3重対称性がに組み込まれています。それは3つの世代を置換します。 Nasmithと同様に、私は物理学の理論を提案しているわけではありません。私は、物理学で（かもしれないし、そうでないかもしれない）何らかの用途があるかもしれない、魅力的な数学的パターンを観察しているだけです。 このパターンに含まれていないことはたくさんあります。基本的に、私がまだ言及していないすべてです。それはフェルミオンとゲージボソンのスピンを含んでいません。それはヒッグス粒子を含んでいませんが、ある意味ではそれに近づいています（論文を参照）。それはラグランジアンを含んでいないため、粒子質量や相互作用についてはまったく何も述べていません。 これについてもっと多くのことを言えます…最も重要なのは、このリー代数がどこから来るのかということです。詳細は非常に興味深いです。右巻きニュートリノの奇妙な役割もあります。しかし、私はすでにこれらのことすべてを私の論文で数週間かけて説明したので、ここではしません。代わりに、論文の書き方について少しお話ししましょう。 論文の執筆 AIが数学をどのように変革しているかについて、最新情報を把握しておきたいと思っていました。約1年前、友人がClaude Proのサブスクリプションをくれました。多くの懸念、特に大規模言語モデルが地球温暖化と所得格差にどのように貢献しているかという懸念にもかかわらず、それを試したかったのです。人々が最近大規模言語モデルを使って数学で成し遂げた驚くべきことを考えると、一度も試さなかったことが、将来について良い決定を下すための最良の位置に私を置くとは思えませんでした。そこで、Claude Opus 4.8の助けを借りてこの論文を書きました。Nasmithの論文を与え、数日かけてその論文について一連の質問をすることから始めました。結果は非常に興味深く、役立ちました。最終的に、会話を要約して拡張するように依頼しました。それはすぐに10ページの論文を吐き出しました。この論文は、軽快で心地よいスタイルで書かれていましたが、Nasmithの専門用語と私が好むリー代数の専門用語が混在しており、証明がいくつかのステップを省略していたため、詳細を理解するのはかなり困難でした。完全に理解し、私の好きな方法でアイデアを再表現するには、約3週間のハードワークがかかりました。しばらくの間、Claudeに証明のギャップを埋めるように頼んだとき、それは正則部分代数の理論や微小表現の理論のような、私があまり得意ではない数学を使用したため、無能でイライラした気分になりました。しかし、私はこの数学を学び、すべてが基本的に正しいことが判明しました。その一部は、Nasmithの元の仕事が正しかったからだと確信しています。数週間にわたり、私はこの資料をチェック、再編成、拡張、そして完全に書き直しました。最終的にはすべて、私が好むスタイルで書かれ、強調されました。