リーマン・ガンマ定数（Λ）の新たな上限：ド・ブラウン・ニューマン定数

素数 2, 3, 5, 7, 11, 13, … は算術の原子です。すべての整数は素数の一意の積に分解されるため、素数に関する事実はすべての数に関する事実となります。個々の素数は不規則ですが、集団として見ると法則に従います。既知の規則はありません。数え上げると、それらは法則に従います。x までの素数の数は、単一の滑らかな曲線（1896年に証明された素数定理）に近くなります。未解決の問題は誤差の大きさです。真の数は曲線からどれだけ外れる可能性があるかということです。その誤差項はリーマン予想が支配しており、それがRHが重要である理由です。誤差項をシャープにすれば、それに依存する数論の何百もの結果がシャープになります。 1859年、ベルンハルト・リーマンは、その隠された秩序がどこから来るのかを説明しました。彼は、素数と単一の複素変数関数を結びつけるオイラーの恒等式を取り上げ、それを複素平面全体に拡張し、素数計数の滑らかな曲線からの揺らぎが、この関数のゼロの位置によって正確に制御されていることを発見しました。各ゼロは誤差に1つの波を寄与します。ゼロの高さはその波の周波数を設定し、そして決定的に、その水平位置はその波の振幅を設定します。リーマンは、彼が調べたすべてのゼロが垂直線 Re s = ½ 上にあることに気づきました。これは現在、臨界線と呼ばれています。これは最小限の振幅を与える位置であり、「おそらくすべてがそうである」と述べました。その発言がリーマン予想です。その具体的な内容は、x までの素数計数の誤差が約 √x を超えることはないということです。これは、x 回フリップされた公正なコインの揺らぎと同じサイズです。素数はランダムに見えることが許容されます。RHは、バイアスを持ってドリフトすることが決して許されないと述べています。 波の記述は実際の数式であり、以下で実行できます。スレートの階段は素数べき（上記の階段の親戚で、数学が正確になるように重み付けされている）を数え、朱色の曲線は滑らかなトレンドと各ゼータゼロからの1つの波から構築されたリーマンの数式です。スライダーをドラッグして、30個のゼロが素数を刻むのを見てください。 この問題は167年間未解決です。これはヒルベルトの第8問題（1900年）の一部であり、今日のクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つです。数論およびそれ以外の分野で数百の定理が、「RHを仮定して」条件付きで証明されています。そのゼロは数兆までコンピューターでチェックされましたが、チェックは証明ではありません。前進する方法は、質問を動かせる数に変えることです。そして、それがまさにΛです。 Λ（次の章で正式に定義される）はリーマン予想を単一の実数に関するステートメントに再パッケージ化します。RHはΛ ≤ 0 であれば真です（第1章で確立された証明済みの同値関係）。その定式化には3つの結果があります。第一に、進捗は測定可能になります。はい/いいえの推測には部分点はなく、Λの上限は縮小できます：½ → 0.22 → 0.2 → そして今 0.1787854。第二に、2018年からΛ ≥ 0 であることがわかっているので、Λは現在の天井から0までの区間に限定され、RHはΛが左端点にあるというステートメントです。天井の各改善は、答えへの測定された距離です。第三に、Λのバウンドは無条件です。それらのどれもRH自体を仮定していません。Λを下げることは、リーマン予想を進歩させる数少ない厳密で定量化可能な方法の1つです。 リーマンのゼータ関数を再パッケージ化したリーマンのxi関数から始めます。 リーマン予想は、そのすべてのゼロが臨界線 Re s=½ にあると述べています。その線を実軸に回転させます（この証明では、Polymath 15正規化 H0(z)=1/8 ξ(1/2+iz/2) を使用します）。そしてRHは単一の文になります。 1950年、ド・ブラウンは、この関数を1つのパラメータの流れで変形するというアイデアを持っていました。数学的には、それに熱方程式を実行することです。 ここで、Φ は固定された超指数関数的に減衰するカーネルであり、H0=1/8ξ です。正の t は関数を滑らかにし、後述するようにゼロを実軸に誘導します。負の t はそれを粗くし、ゼロを押し出します。ド・ブラウンは、すべてのゼロが実数になったら、それ以降のすべての時間で実数に留まることを証明しました。したがって、ニューマンが1976年に精密化した単一のしきい値があります。 そのしきい値がド・ブラウン・ニューマン定数であり、リーマン予想を無限個のゼロに関するステートメントから1つの実数に関するステートメントに変換します。 アナロジー。Λはサーモスタットの読み値です。xi関数は粒子の部屋（そのゼロ）であり、tは熱です。部屋を暖めると粒子は床（実軸）に落ち着きます。冷やすと一部は浮き上がります。Λは、最後の浮遊粒子が着地する正確な温度です。リーマン予想は、構築された部屋（温度ゼロ）にはすでにすべてが床にあると述べています。まだすべての粒子をチェックできないため、次に良いことをします。着陸温度が低いことを証明します。 一方向は決着しました。ニューマンはΛ ≥ 0 と推測し、リーマン予想が真であれば「かろうじて真である」と有名に付け加えました。そしてロジャースとタオは2018年にこれを証明しました。したがって、Λは0以上です。この仕事は他の壁を動かします。Λは現在0.1787854以下であることが知られています。真実は朱色の区間のどこかにあり、RHはそれが左端点にあると述べています。