計算による点描: 機械は人間と同等にできるか

計算による点描: 機械は人間と同等にできるか 2016年5月6日 点描は、点のみを使用して線、エッジ、およびグレースケールを模倣する描画スタイルの一種です。描画全体は白い背景上のドットのみで構成されます。点の密度がグレースケールシェーディングの印象を与えます。 1510年頃に点描は最初に彫刻技法として発明され、その後、1色でインクを使用するだけで済むため、多くの分野で人気を博しました。これは、ヨーロッパ彫刻展（2015年3月に湖北省美術館で開催されたヨーロッパ彫刻展の記念展）からの素晴らしい例の写真です（興味のある方は、美術館の公式ページをご覧ください）。この芸術作品はリトグラフです。1メートル離れて見ると、驚くほど詳細でリアルに見えます。しかし、もっと近くで見ると、何十万もの手作りの点描で構成されており、元の石版画がさらに質感を与えていることがわかります。 私の見解では、この芸術的な点描方法は、小さなドットパターンを使った可変ソリディティのシミュレーションのようなもので、非常に高密度のドットマトリックスプリンターのようですが、これらのパターンは手作りです。リトグラフを見ていると、無数のランダムな点からマクロな現実がどのように現れるか観察するのは魅力的です。床の鏡面反射、布の柔らかい感覚、そして歴史によって刻まれた建物のまだら模様。（写真は同じ展示会から撮影しました。） 500年前に発明された技法である点描は、そのシンプルさから、本来の意図をはるかに超えた多くの分野で人気を博しています。かつては、特に数学や力学の書籍における技術イラストの標準でした。今日でも、多くの人々がそれに興味を持っています。さまざまな分野の専門家が、依然として日常業務で点描を使用しています。 典型的な点描は、ほとんど常に1色または2色を使用します。実際、ハッチングや線画のような技法では達成できない、点の密度と分布を変えるだけで、アーティファクトを導入することなく、あらゆる種類のテクスチャやトーンを作成できます。これにより、考古学者、地質学者、生物学者がフィールドワークを行い、発見したものをすぐに記録したい場合に、点描は優れた選択肢となります。重い絵画道具を持ち歩きたくない彼らにとって、1本のペンがあれば点描には十分です。 現代においても、写真と比較して、点描は多くの時間を要するにもかかわらず、いくつかの利点を保持しています。例えば、著者は描画上で強調したい特徴をマークすることができます。したがって、この技法は依然として教えられ、研究されている重要なスキルです。この点を支持するために、私はこれらの夕食時の紙ナプキン点描を作成しました（もしあなたがこれらを完全な災害のように見るとしたら、私は専門家ではないので許してください。約5分しかかかりませんでした）。 点描が点の高密度分布の非常に自然な方法であることは、この戦略が実際に多くの生物によって採用されていることにも注目するのは非常に興味深いです。例えば、私の皿の中のこれです。 コンピューター時代において、非写実的レンダリングと呼ばれる特別なコンピューターグラフィックスの分野があります。点描はその基本的な芸術的描画スタイルの1つであり、モザイク、ステンドグラス、ハッチングなど、他の多くの合成スタイルの基盤として使用できます。 芸術の側面に戻ると、点描は新印象派に属する分割主義や点描主義と興味深い関連性を示しています。ポピュラーアートでも、人々はこの古代芸術に魅了されています。Pinterestには点描のタトゥーさえあります。驚くべき効果でそれを行う人々を見ることができます。おそらく、インターネットで点描を学ぶこともできるでしょう。 言うまでもなく、手作りの芸術としての点描は本当に多くの忍耐を必要とします。手作業のプロセスは時間がかかります。さらに、熟練するには多くの練習が必要です。ナプキンで満足のいく結果が得られなかったため、傑作をさらに詳しく見ました。描画中の点はランダムに見えますが、実際には秩序立っており、準結晶に見られる構造に似ていることに気づきました。 上記の比較では、左の図はランダムに配置された点を表し、右の図は点描の描画に見られるような分布を表しています。明らかに、それらは互いに大きく異なります。グレースケールシェーディングを近似するために点を使用する場合、均一な分布を持つランダムな点のセットは通常十分ではないことが判明しました。 これを説明するために、以下の比較画像のどちらも、同じ分布から同じコントラストでサンプリングされた63,024個の点を使用しています。元のグレースケール画像を2次元分布と考えると、結果の画像の局所的な密度は、対応する位置に対して同じです。したがって、2つの画像のコントラストも同じでなければなりません。これは、点の詳細が私たちの目をそらさないように、十分な小さなスケールにリサイズすることで示すことができます。それにもかかわらず、右側の画像は良い点描（または、一般的に「適切に配置されている」と呼ばれるもの）ですが、左側の画像には、元の画像には存在しない、不要な小さなアーティファクト（塊や空隙）が多すぎます。 点描グラフィックスでは、互いに最も近い任意の3点を結ぶ三角形がほぼ正三角形であることが、今では非常にわかりやすいです。これは、「良い」点描の本質的な特性であることが判明しました。 このユニークなミクロスケールの特性を考えると、プログラムで任意の画像から点描画像を生成することは可能かどうか疑問に思わずにはいられませんでした。答えはイエスです。ブログの残りの部分で詳細に説明するジェネレーターの結果の1つをすでに示しました。実際、このトピックに関する多くの論文だけでなく、よくできたアプリケーションも存在します。 最初の比較例に戻ると、「適切に配置された」特性を定量的に明らかにするために、点のDelaunayMeshを描画して観察しました。 メッシュにより、メッシュのセルの内角の分布をグラフ化することで、正三角形の推測を数値的に確認できます。 DelaunayメッシュとVoronoiメッシュの二重性を思い出し、多くの学術論文の助けを借りて、最終的に私の正三角形Delaunayメッシュが、いわゆる中心Voronoi図（CVD）に対応すると推測しました。実際、CVDはコンピューター生成点描のデファクトスタンダードな手法です。さらに、それにはLloydによる専用のアルゴリズムがあります。 1. 関心領域内にn個のランダムな点を生成する 2. n個の点のVoronoi図を生成する 3. 各Voronoiセルの中心（つまり質量中心）を見つける 4. n個の中心を結果の点として使用する 5. 満足したら停止。そうでなければ、ステップ1に戻る ここで、鍵となるステップはVoronoi図の生成と中心の検索です。前者は、組み込み関数VoronoiMeshの境界付きバージョンに完全に一致します。後者は、閉じた領域のVoronoiセルは常に閉じた凸多角形であるため、完全性のために簡単に説明したい単純な公式があります。数学に興味がない場合は、点描の楽しみを損なうことなく安全にスキップできます。 さて、n個の頂点{P1=(x1, y1), P2=(x2, y2),… Pn=(xn, yn)}で定義されたセルがあると仮定します。その中心Cは次のように決定できます。 テストとして、[-1,1]×[-1,1]の正方形領域に一様に分布した2,500個のランダムな点を生成します。 そのVoronoi図は次のようになります。 Lloydのアルゴリズムは、次のfindCentroid関数として表現できます。 ここでは、アルゴリズムの原理を説明し、重み付き中心Voronoi図（後述）とコード構造を類似させることで理解を容易にするために、独自のfindCentroid関数を定義しました。一様ケースでは、はるかに効率的な組み込み関数MeshCellCentroidがありますが、ここでは説明のために独自の関数を使用しています。 各Polygon from the Voronoi mesh can be extracted with MeshPrimitives[..