フラットキューブを解く
Solving the Flat Cube (mathenchant.wordpress.com)
要約
この記事は、平らになったルービックキューブから作られたパズル「フラットキューブ」を紹介しています。このパズルの「神の数」、すなわちどんなに複雑に scrambled された状態でも解くために必要な最大手数について論じています。著者は、次元を増やす方法（トレイの中のキューブを視覚化する）と次元を減らす方法（そろばんのビーズ）という2つのアプローチを用いて、フラットキューブの神の数は少なくとも27手であることを示しています。
全文翻訳
フラットキューブを解く
これはルービックキューブのように見えますが、そうではありません。
ルービックキューブを満載したオープンキャブのトラックが道路の段差に乗り上げ、一部のキューブが荷台から道路にこぼれ落ちたようです。その数瞬後、それらのキューブがマジックスクールバスに轢かれたとき、予期せぬことが起こりました。各平らになったキューブのプラスチック片がくっつき合い、別の種類のパズルを形成したのです。それは、3次元に見えるだけのパズルです。
私はこれをフラットキューブと名付けました。そのピースはひし形、またはロゼンジとも呼ばれ、3つのロゼンジが集まって小さな六角形を形成する場所では、その六角形の中心を中心に、60度の倍数で3つのロゼンジをユニットとして回転させることができます。例えば、このようになります。
課題は、スクランブルされたフラットキューブを、可能な限り少ない手数で元の平らな状態に戻すことです。そして、それは「もし悪魔がパズルを可能な限り悪意を持ってスクランブルするとしたら、神はそれを解くために何手必要とするか？」という疑問につながります。
ここでは、神は全能ではあるが、パズルのルールを厳密に守ると仮定します。また、神と悪魔の両方に無限の計算リソースを認めます。神は悪魔が考案したどんなスクランブルに対しても最も直接的な解決策を見つけることができ、悪魔は解決策にできるだけ多くの手数を含めたいと考えています。
ルービックキューブの場合、このマジックナンバー、つまり悪魔の最も悪魔的なスクランブルに対して神が必要とする手数の数は、「神の数」と呼ばれています。神の数は、180度の回転を1手と数える場合は20、180度の回転を2手と数える場合は26であることが知られています。
フラットキューブの場合、私は神の数を知りません。しかし、60度刻みで回転を数えるか、任意の角度の回転を1手と数えるかに関わらず、フラットキューブの神の数は少なくとも27であることを示すことができます。
これを示すには、2つの素晴らしい視覚的な方法があります。1つは次元を追加する方法、もう1つは次元を削除する方法です。
次元を追加する
フラットキューブをよく見ると、めまいを感じ始めるかもしれません。その感覚に身を任せてください。それはあなたを助けようとしています。
あなたの目は、フラットキューブが平らではないと語っています。そして、ある意味では、あなたの目は正しいのです。フラットキューブは現実世界では平らですが、あなたの頭の中で「平らではないフラットキューブ」を見ることを妨げるものはありません。つまり、それらのロゼンジを、斜めから見た3次元空間に住む正方形であり、階段状の表面を形成していると仮定することができます。そして、その想像上の表面が、数字の27がどこから来るのかを示してくれます。
60度時計回りの回転の絵をもう一度見てみましょう。色に惑わされて3次元的に見えなくなるのを避けるために、色を無視し、代わりに陰影を使って3次元の錯覚を強めましょう。
大きな外側の六角形をロゼンジでタイリングする各方法、つまり、隙間や重なりなく六角形をロゼンジで埋める各方法は、キューブを積み重ねる方法に対応します。
まだ見えませんか？ 右側の小さな六角形を形成する3つのロゼンジを、左側の絵にはない単一の1x1x1キューブの見える面として想像してみてください。脳にそれらのロゼンジを斜めから見た正方形として解釈させてください。面は3次元空間で異なる方向を向いているため、光の当たり方が異なり、陰影の違いが生じます。
この光（文字通り）の下で見ると、六角形の回転はキューブを追加または削除する操作になります。
（陰影と元のパズルの色を混同しないでください。陰影はロゼンジの向きを示し、ロゼンジの色は移動してもそのままです。 anyway、今は色を無視しています。）
タイリングを積み重ねにするプロセスを説明した方法には、わずかな問題があります。このプロセスをすべてのタイリングで機能させるためには、奇妙なトレイに置かれた多くの1x1x1キューブを視覚化する必要があります。角で支えられた3x3x3の空の箱を想像してください。その上部の3つの面が取り除かれています。残りの3つの面が私たちのトレイを形成します。しかし、キューブを入れる前に、トレイの3つの面に溝を刻み、各面を9つの1x1の正方形に分割します。すると、以下の2つのロゼンジタイリングは、空のトレイと完全にロードされたトレイに対応します。空のトレイにはキューブがなく、見える線はトレイの溝です。完全にロードされたトレイには3x3x3=27個のキューブがあり、一部は他のキューブの下に隠れています。見える線は、見えるキューブの辺です。
これで、左に示す色なしのロゼンジタイリングを右に示すものに変えるのに、少なくとも27手かかる理由がわかります。空のトレイから始まり、完全にロードされたトレイで終わります。各操作は1つのキューブを追加または削除するだけです。したがって、色を無視すると、解かれた状態から少なくとも27手離れた状態が見つかりました。
これまでの議論では色を無視してきました。色を元に戻したらどうなるでしょうか？ すべての色が正しい場所に来るという要件を課すことは、パズルを簡単にはしません。したがって、悪魔は色付きフラットキューブについても、少なくとも27手を使わせることができます。
Grant Sandersonによるキューブ・トレイの議論のアニメーションバージョンについては、参考文献に記載されている3Blue1Brownのビデオを参照してください。
次元を減らす
2番目の議論では、再び色を無視します。これにより、回転操作を行うときに個々のロゼンジを追跡できなくなります。この色盲の視点から見ると、六角形の回転は、色なしのタイリングを変更しないか、または六角形内の3つのロゼンジをその小さな六角形の反対側に移動させるかのいずれかです。したがって、操作がタイリングを変更するたびに、180度の回転として操作を考えることができます。
これらのロゼンジタイリングを、水平な長軸を持つすべてのロゼンジに焦点を当て、他のロゼンジが存在しないかのように見せかけることで、新しい方法で見ましょう。すると、180度の回転は、それらの水平なロゼンジを1ステップ上にスライドさせるか、下にスライドさせることにすぎません。まるでアバカスのようなワイヤー上のビーズのようにです。
厳密に言えば、180度の回転を行うとき、その水平なロゼンジは単にスライドするのではなく回転し、新しい場所では逆さまになります。しかし、ロゼンジには特徴がないため、それが反転したかどうかを区別できず、単にスライドしたと見なすことができます。
ここで、以下の2つのロゼンジタイリングのペアを見てみましょう。
水平なロゼンジをビーズに置き換えると、それらのタイリングはこれらのビーズ構成になります。
ここで、水平なロゼンジが占めることができる位置に番号を付けました。
左側の構成では、ビーズは下にあります。右側の構成では、ビーズは上にあります。ビーズはワイヤーからワイヤーへジャンプできず、同じワイヤー上のビーズは互いに通り抜けられないため、位置1にある各ビーズは、同じワイヤー上のその上にある位置4に移動する必要があります。位置2にある各ビーズは、その上にある位置5に移動する必要があります。そして、位置3から始まるビーズは、その上にある位置6に移動する必要があります。つまり、9つのビーズそれぞれが3ステップ上に移動する必要があります。しかし、各回転は1つのビーズしか移動させず、1ステップしか移動させないため、少なくとも9 x 3 = 27回の回転が必要です。
実際、ビーズのスライドの議論やキューブ追加の議論をさらに進めることで、色なしのパズルの最悪ケースの手数が正確に27であることを証明できます。または、等価的に、パズルを27手で解くだけです！ 実用的には、これを行う場合、2番目の証明の1次元的な考え方を使用して、水平なロゼンジを上に移動させることだけを考えるでしょう。最初の証明のように3次元的に考えようとすると、途中でネッカーの反転を起こし、キューブを追加するのではなく削除し始めるリスクがあります！
学校に戻って
私のフラットキューブの解き方の提案には深刻な問題があります。最近まで、フラットキューブは実際には存在しませんでした。少なくとも、テーブルや椅子のような退屈なものと同じ方法では。
ラドクリフ高等研究所が2026-2027学年度に私のタイリングに関する継続的な研究のためにフェローシップを授与されたことを知ったとき、私は新しいオフィスにフラットキューブを設置したいと思いました。私は50人ほどのラドクリフフェローのクラスの中で唯一の数学者であり、仲間のフェローが私のオフィスに立ち寄って「何に取り組んでいるのですか？」と尋ねたとき、私は手渡せる具体的で楽しいものを用意しておきたいと思いました。
1980年代後半にタイリングの研究に引き込まれた理由の一部は、数学者ウィリアム・サーストンの記事でした。この記事は、六角形の回転とキューブの追加または削除の間の直感的な橋渡しを強調していました。すぐに私の想像力[1]（https://mathenchant.wordpress.com/2026/08/19/solving-the-flat-cube/#end1）は、数学的なオブジェクト、プロパティ、アクションで満たされ、タイリングが一方の状態から他方へ変化していました。現実世界ではタイリングは頭の中ほど簡単に変化しないことが私を悩ませました。例えば、六角形の回転をもう一度見てみましょう。3つのロゼンジを回転させようとすると、1から6までマークされた周囲の6つのロゼンジが邪魔になります。
それでも、単なる物理法則が美しい数学の邪魔をするのは不公平だと感じました。それらの法則を覆すことができないなら、回避する必要がありました。しかし、どうやって？
私はこの問題をマスターパズルデザイナーのオスカー・ヴァン・デベンターに持ち込み、「これらのピースが実際にこのように動くオブジェクトを作成できますか？」と尋ねました。彼は1つのデザインではなく3つを持ってきました！ 彼の3番目のデザインが私のお気に入りになり、別のパズルデザイナーであるドミトリー・アンドレーエフ（別名Pluton）がそれをいじったとき、それはさらに良くなりました。オスカーが実演した、その3者間のコラボレーションの結果は次のとおりです。
オスカーはフラットキューブをプロップツイストと呼んでいます。私の名前がそれに結びついているのは嬉しいですが、ルービックキューブと結びつくパズルの名前というアイデアも気に入っています。
4番目のバージョンはあり得るでしょうか？ オスカーはそれを作る計画はありませんが、私は最新のスピードキューブのようにスムーズに操作できるものを期待し続けています。おそらく、あなたの一人がバージョン4を思いつくでしょう。
では、フラットキューブの神の数はいくつでしょうか？ 私にはわかりません。そして、さらに広範な質問があります。悪魔が初期タイリングとターゲットタイリングの両方を選択できるようにしたらどうなるでしょうか？[2]（https://mathenchant.wordpress.com/2026/08/19/solving-the-flat-cube/#end2）このような質問をすることは、実際にはタイリングの土地の地図作成について尋ねることです。そこでは、各タイリングは町であり、各操作は道路です。[3]（https://mathenchant.wordpress.com/2026/08/19/solving-the-flat-cube/#end3）
色付きロゼンジタイリングの土地に関する私たちが学んだことが、以下のタイリングのような、より複雑な種類のタイリングの土地を理解するのに役立つでしょうか？ それが、ラドクリフで私が考えることです。[4]（https://mathenchant.wordpress.com/2026/08/19/solving-the-flat-cube/#end4）
追記
#1. 「イマジナリウム」という言葉は私が発明したものではありませんが、数学を行う経験の説明で使われたのを見たことがありません。より多くの数学者が、私たちが頭の中に構築する数学の世界を説明するためにそれを使用し始めることを願っています。将来のエッセイでこれについてさらに詳しく説明します。
#2: 数学者ニコラウ・サルダンハは、辺の長さが3の六角形を埋めるために9つの赤いロゼンジ、9つの緑のロゼンジ、9つの黄色のロゼンジを使用するすべてのタイリングが、他のすべてのそのようなタイリングから六角形の回転のシーケンスによって得られることを証明しました。彼の議論は、色付きロゼンジタイリングの神の数に上限を与えるはずです。各回転を1手と数えるべきか、それとも120度または180度の回転をそれぞれ2手または3手と数えるべきかについては未定なので、ここには「神の数」の2つのバージョンがあります。
#3. このテーマについて、「タイリングの空間」と題した講演をニコラウの誕生日を記念して数年前に開催しました。1年後、リック・ケニオンの誕生日会議で、「タイリング理論を新たな高みへ、そしてその逆へ」と題した講演の更新版を行いました。
#4. 提案された研究の背景については、私のラドクリフ研究提案を参照してください。
参考文献
Oskar van Deventer, Propp Tiles, Propp Lozenge, Propp Turner, and Propp Twist (videos).
God’s Number is 20 (website).
Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, and John Dethridge, The Diameter of the Rubik’s Cube Group Is Twenty, SIAM Journal on Discrete Mathematics, vol. 27, no. 2 (2013).
Grant Sanderson (aka 3Blue1Brown), Solving problems by adding a dimension.
William Thurston, Conway’s Tiling Groups, American Mathematical Monthly 97 (1990), no. 8, pp. 757–773.
UPDATE, 2026年8月21日: Tom Rokickiは、オーダー2（つまり2x2x2）のフラットキューブの神の数は27であることを証明しました。つまり、どの状態からでも
で最大27手で到達でき、27手は最良です。一方、悪魔が開始状態と終了状態の両方を選択できる場合、30手離れた2つの位置があります。つまり
であり、30手は最良です。Tomの計算では、60度の回転は1手、120度の回転は2手、180度の回転は3手と数えられます。
仮想的にフラットキューブをプレイしたい場合は、Tomのページhttps://cube20.org/ProppTwist/をご覧ください。
UPDATE, 2026年8月21日: Rui Vianaは、オーダー3のフラットキューブの神の数が少なくとも81であるという美しい代数的証明https://faculty.uml.edu//jpropp/flat_cube_81.htmlを見つけました。そしてTom Rokickiは、91手離れた状態のペアを見つけました。
UPDATE, 2026年9月6日: Tom Rokickiはフラットキューブの神の数を計算しました。それは正確に87です。すべての初期状態は87回の60度回転以下で解決でき、87回のそのような回転を必要とする困難な初期状態が存在します。以下はそのような困難な状態の1つです。
文字はクリック可能な場所を示しています。87回の回転でパズルを解けるかどうかを確認したい場合は、https://cube20.org/ProppTwist/?pos=211111111/RYYRYGRGGGRYGYYGYYGYRGRRGRRをご覧ください。
フラットキューブの難易度を測定する別の方法は、任意の回転を1手と見なすことです。この考え方では、フラットキューブの神の数は46です。
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