フラットキューブを解く

これはルービックキューブのように見えますが、そうではありません。ルービックキューブを満載したオープンキャブのトラックが道路の段差に乗り上げ、一部のキューブがトラックの荷台から道路にこぼれ落ちたようです。その数モーメント後に、それらのキューブがマジックスクールバスに轢かれたとき、予期せぬことが起こりました。各平らになったキューブのプラスチック片がくっつき合い、別の種類のパズルを形成したのです。それは立体的に見えるだけです。私はそれをフラットキューブと名付けました。そのピースは菱形（ひしがた）、またはロゼンジとも呼ばれ、3つのロゼンジが集まって小さな六角形を形成する場所では、その六角形の中心を中心に3つのロゼンジを60度の任意の倍数だけ回転させることができます。課題は、スクランブルされたフラットキューブを、できるだけ少ない手数で元の平らな状態に戻すことです。そして、それは次の疑問につながります。もし悪魔がパズルを可能な限り悪意を持ってスクランブルするとしたら、神は何手必要とするでしょうか？ここでは、神は全能ですが、パズルのルールに厳密に従うと仮定します。また、神と悪魔の両方に無限の計算リソースを許可します。神は悪魔が考案したどんなスクランブルに対しても常に最も直接的な解決策を見つけることができ、悪魔は神の解決策ができるだけ多くの手数を要するようにしたいと考えています。ルービックキューブの場合、このマジックナンバー、つまり神が悪魔の最も悪魔的なスクランブルに対して必要とする手数、は「神の数」と呼ばれています。神の数は、180度の回転を手数1と数える場合は20、180度の回転を手数2と数える場合は26であることが知られています。フラットキューブの場合、私は神の数を知りません。しかし、60度刻みで回転を手数として数える場合でも、任意の角度の回転を手数1と数える場合でも、フラットキューブの神の数は少なくとも27であることを示すことができます。その理由を視覚的に理解できる素晴らしい方法が2つあります。1つは次元を増やす方法、もう1つは次元を減らす方法です。 次元を増やす フラットキューブをよく見ると、めまいを感じ始めるかもしれません。その感覚に身を任せてください。それはあなたを助けようとしています。あなたの目は、フラットキューブが平らではないと語っています。そして、ある意味では、あなたの目は正しいのです。フラットキューブは現実世界では平らですが、頭の中で平らではないフラットキューブを見ることを妨げるものは何もありません。つまり、それらのロゼンジを、斜めから見た3次元空間に存在する正方形と見なし、階段状の表面を形成していると仮定することができます。そして、その想像上の表面が、なぜ27という数字が出てくるのかを示してくれます。60度時計回りの回転の絵をもう一度見てみましょう。色に惑わされて3次元的に見えなくなるのを避けるために、色を無視し、代わりに陰影を使って3次元の錯覚を強めましょう。大きな外側の六角形をロゼンジでタイリングする各方法、つまり、隙間や重なりがないように六角形をロゼンジで埋める各方法は、キューブを積み重ねる方法に対応します。まだ見えませんか？右側の小さな六角形を形成する3つのロゼンジを、左側の絵にはない単一の1x1x1キューブの見える面と想像してみてください。脳にそれらのロゼンジを斜めから見た正方形として解釈させてください。面は3次元空間で異なる方向を向いているため、光の当たり方が異なり、陰影の違いが生じます。このように光（文字通り）で見ると、六角形の回転はキューブを追加または削除する操作になります。（元のパズルの色と陰影を混同しないでください。陰影はロゼンジの向きを示し、ロゼンジの色は移動しても一緒に移動します。そして、とにかく、今は色を無視しています。） タイリングを積み重ねに変換するプロセスについて、私が説明した方法にはわずかな問題があります。すべてのタイリングでこのプロセスを機能させるためには、奇妙な種類のトレイの中に多くの1x1x1キューブが置かれているのを想像する必要があります。角で支えられ、上の3つの面が取り除かれた3x3x3の箱を想像してください。残りの3つの面が私たちのトレイを形成します。しかし、キューブを入れる前に、トレイの3つの面に溝を刻み、各面を9つの1x1の正方形に分割します。すると、以下の2つのロゼンジタイリングは、空のトレイと完全にロードされたトレイに対応します。空のトレイにはキューブがなく、見える線はトレイの溝です。完全にロードされたトレイには3x3x3=27個のキューブがあり、一部は他のキューブの下に隠れており、見える線は見えるキューブのエッジです。これで、左側の色なしのロゼンジタイリングを右側のものに変えるのに少なくとも27手かかる理由がわかります。空のトレイから始まり、完全にロードされたトレイで終わります。各手は1つのキューブを追加または削除するだけです。したがって、色を無視すると、解かれた状態から少なくとも27手離れた状態が見つかりました。これまでの議論では色を無視してきました。色を元に戻したらどうなるでしょうか？すべての色が正しい場所に収まるという要件を課すことは、パズルを簡単にするはずがありません。したがって、悪魔は着色されたフラットキューブでも神に少なくとも27手を使わせることができます。Grant Sandersonのアニメーション版キューブ・トレイの議論については、参考文献に記載されている3Blue1Brownのビデオを参照してください。 次元を減らす 2番目の議論では、再び色を無視します。これにより、回転を行うときに個々のロゼンジを追跡できなくなります。この色盲の視点から見ると、六角形の回転は、着色されていないタイリングを変更しないか、または六角形内の3つのロゼンジをその六角形の反対側に移動させるかのいずれかです。したがって、手がタイリングを変更するたびに、その手を180度の回転として想像しても構いません。これらのロゼンジタイリングを、水平な長軸を持つすべてのロゼンジに焦点を当て、他のロゼンジがないものと見なすことで、新しい方法で見てみましょう。すると、180度の回転は、そろばんのワイヤー上のビーズのように、その水平なロゼンジを上下に1ステップスライドさせること以上にすぎません。厳密に言えば、180度の回転を行うと、その水平なロゼンジは単にスライドするのではなく回転し、逆さまになった状態で新しい場所に到着します。しかし、ロゼンジには特徴がないため、それが反転したことを区別できないため、単にスライドしたと仮定できます。次に、以下のロゼンジタイリングのペアを見てみましょう。水平なロゼンジをビーズに置き換えると、それらのタイリングはこれらのビーズ構成になります。ここで、水平なロゼンジが占めることができる位置に番号を付けました。左側の構成では、ビーズは一番下にあります。右側の構成では、ビーズは一番上にあります。ビーズはワイヤーからワイヤーへジャンプできず、ワイヤーを共有するビーズは互いに通り抜けられないため、位置1にある各ビーズは、同じワイヤーの上にある位置4に移動する必要があります。位置2にある各ビーズは、その上にある位置5に移動する必要があります。そして、位置3から始まるビーズは、その上にある位置6に移動する必要があります。要するに、9つのビーズそれぞれが上に3ステップ移動する必要があります。しかし、各回転は1つのビーズだけをシフトし、1ステップだけシフトするため、少なくとも9x3=27回の回転が必要です。実際、ビーズのスライドの議論やキューブの追加の議論をさらに進めることで、着色されていないパズルの最悪ケースの手数は正確に27であることを証明できます。または、同等に、27手でパズルを解くだけです！実用的な観点から、これを行う場合、2番目の証明の一次元の思考を使用し、水平なロゼンジを上に移動させることだけを考えるのが良いでしょう。最初の証明のように3次元的に考えようとすると、途中でネッカー反転を起こし、キューブを追加するのではなく削除し始めるリスクがあります！ 学校に戻る 私のフラットキューブの解き方の提案には深刻な問題があります。最近まで、フラットキューブは実際には存在していませんでした。少なくとも、この