UEFAチャンピオンズリーグのドローは不公平なクラスターを作成する; ケイリーグラフがそれを修正する

2025-26シーズンのチャンピオンズリーグのドローに隠された小さなクラスターは、「新しいフォーマット」に1つの小さな調整が必要な理由を示しており、対称グラフについて語る美しい口実を与えてくれます。要するに: UEFAの新しいリーグフェーズ形式は、意図せずして、不均衡に多く対戦するチームの小さなクラスターを生成する可能性があり、それらがまとめて勝ち上がる機会を損なう可能性があります。36頂点の単一の対称グラフ、C(36; ±{1, 4, 10, 17})は、このリスクを証明可能に排除します。これを展開するには、UCL/UELの国別ルールに1つの小さな調整が必要ですが、UECLには全く調整は不要です。 ナポリ、ベンフィカ、チェルシー、アヤックス、カラバフ。2025-26シーズンのUEFAチャンピオンズリーグでは、これら5チームは10通りの可能な組み合わせのうち9通りで対戦する予定です。ナポリ対アヤックス戦のみが、完全な総当たり戦から欠けています。他の9試合（ナポリ対ベンフィカ、ベンフィカ対チェルシー、チェルシー対アヤックス、アヤックス対カラバフ、その他5試合）はすべてリーグフェーズで行われます。 UCL 2025-26 - 可能な10試合中9試合が予定されています。 これは36チームの大会では、奇妙なほど小さなクラスターです。そして、それはもはや起こらないはずのことの一種です。しかし、それは毎年、ほぼすべてのUEFA大陸大会で起こります。UCL 2024-25（新フォーマット初年度）では、バイエル・レバークーゼン、アトレティコ・マドリード、フェイエノールト、レッドブル・ザルツブルク、スパルタ・プラハが10試合中9試合で互いに戦います。UEL 2024-25では、ローマ、トッテナム、AZ、ガラタサライ、IFエルフスボリが同様です。UEL 2025-26では、最大5チームのクラスターで10試合中8試合、UECL 2025-26では10試合中7試合が発生します。 UCL 2024-25 — 9/10 UEL 2024-25 — 9/10 UEL 2025-26 — 8/10 UECL 2025-26 — 7/10 クリックして展開: 全5大会の完全な統計 シーズンあたりの密なクラスターの数は？ シーズン | 5チームクラスター（≥7試合） | （≥8試合） | （=9試合） | 4チームクラスター（≥5試合） | （=6試合） ------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- UCL 2024-25 | 225 | 17 | 3 | 84 | 4 UCL 2025-26 | 332 | 29 | 1 | 109 | 5 UEL 2024-25 | 240 | 17 | 2 | 87 | 3 UEL 2025-26 | 146 | 6 | 0 | 60 | 0 UECL 2025-26（6試合、8試合ではない） | 35 | 0 | 0 | 14 | 0 2つの点が際立っています: (i) 完了したUCL/UELシーズンごとに、8試合以上の内部試合を持つクラスターが生成されており、(ii) 2025-26シーズンのUCLは、記録上8試合以上のクラスターが最も多いシーズン（29サブセット）ですが、9試合に達するのは1つだけです。UECLは、より疎な構造（チームあたり6試合、8試合ではない）を使用しているため、意味のあるほど密度が低いです。 UEFAが2024年に変更したこと 数十年間、チャンピオンズリーグとその姉妹大会は同じ形式を使用していました: 32チーム、4チームずつの8グループ、各グループ内での総当たり戦。各チームは6試合（3人の対戦相手と2回ずつ対戦）を行い、その後各グループの上位2チームが勝ち進みました。 2024-25シーズン、UEFAはその形式を廃止しました。代わりに、36チームによる単一の「リーグフェーズ」が導入され、各チームは8人の異なる対戦相手（4つのシードポットからそれぞれ2人）と対戦します。そして、単一の36チームの順位表が全チームを3つのバケットに分類します: 上位8チームは自動的にラウンド16に進出、9位から24位のチームはプレーオフに進出、25位から36位のチームは敗退します。 同じ形式が、3つのUEFA男子大会すべて（チャンピオンズリーグ (UCL)、ヨーロッパリーグ (UEL)、カンファレンスリーグ (UECL)）で実施されます。 セールスポイントは妥当でした。より多くの注目試合。より競争力のある順位。すでに勝ち上がったチームが決まっている「消化試合」の最終節はもうありません。そして、「単一テーブル」という枠組みは、長年不均衡な「死の組」を生み出してきた恣意的なグループ分けを排除します。 しかし、それは当時誰も指摘しなかった、より微妙なリスクを導入しました。 隠されたクラスター 36チームがそれぞれ8試合を行うということについて、重要なのは次の点です: それは144試合からなる巨大なネットワークを生成し、そのネットワーク内で、意図せずして不均衡に多く対戦するチームの小さなクラスターを見つけることができます。誰かが意図的にそう設計したからではなく、ドローがランダムであり、36チーム間の144のエッジはどこかに着地しなければならないからです。 リーグフェーズをグラフとして考えてください: 36個のノード（チームごと）; 144個のエッジ（試合ごと）。各チームノードは正確に8つのエッジ（その8人の対戦相手）に接続されています。密なクラスターとは、クラスター内に異常に多くのエッジを持つ小さなノードの集まりです。 実際の2025-26シーズンのUCLが、そのようなグラフの1つとしてどのように見えるかを示します: UCL 2025-26をグラフとして表示。 リング状に配置された36のチームノード、ポットごとにグループ化; 144の試合エッジがコードとして描画されています。9つの赤いエッジは、ナポリ-ベンフィカ-チェルシー-アヤックス-カラバフのクラスターの内部ペアリングです。 自分でグラフを調べたいですか？過去5回のドロー（UCL、UEL、UECL、2024-26）すべてに対応したインタラクティブビューアがあり、再配置、ポット/国別カラーリング、クラスターハイライト機能があります。 ナポリ-ベンフィカ-チェルシー-アヤックス-カラバフのクラスターは極端なケースです。376,992通りの36チームから5チームを選ぶ組み合わせのうち、実際のUCL 25-26ドローでは、7試合以上の内部試合を持つ5チームクラスターが332通り、8試合以上のクラスターが29通り、そしてちょうど1つ（カラバフのクラスター）が9試合（記録上のユニークな最大値）となっています。 なぜそれが重要なのでしょうか？ 計算は以下の通りです。クラスター内の5チームはそれぞれ8試合を行うため、クラスター全体でシーズン中に5 × 8 = 40のチーム対戦スロットがあります。そのうち9試合は内部試合（両チームがクラスター内）であり、各内部試合は2つのスロットを使用します（参加者あたり1つ）。したがって、内部試合は2 × 9 = 18スロットを消費し、クラスター外のチームとの試合のために22スロットが残ります。 各試合は最大3ポイント（すべて勝者へ）または2ポイント（引き分け）を分配します。もし40スロットすべてが外部試合だった場合、クラスターは外部チームとの「ポイントマイニング」の機会から最大40 × 3 = 120ポイントを獲得できます。しかし、内部試合はそうではありません: 3勝点ポイントはクラスター内のチームに行かなければならず、もう一方のクラスターチームは0ポイント（または引き分けの場合は両方1ポイント）を得ます。ポイントはクラスターから流出しません。要するに、各内部試合は、外部チームとの間で獲得できた可能性のある6ポイントを、クラスター内での3ポイントまたは2ポイントに交換します。クラスターの集合的なポイント上限は、120ポイント（内部試合0の場合）から120 − 3 × 9 = 93ポイント（内部試合9の場合）に低下します。5チームで割ると、1チームあたり平均18.6ポイントになります。原則として十分ですが（上位24チームのカットオフは約8〜11ポイントです）、それは上限にすぎません。現実はさらに悪いです。 もし数学やシミュレーションをスキップしたい場合は、修正による変更点に直接ジャンプしてください ↓。 クラスター内の誰かが常に犠牲になる 上記のポイント上限の計算を超えて、内部試合はクラスターチームの運命を負の相関させます。各試合には勝者と敗者（または2回の引き分け）があるため、ナポリが内部でうまくやれば、クラスター内の他の誰かが悪くやっていることになります。「5チームすべてがプレーオフのカットオフに到達する」ためには、どのチームもカットオフを下回ってはならず、内部試合はそれを積極的に妨げます。 これを数値で最も明確に見る方法は、制御された実験です: 5つの同等の強さのチーム（一時的に仮定してください）を取り、実際の2025-26シーズンのUCLフィールドに投入し、対戦する試合数を0から最大10（5チームの完全な組み合わせ; 5チーム間の可能な10通りの組み合わせすべてがスケジュールされている）までのみ変更します。彼らがすべて上位24位に到達する共同の確率は、次のように応答します（各セルあたり20,000回のモンテカルロシミュレーション）: これをクラスターに対する内部試合ごとの税金として読み取ってください: 追加の内部ペアリングごとに、グループの共同運命の約0.6〜0.7パーセントポイントが失われます。完全に外部のスケジュールから完全に内部のスケジュールに変更すると、共同確率Pは約17%から10%に低下します。これは密度の純粋な構造的影響であり、チームの強さは等しいと仮定されています。（m = 10は実際のUCL/UELドローではまだ発生していませんが、観測された最大値は9です。しかし、UEFAのルールではそれを禁止するものは何もありませんので、テストしている範囲に含まれます。） 実際のクラスターはさらに悪いです。なぜなら、そのメンバーは同等の強さではないからです。ナポリ、ベンフィカ、チェルシー、アヤックス、カラバフは非常に異なる強さを持っています（例: clubelo.comのレーティング）。特にカラバフは他の4チームよりもはるかに下位に位置しており、「5チームすべてが勝ち進む」という目標は、最も弱いメンバーによってボトルネックになります。各チームの実際のEloレーティングを使用してシミュレーションを再実行すると、5チームすべてが上位24位に到達する共同確率は約1.4%に低下します。一方、実際のドローの典型的な位置（内部試合が約2試合）でドローされた、強さが一致した5チームのグループでは4.2%でした。