Steffenの多面体 – Greg Egan

Steffen’s Polyhedron by Greg Egan Symmetries and the 24-cell | Average Shadows | Ball Bearings in a Hypersphere | Black Hole Passing | Borehole Oscillators | Born Rigid Motion | Catacaustics | Resonant Modes of a Conical Cavity | The Doppler Shift Triangle Law | Conic Section Orbits | Double-Crossing Orbits | Dihedral Angles | The Ellipse and the Atom | Ellipsoids and Gravity | Find The Fake Coin | The Finite Fall | General Relativity in 2+1 dimensions | Howell’s Moving Orbits | Klein's Quartic Curve | Paparazzo vs Bodyguards | Light Mill applet | Littlewood applet | LRL made easy | The Mermin-Peres Magic Square Game | There Are No Corkscrew Orbits | Peeling the Octonions | Ordered Sums | Optimised Origami | Pick Two Points | Weak-field GR near a planar mass | Polar Orbits Around Binary Stars | Planes, Spheres and Pseudospheres | Reptends and Reciprocals | The Rindler Horizon | Rotating Elastic Rings, Disks and Hoops | Constant Weight Rollercoasters | Steffen’s Polyhedron | Superpermutations | Symmetric Waves | Symplectic applet | The Tell-Tale Board | Exact values of regular 10j symbols | Three Point Curvature Science Notes Back to home page | Site Map | Side-bar Site Map Steffen’s polyhedron changing shape Translucent version seen from behind Steffenの多面体は、柔軟な多面体です。つまり、すべての個々の面の形状を維持しながら形状を変更できる多面体です。凸多面体は柔軟ではありえないことが証明されています。球のトポロジーを持つ最初の非自己交差する柔軟な多面体は、1977年にRobert Connellyによって発見されましたが、Klaus Steffenのバージョンは、わずか14個の三角形で、より少ない面を持っています。（しばらくの間、Steffenの多面体の9つの頂点が最小であると信じられていましたが、2024年にGalletらによって8つの頂点を持つ柔軟な多面体が発見されました。この新しい展開を親切に指摘してくれたElvar Atlasonは、問題の詳細な分析を発表し、8つの頂点を持つ別の解を構築しました。） Steffenの多面体がどのように構築されるかを理解するのは難しくありません。まず、4つの適切な三角形を組み立てて一種のピラミッドにした柔軟な形状を考えます。 この形状は1つの自由度を持っています。例えば、ピラミッドの底面を形成する非平面四角形ABCDの対角線の1つの長さを変更できます。AB=CD=12、BC=AD=10、AP=10、BP=5、CP=12、DP=11とします。（特定の数値5、10、11、12に特別な意味はありませんが、四角形の反対側の辺の長さが同じであることが重要です。） 次に、この図形に、辺ADとCDに沿って、2つの三角形を追加するとします。2つの三角形は辺DEを共有します。 具体的には、DE=5、AE=12、CE=10と設定します。これらの2つの三角形を追加しても、形状にそれ以上の自由度は加わりません。なぜなら、Eの位置は辺ADとCDによって決定されるからです（ACD平面のどちら側にあるかの選択肢を除いて）。しかし、驚くべきことに、四角形ABCDが柔軟に変化しても、距離BEは一定（11）のままなので、角度ECBも変化しません。その理由は、三角形ADEが三角形CBPと合同であり、三角形CDEが三角形ABPと合同であるためです。したがって、Eは最初のピラミッドと合同な2番目のピラミッドの頂点であり、BCEはDAPと合同であり、BE=DP=11です。 Steffenの多面体を構築するために、これらの6つの三角形からなる2つの図形を取り、辺ECとCBに沿って結合します。具体的には、最初の図形の辺E1C1を2番目の図形の辺B2C2に結合し、最初の図形の辺B1C1を2番目の図形の辺E2C2に結合します。2つの四角形の底面の特定の形状に関係なく、この結合を行うことができることはわかっています。なぜなら、角度ECBは形状に依存しないからです。したがって、この12個の三角形の集合体は2つの自由度を持っています。 Steffen’s polyhedron with two faces removed Translucent version 多面体を完成させるために、三角形の面A1 B1 A2とA2 B2 A1を追加します。そして、これらの面が一定の形状を持つことを保証するために、自由度を1つ使用して、A1 A2が特定の固定長17を持つという要件を課します。しかし、まだ自由度が1つ残っているので、結果として得られる多面体は自由に柔軟に変化できます。（B1 B2は、四角形の底面の特定の形状に関係なく11に固定されています。しかし、A1 B1 A2 B2を2つの三角形の面に分割するためにB1 B2を使用しようとすると、それらは多面体の他の面と交差します。） ここに多面体の展開図があります。これは、その面を平面にマッピングしたもので、印刷して切り取り、折りたたむことができます。面間の破線は谷折り、実線は山折りです。面の色の対応は上記の画像と同じですが、紙の片面の色が多面体の外側に来るようにするため、2つのピラミッド（色付きの面から見た場合）は窪んで見えます。 Net for Steffen’s polyhedron Symmetries and the 24-cell | Average Shadows | Ball Bearings in a Hypersphere | Black Hole Passing | Borehole Oscillators | Born Rigid Motion | Catacaustics | Resonant Modes of a Conical Cavity | The Doppler Shift Triangle Law | Conic Section Orbits | Double-Crossing Orbits | Dihedral Angles | The Ellipse and the Atom | Ellipsoids and Gravity | Find The Fake Coin | The Finite Fall | General Relativity in 2+1 dimensions | Howell’s Moving Orbits | Klein's Quartic Curve | Paparazzo vs Bodyguards | Light Mill applet | Littlewood applet | LRL made easy | The Mermin-Peres Magic Square Game | There Are No Corkscrew Orbits | Peeling the Octonions | Ordered Sums | Optimised Origami | Pick Two Points | Weak-field GR near a planar mass | Polar Orbits Around Binary Stars | Planes, Spheres and Pseudospheres | Reptends and Reciprocals | The Rindler Horizon | Rotating Elastic Rings, Disks and Hoops | Constant Weight Rollercoasters | Steffen’s Polyhedron | Superpermutations | Symmetric Waves | Symplectic applet | The Tell-Tale Board | Exact values of regular 10j symbols | Three Point Curvature Science Notes / Steffen’s Polyhedron / created Sunday, 23 August 2015 / revised Thursday, 3 September 2026 Copyright © Greg Egan, 2015-2026. All rights reserved.