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科学・技術

Steffenの多面体 – Greg Egan

Steffen's Polyhedron – Greg Egan (gregegan.net)

56 pointsby pavel_lishin5 コメント

要約

この記事は、グレッグ・イーガンが解説する「Steffenの多面体」という、形状を変化させることができる柔軟な多面体について説明しています。この多面体は、個々の面を三角形に保ちながら形状を変えることができ、14個の三角形から構成されています。記事では、この多面体の構造を、まず4つの三角形からなるピラミッドを作成し、それにさらに三角形を追加していく過程で詳細に解説しています。また、この多面体が持つ自由度や、その構築における数学的な側面にも触れています。

全文翻訳

シュテフェンの多面体

グレッグ・イーガン著

シュテフェンの多面体は柔軟な多面体です。これは、すべての面の形状を維持したまま形状を変更できる多面体です。凸多面体は柔軟ではありえないことが証明されています。球のトポロジーを持つ、自己交差しない最初の柔軟な多面体は1977年にロバート・コネリーによって発見されましたが、クラウス・シュテフェン版は14個の三角形という、より少ない面を持っています。

（しばらくの間、シュテフェンの多面体の9つの頂点が最小値であると信じられていましたが、2024年に8つの頂点を持つ柔軟な多面体がGalletらによって発見されました。この新しい展開を親切に指摘してくれたElvar Atlasonは、問題の詳細な分析を発表し、8つの頂点を持つ別の解を構築しました。）

シュテフェンの多面体がどのように構築されるかは、理解するのは難しくありません。まず、4つの適切な三角形を組み合わせて一種のピラミッドを形成する柔軟な形状を考えてみましょう。

［画像: 柔軟なピラミッド］

この形状は1つの自由度を持っています。例えば、ピラミッドの底面を形成する非平面四辺形ABCDの対角線の1つの長さを変更できます。AB=CD=12、BC=AD=10、AP=10、BP=5、CP=12、DP=11とします。（5、10、11、12という特定の数値に特別な意味はありませんが、四辺形の向かい合う辺の長さが等しいことが重要です。）

次に、この図形に辺ADと辺CDに沿って、2つの三角形を追加するとします。この2つの三角形は辺DEを共有します。

［画像: 2つの追加三角形を持つ柔軟なピラミッド］

具体的には、DE=5、AE=12、CE=10と設定します。これらの2つの三角形を追加しても、形状に新たな自由度は加わりません。なぜなら、Eの位置は辺ADと辺CDによって（ACD平面のどちら側にあるかの選択を除いて）決定されるからです。驚くべきことに、四辺形ABCDがどのように変形しても、距離BEは一定（11）に保たれるため、角度ECBも変化しません。その理由は、三角形ADEが三角形CBPと合同であり、三角形CDEが三角形ABPと合同であるためです。したがって、Eは最初のピラミッドと合同な2番目のピラミッドの頂点であり、BCEはDAPと合同であり、BE=DP=11となります。

シュテフェンの多面体を構築するには、これらの6つの三角形からなる2つの図形を取り、辺ECとCBで接合します。具体的には、最初の図形の辺E1C1を2番目の図形の辺B2C2に、最初の図形の辺B1C1を2番目の図形の辺E2C2に接合します。四辺形の底面の具体的な形状に関わらず、この接合が可能であることは、角度ECBが形状に依存しないためわかっています。したがって、この12個の三角形の集合体は2つの自由度を持っています。

多面体を完成させるために、三角形の面A1B1A2とA2B2A1を追加します。そして、これらの面が一定の形状を持つことを保証するために、1つの自由度を使用して、A1A2が特定の固定長17を持つという要件を課します。しかし、まだ1つの自由度が残っているため、結果として得られる多面体は自由に柔軟に変形できます。

（B1B2は、四辺形の底面の具体的な形状に関わらず11に固定されていますが、もしA1A2ではなくB1B2を使用してA1B1A2B2を2つの三角形の面に分割しようとした場合、それらは多面体の他の面と交差することになります。）

以下は、多面体の展開図です。これは、その面を平面上にマッピングしたもので、印刷して切り取り、折りたたむことができます。面間の破線は谷折り、実線は山折りです。面の色の対応は上記の画像と同じですが、紙の片面の色が多面体の外側に来るようにするため、2つのピラミッド（色付きの面から見た場合）は窪んで見えます。

［画像: シュテフェンの多面体の展開図］
シュテフェンの多面体の展開図

科学ノート / シュテフェンの多面体 / 作成日: 2015年8月23日日曜日 / 改訂日: 2026年9月3日木曜日

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