ギターのフレットは掛け算を実行できるか？

私は、いくつかの絵は千の言葉に値するが、他の絵は多くの困惑を引き起こすことを確信しています。最近購入した「Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music」というタイトルの本の表紙もそうでした。この本は、1622年頃に最初の対数スライド定規を発明したとされるウィリアム・オトレッドを記念して名付けられたOughtred Societyから出版されました。Oughtred Societyは1991年に設立され、「スライド定規やその他の計算機器の保存と歴史に専念」しています。彼らのウェブサイトには、この主題に関する豊富な有用な情報が含まれています。Oughtred Societyのウェブサイトにはこの本専用のページがまだありますが、現時点では販売していないようで、第二版も協会から直接入手することはできません。 この表紙のイラストは、私が興味を引かれたのは、対数が音楽のピッチの知覚とスライド定規の構造の両方に関わっているからです。私が現在執筆中のウェブブック「The Lost Art of Logarithms」で論じているように、対数とスライド定規はもともと掛け算やその他の数学的タスクの面倒なプロセスを容易にするために発明されましたが、自然界の知覚の理解を含む多くの理由で依然として不可欠です。しかし、この表紙のイラストは、スライド定規の目盛りの間隔とギターのフレットの不規則な間隔の間に直接的な対応関係があることを示唆しているようで、ギターのフレットがスライド定規のように掛け算を実行できるように配置されているとさえ示唆しています。そうでなければ、なぜこの本は「Calculating with Tones」というタイトルなのでしょうか？イラストは、本の34ページに、グラフィックの両半分についての説明を含むキャプションとともに再現されています。 ギター：フレットはギターのネックに配置され、個々の音を見つけるのに役立ちます。次のフレットまでの距離は、フレットがブリッジに近づくにつれて短くなります。その減少は対数的です。 スライド定規：スライド定規の目盛りは対数関数に対応します。スライド定規を使用する際、距離を加算することによって掛け算を実行します。スライド定規の目盛りの間の距離の漸進的な減少は、ギターのネック上の同じものに対応します。 そのイラストと説明がどれほど説得力があっても、何か引っかかりました。根本的に間違っているように思えましたが、正確な問題点を特定できませんでした。 ギターのフレットで掛け算をする やるべきことはわかっていました。まず、このようなギターを入手する必要がありました。 （ギターの画像） もしあなたのビデオディスプレイがこのギター全体を表示するのに十分な幅がない場合は、タッチまたはマウスを使用して水平方向にドラッグして表示できます。このギターが本当に数字を掛け算できるのであれば、いくつかの数値ラベルを追加する必要があります。Calculating with Tonesの表紙の用語とは対照的に、ギターの弦は、このイラストの左側にあるナットと右側にあるサドルとの間に張られています。これらのマウントは弦を所定の位置に保持し、弦がフレットに触れずに strummed または plucked されたときの有効長を決定します。ナットとサドルのちょうど中間にあるのが12フレットで、これは弦を半分に効果的に分割して、弦単独よりも1オクターブ高いピッチを演奏します。見にくいですが、表紙のイラストでは、ナットはスライド定規の重要なCおよびDスケールの1と整列しており、12フレットは2と整列しています。 これらの2点間の11個のフレットを、1から2の間の12の分数としてラベル付けする必要があります。 これらの分数の多くは簡約形で表すことができます。ここではそのようにしました。 次のステップは、ギターを半分に切断することです。 残念ですが、やらなければなりません。上から下まできれいに切断してください。これで、2つの部分を再結合できますが、一方の部分を他方に対してスライドさせる自由があります。 （ギターの操作説明） 例えば、7/6に3/2を掛けたいとします。上の半分を、上の1が下の7/6に揃うように移動します。 次に、上の半分で3/2を見つけます。下の対応する位置にあるのが積です：7/4。これは確かに7/6掛ける3/2です。他のほとんどの数値の組み合わせには、フレット間の補間が必要であり、特にフレットに小数ではなく分数でラベルを付けたため、常に簡単ではありません。しかし、5/4掛ける4/3が5/3になる、4/3掛ける3/2が2になるなど、他のいくつかの組み合わせはうまく機能します。手っ取り早く言うと、この実験は成功したようです：ギターのフレットは確かに掛け算できます！ いいえ、ギターのフレットは掛け算できません。 私の祝賀的な勝利宣言がひどく嘲笑される準備はできていますか？ほとんどのアコースティックギターには18または19フレットしかないため、これらのギターを使って2を超える積のフレットベースの掛け算を実験することはできません。しかし、エレクトリックギターはしばしばより多くのフレットを持ち、時には24にも達するため、各弦は2オクターブの範囲を持つことができます。私は、楽器メーカーDonnerのウェブサイトで、2オクターブのエレクトリックギターの良い画像を見つけました。これは安価なDonner DMT-100です。 （ギターの画像） ネックにある2組の二重ドットに注意してください。これらは1オクターブフレットと2オクターブフレットを示しています。1オクターブフレットは弦を効果的に半分にし、2オクターブフレットは残りの長さをさらに半分にします。ナットとフレットはアコースティックギターと同様にラベル付けできますが、2オクターブフレットにどのようにラベルを付けるべきでしょうか？Calculating with Tonesの表紙のイラストでは、ナットはスライド定規のCおよびDスケールの1と整列し、12フレットは2と整列していますが、サドルは4と整列しています。 （画像をクリックして拡大） スライド定規とギターフレットの対応は最初のオクターブではうまくいくように見えますが、24フレットは12フレットとサドルの間にありますが、これはスライド定規の約2.8に対応します。それは何を意味するのでしょうか？そして、スライド定規の4がギターのサドルに対応することは何を意味するのでしょうか？スライド定規は5、6と続き、10まで続きますが、ギターのフレットはサドルを超えられません。私の懸念にもかかわらず、私はエレクトリックギターのフレットに3までラベルを付け続けるしかありません。 （ギターの操作説明） このギターを半分に切断する時が来ました。 泣かないでください。それがギターの仕事です。2つの半分を再結合して、別のフレットベースの掛け算ツールを作成できます。 上の半分を右にスライドさせて掛け算します。これで、うまくいかない数値のペアを簡単に見つけることができます。例えば、ここに3/2と2の掛け算があります。これは3になるはずです。 上の半分にある1が下の3/2に揃うと、上の2は下の3よりも少し先にあります。なぜこのフレットベースのスライド定規は1オクターブでは機能するのに2オクターブでは機能しないのでしょうか？この件はもっと深く掘り下げる必要があるようです。 実際のスライド定規の仕組み（簡単に） ギターのフレットはスライド定規を部分的に模倣しているようですが、完全に一致していません。対数は、多桁数の掛け算を単純化するために発明されました。今日、私たちは対数を指数計算の逆として理解しています。y=10xの場合、yの（10を底とする）対数は次のように定義されます：log(y)=x 2つの10のべき乗を掛け合わせると、指数を加算できることはよく知られています：10N×10M=10N+M そして、（「The Lost Art of Logarithms」の第3章で私が苦労して証明したように）2つの数の対数の和が、それらの2つの数の積の対数と同じであることが示されます：log(N×M)=log(N)+log(M) スライド定規は、この計算を2つのスライド定規で効果的に実装しています。