ギターのフレットは掛け算を実行できるか？

ギターのフレットは掛け算を実行できるか？

2026年9月4日
Roscoe, N.Y.

絵が千の言葉に値することは確かですが、他の絵は多くの困惑を引き起こします。最近購入した『Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music』（音との計算：音楽の対数論）というタイトルの本の表紙もそうでした。

［画像: Calculating With Tones Book Cover］

この本は、1622年頃に最初の対数スライド定規を発明したとされるウィリアム・オウトレッド（William Oughtred）に敬意を表して名付けられた団体、Oughtred Societyによって出版されました。Oughtred Societyは1991年に設立され、「スライド定規およびその他の計算機器の保存と歴史」に専念しています。彼らのウェブサイトには、この主題に関する貴重な情報が豊富にあります。

Oughtred Societyのウェブサイトには、この本専用のページがまだありますが、現時点では販売しておらず、第2版も協会からは直接入手できないようです。

この表紙のイラストは、対数が音楽のピッチの知覚とスライド定規の構造の両方に関わっているため、私を魅了しました。現在執筆中のウェブブック『The Lost Art of Logarithms』（対数の失われた技術）で論じているように、対数とスライド定規は元々、掛け算やその他の数学的タスクの面倒なプロセスを容易にするために発明されましたが、自然界の知覚の理解を含む多くの理由で、依然として不可欠です。

しかし、この表紙のイラストは、スライド定規の目盛りの間隔とギターの不規則なフレットの間隔との直接的な対応関係を示唆しており、ギターのフレットがスライド定規のように掛け算を実行できるように配置されているかのようにさえ示唆しています。『Calculating with Tones』というタイトルである以上、他に何があるでしょうか？

イラストは、本の34ページに、グラフィックの両方の半分を説明するキャプションとともに再録されています。

ギター：フレットはギターのネック上に配置され、個々の音を見つけるのに役立ちます。次のフレットまでの距離は、フレットがブリッジに近づくにつれて短くなります。その減少は対数的です。

スライド定規：スライド定規の目盛りは対数関数に対応します。スライド定規を使用する際、距離を足し合わせることで掛け算を実行します。スライド定規の目盛りの間の段階的な距離の減少は、ギターのネック上のそれと同じです。

そのイラストと説明は説得力がありますが、何か引っかかるものがありました。根本的に間違っているように思えましたが、正確な問題点を見つけられませんでした。

ギターのフレットで掛け算をする

やるべきことはわかっていました。まず、このギターのようなものを手に入れる必要がありました。

[ギター画像提供: Wikipedia (Martin Möller, CC BY-SA 2.0 DE via Wikimedia Commons); 私による修正]

もしあなたのビデオディスプレイがこのギター全体を表示するのに十分な幅がない場合は、タッチまたはマウスを使用して水平方向にドラッグして表示できます。

もしこのギターが本当に数値を掛け算できるのであれば、いくつかの数値ラベルを追加する必要があります。『Calculating with Tones』の表紙の用語とは対照的に、ギターの弦は、このイラストの左側にあるナットと右側にあるサドルとの間に張られています。これらのマウントは弦を所定の位置に保持し、弦がフレットに触れていない状態で弾かれたり掻き鳴らされたりするときの有効長を決定します。ナットとサドルの間の中間点にあるのが12フレットで、これは弦を半分の長さにすることで、弦単独の音よりも1オクターブ高いピッチを奏でます。

見えにくいですが、表紙のイラストでは、ナットはスライド定規の最も重要なCスケールとDスケールの1に揃えられ、12フレットは2に揃えられています。これらの数値をギターに移しましょう。

これらの2点の間には11個のフレットがあり、明らかに1から2の間の12の分数としてラベル付けされる必要があります。

これらの分数の多くは簡略化された形で表すことができます。ここではそのようにしました。

次のステップは、ギターを半分に切断することです。

残念ですが、やらなければなりません。上下にきれいに切り込みを入れてください。

これで、2つの部分を、一方の部分を他方に対してスライドさせる自由度を持たせて元に戻すことができます。

[ギターの半分を右にスライドさせて2つの数値を掛け算します。]（タッチまたはマウスを使用）

例えば、7/6に3/2を掛けたいとします。上の半分を、上の1が下の7/6に揃うように移動します。

次に、上の半分で3/2を見つけます。下のそれに対応する位置にあるのが積です：7/4。これは確かに7/6 × 3/2 です。

他のほとんどの数値の組み合わせでは、フレット間の補間が必要になり、特にフレットに分数ではなく小数でラベル付けしたため、常に容易ではありません。しかし、5/4 × 4/3 = 5/3 や、4/3 × 3/2 = 2 のような、うまくいく組み合わせがいくつかあります。

手っ取り早く言うと、この実験は成功したようです。ギターのフレットは確かに掛け算を実行できます！

いいえ、ギターのフレットは掛け算を実行できません。

私の祝賀的な勝利宣言が、無慈悲に嘲笑される準備はできていますか？

ほとんどのアコースティックギターには18または19フレットがあるため、これらのギターを使ってフレットベースの掛け算を2を超える積にはあまり実験できません。しかし、エレクトリックギターはしばしばより多くのフレットを持ち、時には24フレットもあり、各弦が2オクターブの音域を持つことができます。

私は、楽器メーカーDonnerのウェブサイトから、2オクターブのエレクトリックギターの良い画像を見つけました。これは安価なDonner DMT-100です。

Donner DMT-100: 彼らのウェブサイトより; 私による修正

ネック上の2組の二重のドットに注目してください。これらは1オクターブフレットと2オクターブフレットを示しています。1オクターブフレットは弦を効果的に半分にし、2オクターブフレットは残りの長さをさらに半分にします。

ナットとフレットはアコースティックギターと同様にラベル付けできますが、2オクターブフレットにどのようにラベルを付けるべきでしょうか？

『Calculating with Tones』の表紙のイラストでは、ナットはスライド定規のCスケールとDスケールの1に揃えられ、12フレットは2に揃えられていますが、サドルは4に揃えられています。

［画像: Calculating With Tones Closeup］

これをクリックすると、より大きなバージョンが表示されます。

ギターのフレットとスライド定規の対応は最初のオクターブではうまくいくように見えますが、24フレットは12フレットとサドルの間にありますが、これは約2.8のスライド定規に対応します。それは何を意味するのでしょうか？そして、スライド定規の4がギターのサドルに対応することは何を意味するのでしょうか？スライド定規は5、6と続き、10までありますが、ギターのフレットはサドルを超えられません。

私の懸念にもかかわらず、エレクトリックギターのフレットに3までラベルを付け続けるしかありません。

今度はこのギターを半分に切断する時です。

泣かないでください。それがギターの仕事です。

2つの半分を再び組み合わせて、別のフレットベースの掛け算ツールを作成できます。

[上の半分を右にスライドさせて掛け算します。]（タッチまたはマウスを使用）

例えば、3/2に2を掛けた結果が3になるはずですが、うまくいかないペアの数値を見つけるのは簡単です。

上の半分で1を下の3/2に揃えると、上の2は下の3よりも少し先にあります。

なぜこのフレットベースのスライド定規は1オクターブでは機能し、2オクターブでは機能しないのでしょうか？

この件は、さらに深く掘り下げる必要があるようです。

実際のスライド定規の仕組み（簡潔に）

ギターのフレットは、スライド定規を部分的に模倣しているようですが、完全に一致していません。

対数は、多桁の数値の掛け算を単純化するために発明されました。今日、私たちは対数を指数計算の逆として理解しています。もし

y = 10^x

ならば、10を底とする対数（常用対数）は次のように定義されます。

log(y) = x

10の2つのべき乗を掛け合わせると、指数を足し合わせることができることはよく知られています。

10^N × 10^M = 10^(N+M)

そして（『The Lost Art of Logarithms』の第3章で私が苦労して証明するように）、2つの数値の対数の和が、それらの数値の積の対数と同じであることが示されます。

log(N × M) = log(N) + log(M)

スライド定規は、この計算を2つのスライドする定規で効果的に実装しています。これらの定規がどのように作られるかは、『The Lost Art of Logarithms』の第6章と第7章の仕事です。

ここに10インチの対数スケールの作成の始まりを示します。スケール上の各数値は、スケールの全長（この場合は10インチ）にその数値の常用対数を掛けた値に基づいて配置されます。スケールは1から始まります。なぜなら、1の対数はゼロだからです。

[対数スケール]（タッチまたはマウスを使用して水平方向にスクロール）

もしこの定規がブラウザページに収まらないほど幅が広い場合は、タッチまたはマウスを使用して水平方向にスクロールして表示できます。

これらの対数は、昔は書籍から得ていました。あるいは、電卓を使用することもできます。ほとんどのコンピューターベースの電卓は、科学モードに切り替えて「log」キーにアクセスする必要があります。携帯電話の電卓は、しばしば横向きにする必要があります。

いくつかの分数を含む数値を続けることができます。

最終的にはこのようになります。

[対数スケールと目盛り]

対数スケールの始点からの各目盛りの距離は、その目盛りが表す数値の対数に10インチを掛けたものです。

これらの対数定規を2つ向かい合わせに置けば（1622年のウィリアム・オウトレッドが行ったように）、スライド定規の完成です。

[スライド定規]（タッチまたはマウスを使用してドラッグ）

便利なヘアラインも追加しました。青い円でドラッグできます。このスライド定規は、1.56と2.72の掛け算を示すように初期化されていますが、上の定規と青い円をドラッグして他の掛け算を試すことができます。掛けたい最初の数値を下のスケールの1に合わせたいはずです。次に、上のスケールの2番目の数値にヘアラインを合わせます。ヘアラインは下のスケールに積を示しています。この場合は4.24です。

しかし、これは小さな数値を掛けるよりもはるかに汎用的です。1.56と2.72を掛けることは、基本的に15,600に27.2を掛けること、または0.0156に0.000272を掛けることと同じです。唯一の違いは結果の小数点です。

上のスケールを右にスライドさせて2つの数値を掛け算できない場合は、左にスライドさせます。上のスケールの10を下のスケールの最初の数値に合わせます。ここでは8 × 7 を示します。

[スライド定規で8 × 7 を計算]（タッチまたはマウスを使用してドラッグ）

この場合、積の56を得るために小数点以下を右にシフトする必要があります。

このスライド定規は割り算にも使用できます。被除数を下のスケールに、除数を上のスケールに合わせます。商は、上のスケールの最初または最後に揃えられた下のスケールにあります。

ここには魔法はありません。やっていることは、定規の長さを足したり引いたりしているだけです。しかし、定規上の数値は対数であるため、数値は効果的に掛け合わされています。最初の例で使用した2つの数値で、定規の長さを比較する簡単なデモンストレーションを以下に示します。

[スライド定規の長さの比較]（タッチまたはマウスを使用してドラッグ）

上のスケールの各位置とヘアラインについて、上の2つの幅が下の幅に加算されていることがわかります。しかし、これらの幅はスケール上の数値の対数に対応するため、これらの数値は効果的に掛け合わされています。

ギターのフレットは同様に配置されていますか？そして、それらの位置は、なぜ時々掛け算ができ、時々できないのかを明らかにするために、同様の方法で定量化できますか？

ピッチの対数的な知覚

ギターのフレットが対数的に配置されているのは、私たちの音楽のピッチの知覚が対数的であるため、もっともらしく思えるかもしれません。

それが何を意味するのか？

音は振動です。振動の周波数、つまり振動するものが1秒間に何回往復するかは、ヘルツ（Hz）で表されます。これは、電磁波の存在を最初に証明したハインリヒ・ルドルフ・ヘルツにちなんで名付けられました。（1960年代にヘルツが採用される前は、振動の速度は「サイクル毎秒」またはcpsという自明な単位で指定されていました。）

人間は一般的に20 Hzから20,000 Hzの間の周波数の音を聞くことができますが、これは個人や年齢によって異なります。年を取るにつれて、高い周波数を聞く能力はしばしば低下します。

しかし、私たちはこれらの周波数を線形に知覚しません。つまり、1000 Hzと2000 Hzの差と、2000 Hzと3000 Hzの差を同じとは感じません。代わりに、1000 Hzと2000 Hzの差を、2000 Hzと4000 Hzの差と同じだと知覚します。

この周波数の倍増は、オクターブと呼ばれるピッチの変化として知覚され、これは世界中の音楽の基礎を形成しています。簡単な参照として、「Somewhere over the rainbow」の最初の2つの音を歌ってみてください。これはオクターブの跳躍です。歌がビョークによって歌われようとバリー・ホワイトによって歌われようと、周波数は「some」から「where」で倍増します。

『The Lost Art of Logarithms』の未完の第13章で私が詳細に論じているように、西洋音楽の伝統では、オクターブを12のステップに分割するように進化しました。このピアノのラベル付き鍵盤は、ピアノの大部分の範囲にわたるオクターブの進行を示しています。

[ピアノの鍵盤]（タッチまたはマウスを使用して水平方向にスクロール）

連続するラベル付き鍵盤の各ペアは周波数の倍増であり、したがってオクターブの間隔です。中央のCは小さなドットで示された鍵盤であり、ラベル付けされたすべての鍵盤はAです。標準チューニングでは中央のCの上のAを440 Hzに設定するため、Aを使用しました。他のすべてのA鍵盤の周波数は、440を段階的に倍増または半減させることで計算できます。これらのさまざまなA鍵盤は、オクターブを示す下付き数字を使用した、いわゆる科学的ピッチ名で区別できます。これらの8つのラベル付き鍵盤は、A0、A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7と表記されます。

オクターブ内の12のステップのそれぞれは、半音として知られています。

そしてはい、これらの言葉は意味をなしません。「オクターブ」という言葉は8つの何かを意味するように見え、「半音」という言葉は何か半分を意味するように見えます。これらの用語の多くは数世紀前に起源を持ち、当時意味がありましたが、今日では単にそれに stuck しています。

何世紀にもわたって、この12のオクターブ音をどのように調律するかについて、さまざまな方法が進化しました。（再び、『The Lost Art of Logarithms』の第13章にはさらに詳細があります。）しかし、16世紀後半以降、一部の音楽家や理論家は、各半音ステップが等しくなることを提唱し始めました。これは平均律として知られるチューニングの一種であり、一部の異論はありますが、今日、西洋音楽を支配しています。

220 Hzと440 Hzの間、および440 Hzと880 Hzの間に12の等しい半音があるとはどういう意味でしょうか？それは、半音が固定のヘルツ数ではありえず、代わりに掛け算でなければならないことを意味します。半音は、それ自体を12回掛け合わせると、オクターブに関連する周波数の倍増である2になる数値でなければなりません。この数値は一般的に2の12乗根として表されます。

半音乗数 = 2^(1/12)

または2の1/12乗として表されます。

半音乗数 = 2^(1/12)

私たちにとって今日、その数値を計算するのは簡単です。実際、それは真実ではありません。私たちにとって簡単なのは、その式を電卓に打ち込むことです。例えば、Windows電卓では、科学モードに切り替えてから、2、xyキー、左括弧、1キー、除算（÷）キー、12、右括弧、そして等号（=）キーを押すことで実現されます。

2の12乗根は無理数であり、正確な値はありません。電卓は近似値しか与えられません。ここではさらに近似しています。

半音乗数 = 2^(1/12) ≒ 1.059463...

その数値を12回掛け合わせると、約2の結果が得られます。話を簡単にするために、大まかな近似として1.059または1.06を使用できます。

ピアノの鍵盤のすべての黒鍵と白鍵を左から右へ、1（音A0）から始めて88（音C8）まで番号を付けたとします。A4は鍵盤番号49を持ち、ピアノが標準的に調律されている場合、周波数は440 Hzです。その開始点から、この式を使用してピアノの任意の鍵盤の周波数を計算できます。

周波数 = 440 × 2^((鍵盤番号 - 49) / 12)

または、この関係を対数で表すこともできます。しかし、2のべき乗を扱っているため、2を底とする対数（二進対数）でなければなりません。

鍵盤番号 = 49 + 12 × log₂(周波数 / 440)

これら2つのステートメントは同等です。

私たちは、ピアノの88鍵盤をピッチの等しいステップとして知覚しています。しかし、それらの鍵盤番号は周波数の対数です。これが、私たちのピッチの知覚が対数的であると主張する理由です。

周波数と弦長

ピアノ、ハープ、バイオリン、ギターはすべて振動する弦で音を出します。振動する弦の周波数は4つの要因に依存します。

• それが作られている素材
• その厚さ
• その張力
• その長さ

楽器はしばしば、さまざまな素材、厚さ、長さの弦を含んでおり、弦は張力を調整することで調律されます。しかし、特定の弦が調律されたら、その長さ（潜在的に）以外はすべて一定です。

これはギターでも同様です。特定の弦の場合、周波数は振動する弦の部分の長さに完全に依存し、それは弦がどのフレットに押し付けられているかによって決まります。（まあ、それは完全に真実ではありません。フレットに押し付けられると弦の張力はわずかに増加しますが、正気を保つためにそれを無視しましょう。）

幸いなことに、振動する弦の周波数とその長さの関係は非常に単純です。それらは反比例します。弦が長いほど、周波数は低くなります。長さを半分にすると、周波数は1オクターブの跳躍で倍増します。

ギターのフレッティング

したがって、ギターのフレットは、各連続フレットが弦の周波数を1.059倍増加するように配置されなければなりません。周波数は長さに反比例するため、各フレットは弦の長さを半音乗数の逆数だけ効果的に短くする必要があります。これを表現する1つの方法は、(1/2)^(1/12) です。

弦長減少係数 = (1/2)^(1/12) ≒ 0.943874...

これらのサンプル計算を容易にするために、より大まかな近似値0.944を使用します。さらに、ナットからサドルまでのギター弦の長さを100センチメートルと仮定しましょう。

最初のフレットは、その長さの0.944倍、つまりサドルから94.4センチメートル、したがってナットから5.6センチメートルの位置になければなりません。

2番目のフレットはさらに複雑になります。弦の有効長が94.4 × 0.944 = 89.1センチメートルになるように配置する必要があります。

また、100センチメートルに0.944の2乗を掛けることで89.1センチメートルを計算することもできます。この2番目のフレットはナットから10.9センチメートル、つまり最初のフレットから5.3センチメートル下にあります。フレット間の間隔はすでに減少しています。

このプロセスは続きます。各フレットは、弦の長さを前のフレットに関連付けられた長さの0.944倍に短縮する必要があります。

その84.1の長さは、100 × 0.944³ です。そして再び：

フレット間の間隔は徐々に減少し続けます。4フレットから5フレットまでの距離は4.7センチメートルです。

最終的に12フレットに到達し、弦を元の長さの半分に短縮します。

12フレットは、100センチメートル × 0.944¹²、つまりサドルから50センチメートルの位置に配置され、弦の長さを効果的に半分にします。

さらに12フレットでギターの範囲をもう1オクターブ広げることができます。

24フレットは弦を再び半分に分割します。

フレットからサドルまでの弦の長さは次のように計算できます。

フレットからの弦長 = 弦長 × (1/2)^(フレット番号 / 12)

ナットからのフレットの距離は次のように計算できます。

フレットのナットからの距離 = 弦長 × (1 - (1/2)^(フレット番号 / 12))

ナットはフレット番号0と仮定されているため、ナットのフレット距離も0です。12フレットのフレット番号は12なので、フレット距離は弦長の半分です。

フレットベースのスライド定規の作成

フレット位置の計算の数式開発に、対数は一切関与していないことに注意してください。それでも、そのような数式ができたので、ギターをさらに切断することなく、独自のフレットベースのスライド定規を作成できます。冒頭で、フレットの最初のオクターブだけが従来の対数スライド定規のように機能するように見えると確立したと思います。2番目のオクターブのフレットを含めると、すべてが台無しになります。

そこで、最初のオクターブのフレットを取り、アコースティックギターにラベル付けしたように、1から2の間の分数で正確にラベル付けしましょう。

[フレットベースのスライド定規（1オクターブ）]

次に、同じ方法で別の定規を作成しますが、目盛りは下ではなく上にします。

[フレットベースのスライド定規（2つ）]

これらの2つの定規を一緒に置き、タッチまたはマウスを使用して上の定規を下の定規に対して移動させることができます。

補間を必要としない掛け算の例をいくつか試すことができます。例えば、7/6 × 3/2 や 5/4 × 4/3 です。そして今、それらが正確ではないことに気づくかもしれません。目盛りは正確に一致しません。これは、切断されたギターの2つの部分を不器用に扱っていたときは許容できたかもしれませんが、ギターのフレットが対数的に配置されていた場合、それは起こりませんでした。

2番目のギターフレットを含めることで、これらの定規を長くすることはできません。それは悲惨な結果になることはすでにわかっています。しかし、対数スライド定規は自己相似的です。スライド定規の2から4の部分は、番号付けが2倍になっていることを除けば、4から8の部分と同じです。

[対数スケールの自己相似性]

10までスケールを上げることさえできます。

[対数スケール（1から10）]

5/2 × 8/3 を試してみましょう。これは20/3 になるはずですが、うまくいきません。

では、これは現実なのでしょうか、それとも幻想なのでしょうか？

2つの定規スケールの物語

ギターのフレットの数学に基づいて構築されたスライド定規が、対数に基づいて構築されたスライド定規とほぼ同じように機能するのに、正確ではないというのは迷惑なことです。

以下のグラフィックはスライド定規ではありません。インタラクティブでもありません。何もスライドさせようとしないでください。上の定規スケールはギターのフレット配置の数式に基づいて構築され、下は対数に基づいて構築されています。

[2つのスケールの比較グラフ]

これらのスケールが表示されている範囲を超えて引き伸ばしました。これらの2つの異なるスケールが、1と2でのみ一致することに気づくのに、注意深く見る必要はありません。

これらのスケールを超えて2つの関数をグラフ化することも示唆的です。以前、ナットからの各フレットの距離を計算する数式を示しました。

フレットのナットからの距離 = 弦長 × (1 - (1/2)^(フレット番号 / 12))

この数式をスライド定規に合わせて調整したいと思います。各目盛りの距離は、その目盛りに対応する数値に基づいています。その数値nは、フレット番号と次のように関連付けられます。

n = 1 + (フレット番号 / 12)

または：

フレット番号 = 12 × (n - 1)

また、1から2までのスケールは弦長の半分なので、弦長を2に正規化し、目盛り配置の数式を次のようにします。

目盛りの距離 = 2 - (1/2)^(n - 2)

これがグラフの赤い線になります。nが1（スケールの開始）の場合、目盛りの距離は0です。nが2（スケールの終了）の場合、目盛りの距離は1です。

1から2までの対数スケールでの目盛りの距離は、単純に次のようになります。

目盛りの距離 = log₂(n)

これが青い線です。再び、nが1（スケールの開始）の場合、目盛りの距離は0であり、nが2の場合、目盛りの距離は1です。

赤い線と青い線はnが1から2の間で一致するように見えますが、これらは明らかに同等の関数ではありません！

起こったこと：『Calculating with Tones』の残酷に欺瞞的なイラストに騙されて、私はギターのフレットの最初のラベリングを1から2の範囲にねじ曲げました。それは、その2つの点では対数と一致する関数を暗示していましたが、それ以外は全く異なっていました。残りは基本的に偶然です。

『The Lost Art of Logarithms』のテーマの1つは、私たちの自然界および人工の世界の多くの現象が対数的に解釈できるということです。それには音楽が含まれますが、ギターのフレットは含まれません。

追加情報：フレット配置への幾何学的アプローチ

以前、ギターのフレット配置の理論的な数学について説明しました。しかし、ギターは何百年も前から存在しています。人々は電卓や精密測定器なしでフレットの位置をどのようにして見つけたのでしょうか？例えば、ヨハネス・フェルメールの最後の絵画の1つである1672年の『ギター弾き』のギターのフレットはどのように配置されていたのでしょうか？

［画像: Vermeer’s The Guitar Player］

パブリックドメイン画像、Wikipedia via Wikimedia Commons

1つの一般的なアプローチは、1581年にフィレンツェで出版された『Dialogo della musica antica et della moderna』（古代および現代音楽対話）というタイトルの本からの単純な比率を使用することでした。

著者はヴィンチェンツォ・ガリレイ（Vincenzo Galilei）で、1520年代にフィレンツェ近郊で生まれたと考えられています。彼は若い頃リュートを学び、歌手、教師、作曲家になりました。彼の音楽の一部は録音されています。The Well-Tempered Luteというアルバムには彼の作品のセレクションが含まれています。彼はジョゼッフォ・ツァルリーノ（Gioseffo Zarlino）に音楽理論を師事し、その後ツァルリーノの理論の一部を否定しました。彼の長男であるガリレオは、父が『Dialogo』を出版したとき約17歳でしたが、後に天文学と自然哲学の分野で名声を得、1638年の著書『Two New Sciences』（二つの新科学）でも音楽理論について書いています。

Internet Archiveには、Papa Galileiの『Dialogo』の1581年のオリジナル版があり、International Music Score Library Project (IMSLP)には1967年の再版)があり、North Texas大学デジタルライブラリには、完全な英訳と多くの解説を含むRobert H. Hermanによる博士論文があります。

ガリレイがリュートのフレット位置の計算方法について論じているのは次のとおりです。

そこで、私は線AB全体を18等分し、高い方（低い方から離れる方向）へ、その最初の部分が終わるところに最初のフレットを置きます。同じ数の部分（つまり18）で残りの全体をもう一度分割し、同じバンドから、2番目のフレットの下に最初のフレットを置きます。次に、残りのスペースを、12までの同じ順序で分配していきます。これにより、弦全体の半分が終わる点に正確に到達します。（299-300ページ、括弧内のフレーズは翻訳者による追加。イタリア語オリジナル版の49ページに相当）

ヴィンチェンツォ・ガリレイは、フレット配置のために18:17の比率を提案しています。これは、半音乗数が次のように近似されることを意味します。

半音乗数 = 18/17 ≒ 1.058824...

18/17を12回掛け合わせても2にはなりませんが、代わりに1.985560となり、かなり近いです。

同様に、フレット位置を計算するための弦長減少係数は次のようになります。

弦長減少係数 = 17/18 = 0.944444...

この比率を12乗すると、1/2よりわずかに大きくなります。

(17/18)¹² ≒ 0.50364...

しかし、17/18の利点は、それが比率であることであり、比率は非常に有用であるということです。

古代ギリシャからルネサンスまでの音楽理論のどの論文を見ても、多くの幾何学的図が見られます。算術と幾何学を組み合わせる際、比率は理想的です。なぜなら、何も測定したり、分数に関わったりする必要がないからです。すべてが幾何学的です。

ヴィンチェンツォ・ガリレイは、18:17の比率が実際にはどのように使用されるかをあまり説明していませんが、テクニックを開発するのは簡単です。リュートやギターを製作している、あるいはフレットを追加したいフレットレスギターを入手したとしましょう。

最初のステップは、大きな紙を用意し、ナットとサドル間の距離に対応する線分を描くことです。

[弦線と垂直線]

これを弦線と呼びましょう。ギターを脇に置き、弦線に垂直で下部に揃えられた長い水平線を描きます。

[水平線と短い垂直線]

その水平線上のどこかに、別の短い垂直線を描きます。

[短い垂直線]

その短い垂直線上に、下から上へ向かって、18個の等間隔の水平目盛りを描きます。

[18個の目盛り]

これは、コンパスと定規という伝統的な幾何学的描画ツールで実行できることです。これらの水平目盛りの間の距離は関係ありません。等間隔であればよいのです。怠惰であれば、この線に目盛りを付けるために18インチ定規を使用することもできます。

次に、弦線の頂点から短い垂直線の最上部の目盛りまで直線を引き、基部まで続けます。

[最初の対角線]

ここで、一番下の水平線との交点に小さな点を描きました。その小さな点から、2番目の目盛りを通過して弦線に交差する別の対角線を描きます。

[2番目の対角線]

これで、小さな垂直線とその目盛りを削除できます。もう必要ありません。

[弦線と2本の対角線]

私が主張するのは、上の対角線から基部まで描かれた任意の垂直線は2つの部分に分割されるということです。上の部分（2つの対角線の間）は全長の1/18です。下の部分（下の対角線の下）は全長17/18です。

弦線はこのような垂直線です。2本の対角線は弦線を1/18（2つの対角線の間）と17/18（下の対角線の下）に分割します。最初のフレットは、下の対角線が弦線と交差する位置に置かれます。

[最初のフレットの位置]

2番目のフレットの位置を決定するには、まず、フレットから上の対角線まで水平線を引き延ばします。ここでは点線で示されています。

[点線で示された水平線]

点線が上の対角線と交差する点から基部まで垂直線が引かれていると想像できます。その線も2つの部分に分割されています。その垂直線の一部を2番目の対角線まで描きます。これも点線です。

[点線で示された垂直線の一部]

次に、弦線に戻る水平線を描きます。

[2番目のフレットの位置]

それが2番目のフレットの位置です。

進んでいくと、フレット間の距離が縮まっていくのがわかります。これは、各連続フレットが前のフレットの後の残りの弦長の17/18であるためです。3番目のフレットを見つける方法は次のとおりです。

[3番目のフレットの位置]

そしてこれが4番目です。

[4番目のフレットの位置]

そのまま続けていくと、強調のために少し広くしたオクターブフレットに到達します。

[オクターブフレット]

さらに続けて、2オクターブフレットで終わるさらに12個のフレットを追加できます。

[2オクターブフレット]

これで、2オクターブ範囲までギターをフレッティングするためのテンプレートができました。

[フレット配置テンプレート]

ヴィンチェンツォ・ガリレイが18:17の比率を提唱したことは、説得力があったようです。音楽学者のジェームズ・マレー・バーバー（James Murray Barbour）は、その決定的な著書『Tuning and Temperament: A Historical Survey』（Michigan State College Press, 1951, 1952; Dover Publications, 2004）の中で、「18:17の半音に関する言及は2世紀半にわたる」と見つけたことを報告しています。（59ページ）つまり、人々は19世紀までこの比率を使用していました。そのため、フェルメールの絵画のギターもこの技術でフレットが打たれていたと推測しています。

それが実際にどのように機能するか、少なくとも仮想ギターで見てみましょう。

左のギターは、各弦のピッチが上部にラベル付けされています。左のギターはフレット位置を決定するためにヴィンチェンツォ・ガリレイの18:17の比率を使用しています。右のギターは計算に2の12乗根を使用しています。

[2つのギターの比較]

タッチスクリーンでは、これらのギターの弦を指で弾くことができます。それ以外の場合は、マウスカーソルをボタンを押したまま弦の上にドラッグする必要があります。開放弦に関連付けられた音を演奏するには、ナットのすぐ下、上部近くの弦を弾きます。フレットが必要な音の場合は、フレットのすぐ下の弦を弾きます。

オクターブフレットと2オクターブフレットのすぐ上に、2つのドットが描かれています。これらのドットは、一部のギターにあり、演奏者を orient するのに役立ちます。左下のスライダーは音量コントロールです。

マルチタッチディスプレイをお持ちの場合は、2つの弦を同時に弾くことができます。おそらく、2つの異なるギターで同じ弦を弾くことができます。一番上では、周波数は同じですが、フレットを下に下がるにつれて、周波数はずれ、ビートが聞こえ始めるかもしれません。

ヴィンチェンツォ・ガリレイの18:17の比率を使用したギター製作者は、純粋なオクターブ間隔を実現するために、フレットに微妙な調整を加えた可能性が高いです。