3次元平均ナビエ・ストークス方程式における有限時間爆発

私の研究と解説論文の最新情報、未解決問題の議論、その他の数学関連トピック。 有限時間爆発 for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation 2014年2月4日 math.AP, math.CA, paper | タグ: dyadic models, finite time blowup, Navier-Stokes equations | by Terence Tao 私は、J. Amer. Math. Soc. に投稿された論文「Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation」をarXivにアップロードしたばかりです。この論文の主な目的は、ナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性問題に対する「超臨界障壁」を形式化することです。これは、大まかに言えば、非線形部分の関数空間推定の上限とエネルギー恒等式のみを使用するいかなる「抽象的」アプローチによっても、グローバル正則性を確立することは不可能であると主張するものです。これは、真のナビエ・ストークス方程式の非線形性と同じような関数空間推定をすべて満たし、かつエネルギー恒等式も満たすが、有限時間で爆発する解を構築できるような、ナビエ・ストークス方程式の修正版を構築することによって行われます。 この種の С 결과는 이전에 Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu, Li-Sinai によってエネルギー恒等式を持たないナビエ・ストークス方程式の変種に対して、また Katz-Pavlovic および Cheskidov によってエネルギー恒等式を満たす5次元以上のナビエ・ストークス方程式の dyadic アナログに対して確立されていました（Plechac と Sverak、および Hou と Lei の研究も、5次元以上でエネルギー恒等式を満たす他のナビエ・ストークス型モデルの爆発を示唆しています）。しかし、私の知る限り、これはエネルギー恒等式も満たす3次元のナビエ・ストークス型方程式に対する最初の爆発結果です。 興味深いことに、証明の方法は、実際のナビエ・ストークス方程式の爆発を確立するための可能な経路を示唆しており、私は（非常に小さな初期データセットに対してではありますが）その可能性が高いと考えています。 結果をより正確に述べるために、ナビエ・ストークス方程式を、発散フリーな速度場 u と圧力場 p の形式で書くことができることを思い出してください。 ここで ν は粘性であり、ここでは1に正規化します。非周期的な設定で作業するため、空間領域は R^3 であり、説明のために解の正則性や減衰の問題については議論しません（ただし、ここでは常に弱解よりも強い意味での解を扱います）。 発散フリーなベクトル場に Leray プロジェクターを適用してこの方程式に適用すると、圧力 p を消去し、速度場 u のみに関する進化方程式を得ることができます。 ここで Q は発散フリーなベクトル場上の特定の双線形演算子です（具体的には、Q(u, v) = P(u ⋅ ∇)v です）。ナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性問題は、方程式 (1) のグローバル正則性問題と同等です。 (1) に現れる双線形演算子の重要な特徴は、キャンセル法則（発散フリーなベクトル場上の内積を使用）であり、これは特に基本的なエネルギー恒等式につながります。 この恒等式（およびその結果）は、大きなデータと任意の時間からのナビエ・ストークス方程式の解に対する、知られている唯一の a priori 境界を提供します。残念ながら、この以前の投稿で議論したように、エネルギー恒等式によって制御される量は、スケーリングに関して超臨界的です。これは、データまたは解に対する追加の仮定なしに（例えば、摂動仮説や、臨界ノルムのようなノルムに対する a priori 制御など）、ナビエ・ストークス問題の解決を試みたすべての試みを打ち砕いた根本的な障害です。 私たちの主な結果は、（少し非公式に述べると）次のとおりです。 定理 1 ある確率空間 Ω、ある空間回転演算子 R_θ、および次数 -1 のフーリエ乗数 m(ξ) のための、双線形演算子 Q の平均化されたバージョンが存在し、その形式は Q_avg(u, v) = E[R_θ Q(R_{-θ}u, R_{-θ}v)] であり、キャンセル法則を依然として満たし、平均化されたナビエ・ストークス方程式が有限時間で爆発する解を許容します。（上記定理の結論が自明でないためには、フーリエ乗数に関するいくつかの積分可能性条件がありますが、説明のためにここでは省略します。） 空間回転と次数 -1 のフーリエ乗数は、ほとんどの関数空間で有界であるため、Q_avg は自動的に Q のほぼすべての上限推定を満たします。したがって、この定理は、エネルギー恒等式と非線形性のための上限推定にのみ依存する、真のナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性を証明しようとするあらゆる試みを阻止します。平均化されたバージョン Q_avg が共有しない非線形演算子の何らかの追加構造を使用する必要があります。そのような追加構造は確かに存在します。例えば、ナビエ・ストークス方程式は、擬微分演算子ではなく微分演算子のみを含む渦度形式を持つのに対し、一般的な形式 (2) の方程式はそうではありません。しかし、「抽象的」なグローバル正則性へのアプローチは、一般的にそのような構造を利用しないため、ナビエ・ストークス問題に肯定的に答えることはできません。 私たちが使用する特定の平均化された双線形演算子は、局所カスケード演算子の有限線形結合であることが判明します。これは、 Q_cascade(u, v) = Σ_j c_j (u ∘ A_j) v の形式をとります。ここで、A_j はあるパラメータ ε_j、あるシュワルツベクトル場、およびあるフーリエ乗数であり、これは essentially Q の dyadic モデルとして Katz と Pavlovic によって導入されたものです。これらは Q と実質的に同じスケーリング特性を持ちます（ただし、すべての正の実数全体ではなく、べき乗に沿ってのみスケールできます）。そして実際、それらは上記の定理の意味で Q の平均として表現できます。これは、やや退屈なフーリエ解析的な記号操作の後で示すことができます。 局所カスケード演算子の有限線形結合である非線形性を考慮すると、方程式 (2) は、ある種の「ウェーブレット係数」における常微分方程式のシステムにほぼ崩壊します。現れる正確な常微分方程式は、使用されている局所カスケード演算子のどの正確な組み合わせに依存します。Katz と Pavlovic は、実質的に単一のカスケード演算子とその「随伴」（エネルギー恒等式を維持するために必要）を考慮し、ほぼ次のような常微分方程式のシステムに到達しました。 d_t a_k = Σ_{i,j} C_{ijk} a_i a_j - ν k^2 a_k ここで a_k は各整数 k のためのスカラー場です。（実際、Katz-Pavlovic はこの特定の方程式の技術的なバリアントを扱いましたが、この現在の議論ではその違いはそれほど重要ではありません。）右辺の二次項は、散逸項よりも高い指数を持ちます。これは、この流れの超臨界的な性質を反映しています（この流れではエネルギーは単調に減少するため、エネルギーの制御が与えられた場合の自然なサイズは k^{-1} です）。 (3) を形式 (2) の方程式に埋め込みたい場合、散逸に関してわずかな技術的な問題がありますが、それは軽微であり、ここではこれ以上議論しません。 原則として、モード a_k がある時間 t でサイズ |a_k| ≈ 1 を持つ場合、エネルギーは k から k+1 へ、約 k^2 の割合で流れるはずです。したがって、時間 t ≈ 1/k までに、a_k のエネルギーのほとんどはモード a_{k+1} に流れ込むはずです（ほとんどエネルギーは散逸しません）。級数が可算であるため、これはこの ODE の有限時間爆発を示唆しており、エネルギーはますます速く高次のモードへとレースします。 このようなシナリオは、実際には Katz と Pavlovic によって（そして Cheskidov によって洗練されて）確立されました。ただし、散逸強度がある程度弱められている場合（指数が 2 未満である必要がある）です。前述のように、これは5次元以上の場合は定理 1 のバージョンを与えるのに十分です。一方、数年前に Barbato, Morandin, Romito によって、(3) が実際には（少なくとも R^3 では）グローバルな滑らかな解を許容することが示されました。