3次元平均ナビエ・ストークス方程式における有限時間爆発

3次元平均ナビエ・ストークス方程式における有限時間爆発

私は本日、J. Amer. Math. Soc. に投稿された論文「Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation」をarXivにアップロードしました。この論文の主な目的は、ナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性問題に対する「超臨界性障壁」を形式化することです。これは、おおよそ、エネルギー恒等式と連動した、方程式の非線形部分に対する関数空間上の上限推定のみを用いる「抽象的な」アプローチでは、グローバル正則性を確立できないことを主張するものです。これは、真のナビエ・ストークス非線形性が持つほぼ全ての関数空間推定を満たし、かつエネルギー恒等式も満たすが、有限時間で爆発する解を構築できるような、ナビエ・ストークス方程式の修正を構築することによって達成されます。この種の Сは、エネルギー恒等式を持たないナビエ・ストークス方程式の変種については、Montgomery-Smith、Gallagher-Paicu、および Li-Sinai によって、またエネルギー恒等式を満たす5次元以上のナビエ・ストークス方程式の dyadic アナログについては Katz-Pavlovic および Cheskidov によって、以前に確立されていました（Plechac および Sverak、そして Hou and Lei の仕事も、5次元以上でエネルギー恒等式を満たす他のナビエ・ストークス型モデルの爆発を示唆しています）。しかし、私の知る限り、これはエネルギー恒等式も満たす3次元のナビエ・ストークス型方程式における最初の爆発結果です。興味深いことに、証明方法は実際、真のナビエ・ストークス方程式の爆発への可能な経路を示唆しており、私は（非常に小さな初期データセットに対してではありますが）その可能性が高いとますます確信するようになっています。

結果をより正確に述べるために、ナビエ・ストークス方程式が以下のような形で書けることを思い出してください。

［画像:
(\displaystyle \partial_t u + (u \cdot \nabla) u = \nu \Delta u + \nabla p)
］

ここで、［画像:
(u)
］ は発散フリーの速度場、［画像:
(p)
］ は圧力場であり、［画像:
(\nu > 0)
］ は粘性率です。ここでは粘性を1に正規化します。非周期的設定で作業し、空間領域は ［画像:
({\bf R}^3)
］ とします。説明の便宜上、解の正則性や減衰に関する問題は議論しません（ただし、常に弱解ではなく強解の概念で作業します）。発散フリーベクトル場への Leray プロジェクター ［画像:
(P)
］ をこの方程式に適用することで、圧力を消去し、速度場のみの発展方程式を得ることができます。

［画像:
(\displaystyle \partial_t u = \Delta u + B(u,u) \ \ \ \ \ (1))
］

ここで、［画像:
(B)
］ は発散フリーベクトル場上の特定の双線形演算子です（具体的には、［画像:
(B(u,v) = -\frac{1}{2} P( (u \cdot \nabla) v + (v \cdot \nabla) u))
］）。ナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性問題は、発展方程式 (1) のグローバル正則性問題と同値です。

(1) に現れる双線形演算子 ［画像:
(B)
］ の重要な特徴は、以下のキャンセル則です。

［画像:
(\displaystyle \langle B(u,u), u \rangle = 0)
］

（発散フリーベクトル場上の ［画像:
(L^2)
］ 内積を使用）。これは特に、基本的なエネルギー恒等式につながります。

［画像:
(\displaystyle \frac{1}{2} \int_{{\bf R}^3} |u(T,x)|^2\ dx + \int_0^T \int_{{f R}^3} |\nabla u(t,x)|^2\ dx dt = \frac{1}{2} \int_{{f R}^3} |u(0,x)|^2\ dx.]

この恒等式（およびその帰結）は、大きなデータと任意の時間からのナビエ・ストークス方程式の解に対する、知られている実質的に唯一の a priori 境界を提供します。残念ながら、この以前の投稿 で議論したように、エネルギー恒等式によって制御される量はスケーリングに対して超臨界的です。これは、ナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性問題を、データの追加仮定や解（例えば、摂動仮説、または ［画像:
(L^\infty_t L^3_x)
］ ノルムのような臨界ノルム上の a priori 制御）なしに解決しようとする全ての試みを打ち砕いてきた根本的な障害です。

私たちの主な結果は（やや非形式的に述べると）次のようになります。

定理 1 双線形演算子 ［画像:
(B)
］ の「平均化された」バージョン ［画像:
(\tilde B)
］ が存在し、その形は

［画像:
(\displaystyle \tilde B(u,v) := \int_\Omega m_{3,\omega}(D) Rot_{3,\omega}]

［画像:
(\displaystyle B( m_{1,\omega}(D) Rot_{1,\omega} u, m_{2,\omega}(D) Rot_{2,\omega} v )\ d\mu(\omega))

となる。ここで、［画像:
((\Omega, \mu))
］ はある確率空間、［画像:
(Rot_{i,\omega})
］ は ［画像:
(i=1,2,3)
］ のための空間回転演算子、そして ［画像:
(m_{i,\omega})
］ は次数 ［画像:
(0)
］ のフーリエ乗数である。この ［画像:
(\tilde B)
］ に対して、キャンセル則

［画像:
(\displaystyle \langle \tilde B(u,u), u \rangle = 0)

が依然として成り立ち、かつ平均化されたナビエ・ストークス方程式

［画像:
(\displaystyle \partial_t u = \Delta u + \tilde B(u,u) \ \ \ \ \ (2))

は有限時間で爆発する解を許容する。

（上記の定理において、結論が自明でないためには、フーリエ乗数 ［画像:
(m_{i,\omega})
］ に対するいくつかの積分可能性条件が必要ですが、説明の便宜上ここでは省略します。）

空間回転と次数 ［画像:
(0)
］ のフーリエ乗数はほとんどの関数空間で有界であるため、［画像:
(\tilde B)
］ は自動的に ［画像:
(B)
］ が持つほとんど全ての上限推定を満たします。したがって、この定理は、エネルギー恒等式と非線形性の上限推定のみに依存する真のナビエ・ストークス方程式のグローバル正則性を証明しようとするあらゆる試みを阻止します。非線形演算子 ［画像:
(B)
］ の、平均化されたバージョン ［画像:
(\tilde B)
］ とは共有されない追加の構造を使用する必要があります。そのような追加構造は確かに存在します。例えば、ナビエ・ストークス方程式は擬微分演算子ではなく微分演算子のみを含む渦度形式を持ちますが、一般的な形式 (2) の方程式はそうではありません。しかし、「抽象的な」グローバル正則性へのアプローチは、一般的にそのような構造を利用しないため、ナビエ・ストークス問題に肯定的に答えるためには使用できません。

私たちが使用する特定の平均化された双線形演算子 ［画像:
(B)
］ は、「局所カスケード演算子」の有限線形結合であることが判明します。これは、以下の形式をとります。

［画像:
(\displaystyle C(u,v) := \sum_{n \in \bf Z} (1+\epsilon_0)^{5n/2} \langle u, \psi_{1,n} \rangle \langle v, \psi_{2,n} \rangle \psi_{3,n})
］

ここで、［画像:
(\epsilon_0 > 0)
］ は小さなパラメータ、［画像:
(\psi_1,\psi_2,\psi_3)
］ はフーリエ変換が環上に台を持つシュワルツベクトル場であり、［画像:
(\psi_{i,n}(x) := (1+\epsilon_0)^{3n/2} \psi_i( (1+\epsilon_0)^n x))
］ は ［画像:
(\psi_i)
］ の ［画像:
(L^2)
］ -リスケール版です（基本的に、原点を中心とする波長約 ［画像:
((1+\epsilon_0)^{-n})
］ の「ウェーブレット」）。このような演算子は、本質的に Katz and Pavlovic によって ［画像:
(B)
］ の dyadic モデルとして導入されました。それらは ［画像:
(B)
］ と実質的に同じスケーリング特性を持ちます（ただし、全ての正の実数にわたってではなく、［画像:
(1+\epsilon_0)
］ のべき乗に沿ってのみスケールできるという点を除きます）。そして実際、それらは上記の定理の意味での ［画像:
(B)
］ の平均として表現できます。これは、いくぶん面倒なフーリエ解析的なシンボル操作の後で示すことができます。

［画像:
(\tilde B)
］ が局所カスケード演算子の有限線形結合であるような非線形性を考えると、方程式 (2) は、［画像:
(u)
］ の特定の「ウェーブレット係数」における常微分方程式系にほぼ崩壊します。現れる正確な常微分方程式は、使用されている局所カスケード演算子の正確な組み合わせに依存します。Katz と Pavlovic は本質的に、単一のカスケード演算子とその「随伴」を考慮しました（エネルギー恒等式を保存するために必要）。そして、ほぼ、以下の常微分方程式系に到達しました。

［画像:
(\displaystyle \partial_t X_n = - (1+\epsilon_0)^{2n} X_n + (1+\epsilon_0)^{\frac{5}{2}(n-1)} X_{n-1}^2 - (1+\epsilon_0)^{\frac{5}{2} n} X_n X_{n+1} \ \ \ \ \ (3))
］

ここで、［画像:
(X_n: [0,T] \rightarrow {\bf R})
］ は各整数 ［画像:
(n)
］ に対してスカラー場です。（実際には、Katz-Pavlovic はこの特定の方程式の技術的な変種を扱っていましたが、現在の議論にとってその違いはそれほど重要ではありません。）右辺の二次項は、散逸項よりも高い ［画像:
(1+\epsilon_0)
］ の指数を持ちます。これは、この流れの超臨界的な性質を反映しています（エネルギー ［画像:
(\frac{1}{2} \sum_n X_n^2)
］ はこの流れで単調に減少するため、エネルギーの制御を与えられた ［画像:
(X_n)
］ の自然な大きさは ［画像:
(O(1))
］ です）。もし ［画像:
(X_n)
］ モードが時間 ［画像:
(t_n)
］ において大きさ ［画像:
(1)
］ に匹敵する場合、エネルギーは ［画像:
(X_n)
］ から ［画像:
(X_{n+1})
］ へ ［画像:
((1+\epsilon_0)^{\frac{5}{2} n})
］ に匹敵する率で流れるはずです。したがって、時間 ［画像:
(t_{n+1} \approx t_n + (1+\epsilon_0)^{-\frac{5}{2} n})
］ 程度までに、［画像:
(X_n)
］ のエネルギーのほとんどは ［画像:
(X_{n+1})
］ モードに流れ込むはずです（ほとんどエネルギーは散逸しません）。級数 ［画像:
(\sum_{n \geq 1} (1+\epsilon_0)^{-\frac{5}{2} n})
］ は可積分であるため、これはこの常微分方程式の有限時間爆発を示唆しています。エネルギーはますます速くより高いモードへと駆け上がります。このようなシナリオは、散逸強度 ［画像:
((1+\epsilon)^{2n})
］ がいくぶん弱められた場合、Katz and Pavlovic（および Cheskidov によって洗練された）によって実際に確立されました（指数 ［画像:
(2)
］ は ［画像:
(\frac{5}{3})
］ より小さくする必要がある）。前述のように、これは5次元以上の次元で定理 1 のバージョンを与えるのに十分です。

一方、数年前に Barbato, Morandin, and Romito によって、(3) は実際、グローバルな滑らかな解を許容することが示されました（少なくとも dyadic ケース ［画像:
(\epsilon_0=1)
］ で、非負の初期データを仮定した場合）。大まかに言うと、問題は、エネルギーが ［画像:
(X_n)
］ から ［画像:
(X_{n+1})
］ へ転送されると同時に、エネルギーが ［画像:
(X_{n+1})
］ から ［画像:
(X_{n+2})
］ へも転送されることです。そのため、解は低次モードのエネルギーをすべて吸収することなく、あまりにも早く高次モードへと駆け上がります。これにより、爆発の強度が弱まり、(3) の適度に強い散逸が、真の特異点が発生する前に高周波カスケードを殺すのに十分になります。このため、元の Katz-Pavlovic モデルは、3次元で定理 1 を確立するには不十分でした。（実際、元の Katz-Pavlovic モデルには、グローバルな滑らかな解の別の証明を可能にする追加の分散特性がありましたが、これは Nazarov による未発表の結果です。）

これを回避するために、私は (3) と同様の特性を持つ（すなわち、二次非線形性、単調な全エネルギー、および散逸項と二次項の両方に対する指定された ［画像:
((1+\epsilon_0))
］ の指数を持つ）常微分方程式系を「設計」する必要がありました。しかし、スケール ［画像:
(n)
］ からスケール ［画像:
(n+1)
］ へのエネルギーのカスケードが、スケール ［画像:
(n+1)
］ からスケール ［画像:
(n+2)
］ へのカスケードによって中断されないようにする必要がありました。これを達成するために、カスケードプロセスに 遅延 を挿入する必要がありました（スケール ［画像:
(n)
］ にエネルギーが投入された後、スケール ［画像:
(n+1)
］ へのエネルギー転送が開始されるまで時間がかかるように）。しかし、プロセスは 急激 でなければなりませんでした（エネルギー転送プロセスが開始されると、次のスケールの遅延転送が開始される前に、非常に迅速に完了する必要がありました）。基本的な「二次ゲート」から構築された「二次回路」がこのタスクを達成できることが判明しました（これは、電気回路がアンプや抵抗器のような基本的なゲートから構築できるのと似ています）。これにより、実質的に以下の形式の常微分方程式系が得られました。

［画像:
(\displaystyle \partial_t X_{1,n} = - (1+\epsilon_0)^{2n} X_{1,n})

［画像:
(\displaystyle + (1+\epsilon_0)^{5n/2} (- \epsilon^{-2} X_{3,n} X_{4,n} - \epsilon X_{1,n} X_{2,n} - \epsilon^2 \exp(-K^{10}) X_{1,n} X_{3,n}]

［画像:
(\displaystyle + K X_{4,n-1}^2)]

［画像:
(\displaystyle \partial_t X_{2,n} = - (1+\epsilon_0)^{2n} X_{2,n} + (1+\epsilon_0)^{5n/2} (\epsilon X_{1,n}^2 - \epsilon^{-1} K^{10} X_{3,n}^2)]

［画像:
(\displaystyle \partial_t X_{3,n} = - (1+\epsilon_0)^{2n} X_{3,n} + (1+\epsilon_0)^{5n/2} (\epsilon^2 \exp(-K^{10}) X_{1,n}^2]

［画像:
(\displaystyle + \epsilon^{-1} K^{10} X_{2,n} X_{3,n} )]

［画像:
(\displaystyle \partial_t X_{4,n} =- (1+\epsilon_0)^{2n} X_{4,n} + (1+\epsilon_0)^{5n/2} (\epsilon^{-2} X_{3,n} X_{1,n}]

［画像:
(\displaystyle - (1+\epsilon_0)^{5/2} K X_{4,n} X_{1,n+1})]

ここで、［画像:
(K \geq 1)
］ は適切な大きなパラメータ、［画像:
(\epsilon > 0)
］ は適切な小さなパラメータ（［画像:
(1/K)
］ よりずっと小さい）です。このようなシステムのダイナミクスを視覚化するために、電気工学における回路図に類似した（しかし同一ではない）「回路図」でこのシステムをグラフィカルに説明することが役立つとわかりました。

［画像: circuit-1］

ここでの結合定数は、非常に大きいものから非常に小さいものまで幅広く変動します。実際には、これにより ［画像:
(X_{2,n})
］ および ［画像:
(X_{3,n})
］ モードはエネルギーをほとんど吸収しませんが、残りのモードにはかなりの影響を与えます。もし ［画像:
(X_{1,n})
］ に大量のエネルギーが突然投入された場合、次に起こることは大まかには次のようになります。適度な期間、 ［画像:
(X_{2,n})
］ へのエネルギーの流入以外にはほとんど何も起こりませんが、それが ［画像:
(X_{3,n})
］ の急速な指数関数的成長を引き起こします（非常に低い基盤から）。この遅延の後、［画像:
(X_{3,n})
］ はあるしきい値を突然超え、その時点で ［画像:
(X_{1,n})
］ と ［画像:
(X_{4,n})
］ が極めて速くエネルギーを交換するようになります。次に、［画像:
(X_{4,n})
］ からのエネルギーが ［画像:
(X_{1,n+1})
］ へ急速に流れ込み、プロセスが再び始まります（散逸によるわずかなエネルギー損失があります）。時間に対する全エネルギー ［画像:
(E_n := \frac{1}{2} ( X_{1,n}^2 + X_{2,n}^2 + X_{3,n}^2 + X_{4,n}^2 ))
］ をプロットすると、模式的に以下のようになります。

［画像: energy-blowup］

前述のヒューリスティックな議論と同様に、ある周波数スケールから次のスケールへのカスケード間の時間は指数関数的に減衰し、ある有限時間 ［画像:
(T)
］ での爆発につながります。（ここでのダイナミクスは、ロード・オブ・ザ・リングスの有名な「灯台の点灯」シーンに似ていると説明できます。ただし、（a）各灯台が点灯するにつれて、前の灯台は消灯し、エネルギー恒等式に従います。（b）灯台の点灯間の時間は指数関数的に減少します。（c）サウンドトラックはありません。）

この種の構成が真のナビエ・ストークス方程式に適合する可能性は、現実的ですが（ただしリモートです）存在します。平均化された方程式における基本的な爆発メカニズムは、フォン・ノイマン・マシン のそれ、あるいはより正確には、ある遅延時間の後、自身をより細かいスケールで複製し（そして元のインスタンス化をその過程で大部分消去する）ことを突然管理する構築物（非粘性進化 ［画像:
(\partial_t u = \tilde B(u,u))
］ の法則内で構築された）です。原理的には、そのようなフォン・ノイマン・マシンは、ナビエ・ストークス方程式（すなわち、オイラー方程式）の非粘性形式の法則からも構築できる可能性があります。物理的には、理想流体（すなわち、非粘性非圧縮性流体）のみからマシンを構築する必要があるでしょう。もし理想流体から十分に多くの「論理ゲート」を作成できれば、おそらく一種の「流体コンピュータ」を構築でき、その時点で、フォン・ノイマン・マシンを構築するタスクは、PDE 問題というよりはソフトウェアエンジニアリングの演習に還元されるように思われます（ゲートが摂動に対して適切に安定していると仮定して。しかし、（実際のコンピュータと同様に）これは流体力学のアナログ信号をよりエラー耐性のあるデジタル形式に変換することによって達成できるはずです）。ナビエ・ストークス方程式の爆発を確立するための、このプログラム（両方の意味で）で欠けている鍵は、理想流体の法則内で論理ゲートを構築することです。（Conway の「ライフゲーム」のようなセルオートマトンと比較してください。そこでは、チューリング完全なコンピュータ、普遍的コンストラクタ、およびレプリケータがすべてそのゲームの法則内で構築されています。）