数学は保護区（コンサバトリー）に入ろうとしているのか？

数学は音楽院に入ろうとしているのか？

クロードがLeanでフェルマーの最終定理の証明を形式化したのと同じ週に、私の受信トレイに「The Spherical Hadwiger Theorem」というタイトルの論文が届きました。球面ハドウィガー予想（Spherical Hadwiger Conjecture）1は、1974年頃から未解決だった、積分幾何学のニッチながらも重要な機械装置を記述するものです。ここでは予想の詳細には触れません。興味のある方は、以前の投稿で、その定理（当時はまだ予想でした2）が私の大学院時代の小さな補題の証明を大幅に単純化した議論をご覧ください。

本題に入りましょう。湖南大学のWang & Wuによるこの新しいプレプリントは、AIの支援を受けてこの予想を証明したようです。最終セクションには次のような免責事項が含まれています。

本稿の準備中、OpenAI Codexは、証明の詳細の開発、ギャップや明確化が必要な点の特定、原稿の整理と組版、および英語の編集を支援するために使用されました。著者は、AI支援によるすべての数学的内容をレビューおよび検証し、提案された変更を行い、最終的な数学的および編集上のすべての決定を下し、本稿に対する全責任を負います。

この免責事項は、Codexが、ごく最近まで研究レベルの数学者を必要としていた作業の相当部分を担当した可能性を残しています。証明の詳細3の開発、ギャップの発見と修正、そして明らかに論文の執筆です。さらに、この作業は非常に洗練されており（この分野の研究数学者であれば）読みやすいものです。

明確にしておきますが、私は証明を完全に検証したわけではありません。Claude Fableと一緒に確認しましたが、それは「スニフテスト」に合格しました。しかし、完全に理解するには、現時点では私には少しエネルギーが足りません。これらはすべてWang & Wuを貶めるものではありません。素晴らしい論文のようで、消化する価値があります。彼らはLeiden Declarationに定められたAI使用の原則にもすべて従っています。

身近なマイルストーン

私にとって、球面ハドウィガー定理の証明は身につまされるものです。大学院時代に証明しようと試み、今年の初めにはAIの支援を受けて半ば本気で再度試みました。これは世間の注目を集めるような定理ではありません。しかし、それすら救われませんでした。

驚くべきことではありませんでした。GPT-4がローンチされたとき、OpenAIはLLMが労働に与える潜在的な影響に関するレポートを発表しました。彼らがモデル化したすべてのカテゴリの中で、数学者の仕事へのAIによる影響の暴露度が最も高かったのです。ホワイトペーパーは、3つの異なる労働モデル全体で、数学者の仕事の100%がLLMの影響を受けると推定しました。ライター、翻訳者、アーティスト、グラフィックデザイナーよりも高いのです。唯一の違いは、数学者が痛みを最初に感じ始めるのに少し時間がかかったということです。

研究レベルの数学が、最も困難な人間の営みの一つであるという主張は、いくぶん傲慢ですが、魅力的です。この遅れは、他の創造的な分野に比べて、研究数学の経済的価値が低く、トレーニングデータが少ないことにも起因すると私は推測しています。

クラシック音楽を考えてみてください。私たちの社会は、ポピュラーミュージシャンをサポートするのと同じようにはクラシックミュージシャンをサポートしていません。クラシック音楽は制度化され、遺物として音楽院に送られました。社会の小さな層が、それを演奏する能力を保存する価値があると判断し、その目的のためにわずかな資本を費やしています。若い人々を訓練し、大都市で最高の演奏者数人にプロとして演奏させるのです。

このモデルは数学者にも適用できるでしょうか？それは想像しやすいです。ユークリッドの時代、数学は主に、関心のある少数の人々にとって価値のある知的追求でした。新しい結果を生み出すのが難しくなくなったとしても、その重要性を理解し伝えるのが難しい場合でも、数学的な音楽院は数学を繁栄させるのに役立つかもしれません。

しかし、純粋数学はすでに音楽院、よりよく言えばアカデミーにあります。大学の外では、純粋数学者の仕事は依然としてわずかです。結果はごく一部の人にしか理解されません。困難な結果がすべてすぐにコンピューターによって証明されるようになったとしても、それは問題なのでしょうか？

結論

現在「研究数学」と呼んでいる文化的な営みを続ける人々を支援することは価値があります。数学、特に純粋数学は、常に現実をより深く理解するのに役立つ物語を伝えることでした。単純化し抽象化することで、隠された構造が見えてきます。平行線は決して交わらない、球体はどの方向から見ても同じに見える、素数は決して終わらない。しかし、数学者を支援する現在のシステムは、他の多くの人間の創造的な分野と同様に、AIの新​​しい現実に適応するために劇的に変化する必要があります。

しかし、他の多くの創造的な分野と同様に、この仕事（研究数学）を支えるインセンティブ構造は、AIがもたらすものには不向きです。これらのツールは、複雑な議論がそもそも正しいかどうか、ましてや誰が資金、終身雇用、名声を得るべきかを判断することをより困難にします。私たちの前に立ちはだかる選択肢は、人間の知的労働がコンピューターにまったくかなわないとき、私たちはどのようにして人間を重要であり続けることができるかということです。知性がシリコンと電力によってのみ制限されるとき、私たちは数学者を持つ文化を支援し続けることをいとわないでしょうか？私はそうなることを願っています。

新しい投稿をメールで受け取ります。スパムはなく、投稿のみです。

---

1. Glasauerの論文のProblem 3を参照してください。↩︎
2. 実際、最初のブログ記事を書いた後、Rolf Schneider教授に、予想が当時まだ未解決であったことを思い出させられました。↩︎
3. どの証明の詳細でしょうか？チャットの全トランスクリプトを見てみたいものです。証明はKlainとRotaによるユークリッド定理のアプローチの概略に従っていますが、その詳細はいくつかの主要な障害を克服する必要があります。GPT 5.6がそれらのうちいくつを発見し、解決したのか興味があります。↩︎