RSA 260の素因数分解

RSA-260の素因数分解

By Eric Lu 2026.09.09

過去数週間、Cognitionの研究チームと私は、分散コンピューティングをより効果的に活用するためにジョブスケジューラを最適化してきました。概念実証として、そして過去10年ほど素因数分解を趣味として楽しんできたこともあり、私はDevinを多数動員してRSA-260の素因数分解を達成しました。これを実現するために、私のDevinは世界最高性能のGPUラティスシーバーを構築し、従来の公開されている最先端技術と比較して10倍低コストで素因数分解を可能にしました。以下がその素因数分解結果です。

22112825529529666435281085255026230927612089502470015394413748319128822941402001986512729726569746599085900330031400051170742204560859276357953757185954298838958709229238491006703034124620545784566413664540684214361293017694020846391065875914794251435144458199
= 4397328654844826923795068102505872571721883526553349659561256924505973939597593482272505698004801207988043088656411102133523080581
× 5028695206842569864686141618253083416610081090075366674776775706538324961364412200138116378509733307971876652984898985905923678379

RSA-260（260桁の数）は、RSA暗号システムの解読の実現可能性をベンチマークする、RSA素因数分解チャレンジで公開された最大の課題を解決した新記録です。以前の記録であるRSA-250は、2020年2月に樹立されました。参考までに、最先端のRSA公開鍵は2048ビット（約617桁）の素因数分解問題を抱えていますが、1024ビット（約309桁）のRSAは2013年に非推奨となりました。

以下に、これがどのように達成されたかの詳細を述べますが、まず2つの重要なポイントがあります。

• ハイパースケーラーまたは最先端のAIラボは、RSA-1024の素因数分解を1件あたり約3000万ドルのコストで実行できる可能性が高いです。さらに最適化を進めれば、さらに大幅にコストを削減できるでしょう。一方、RSA-2048はRSA-1024よりも約10億倍困難であり、この作業による影響はほとんどないようです。

• Devinは、計算数論とGPUパフォーマンスエンジニアリングの交差点にある困難な問題を解決するのに十分な能力を持つソフトウェアエンジニアです。私の役割は主に、優先順位の設定、ベンチマークの確立、および作業が脱線していることを認識することでした。それ以外は、Devinが測定、クラスタ運用、およびエンドツーエンドの最適化を自律的に処理しました。これは、高度に専門化されたドメインエキスパートのチームによる数ヶ月にわたる作業に相当するものを代替しました。

結論として、暗号解読作業、より広範な計算数学、そしておそらくほとんどの大規模科学計算研究の参入障壁は、以前よりもはるかに低くなっています。プログラミングが研究問題を解決するために使用できる分野では、エキサイティングな仕事が待っています。野心的になり、これらの分野に応用された自律ソフトウェアエンジニアリングエージェントが何ができるかを探求することを奨励します！

どのようにしてこれが実現したか

一部で流れている 主張に反して、私は130桁の素数を手当たり次第に推測してRSA-260を素因数分解したわけではありません。また、Cognitionが数千量子ビットの量子コンピュータを構築したわけでもありません。RSA-260は、Devinによって準備・実行された、GPU用の汎用数体ふるい（GNFS）の新しい実装によって素因数分解されました。GNFSは、約100桁以上のほとんどの数に対して既知で最も効率的なアルゴリズムであり、以前の記録的なRSA数素因数分解でも使用されました。

この実装は、大幅に改変されたCADO-NFSです。アルゴリズム的な進歩はほとんど報告していません。GPU上でのラティスシービングと疎線形システムソルバーの実装には、GPUの途方もないメモリシステムを活用するための「昔ながらのパフォーマンスエンジニアリング」が必要だっただけです。

コスト見積もり

合計で、この素因数分解には約4,900 GPU日、つまり13.5 GPU年に相当するコストがかかったと推定しており、現在の市場価格で約40万ドルです。詳細には、最新のGNFS実装は、多項式選択、ラティスシービング、線形システムソルバーのいくつかの段階を順次実行します。時間の内訳は以下の通りです。

• 多項式選択で643 GPU日（これはオペレーターの不手際により異常に高い値です）

• シービングで3,813 GPU日

• 線形システムソルバーで467 GPU日（このうち約7%はクラッシュやより重要な作業によるプリエンプションのため進捗しませんでした）

私はこれをサイドプロジェクトとして、クラスタの数パーセントのみを使用して、ジョブスケジューラの最適化の一環として、分散コンピューティングの割り当てを改善するために行いました。これがより大きなRSAインスタンスに何を意味するでしょうか？

RSA-1024は309桁に相当します。標準的なGNFSのスケーリングによれば、これはRSA-260の78倍の計算量にすぎません。市場価格でのRSA-1024の素因数分解コストは、GPU価格で約3000万ドルと推定されます。これは、壁時計時間とトレードオフできます。現在の実装が大幅に最適化されていないことは事実として知っています。適度な追加作業でRSA-1024の素因数分解コストをさらに2倍削減できるとしても、驚きではありません。

もちろん、RSA-1024が安全でないという事実は新しいことではありません。 NSAが2000年代半ばにはRSA-1024を経済的に解読する能力を持っていたという憶測がありました（例：TWIRLやBernsteinの行列マシンを参照）。代わりに、以下で説明するように、主な進歩は（1）素因数分解のコスト（ドルと時間）が低下する可能性、（2）素因数分解を実行できる当事者が増える可能性（特殊なハードウェアを作るのではなく、十分なGPUがあればよい）、そして（3）非暗号学者が素因数分解の高速化に取り組むことが容易になったことです。

最後に、効率の向上はGNFSによるRSA-2048サイズの数の素因数分解の実現可能性にほとんど影響しないことを強調します。

空きコンピューティングリソースでの素因数分解

この素因数分解は、他の目的で使用できない余剰または断片化されたコンピューティングリソースで、追加コストなしで実行されました。なぜこのようなコンピューティングリソースが存在するのでしょうか？

LLMのトレーニングと推論に使用するクラスタには、NVL72ラックが含まれており、各ラックは名目上18台のコンピュータが高速NVLinkで相互接続されています。LLMワークロードは、この高速インターコネクトを活用するために、単一ラック内のコンピュータグループを使用します。ジョブスケジューラは、ラックにワークロードを詰め込むための制約付き最適化問題を解決する必要があります。このグローバルな割り当てにおいて、一部のラックにはアイドル状態のノードが1つか2つ残ることがあります。あるいは、ジョブがフェイルオーバーに対応するために余剰ノードを要求したり、ラックに17台しかないコンピュータの偶数台数を必要とする場合があります。私たちにとって、これらの非効率性は全体的なコンピューティングリソースの数パーセントに相当します。

この余剰コンピューティングリソースを活用するために、最初のステップとして、ジョブスケジューラを調整して、他のワークロードの最下位優先度で単一ノードジョブを埋めるようにしました。しかし、容易にプリエンプト可能な単一ノードワークロードの一貫したソースも不足していました。当然、この時点でラティスシービングが思い浮かびました。これはこの状況に最適です。

ラティスシービングは、数十億の小さな作業単位にわたって非常に並列化可能であり、一度に単一ノードで進捗でき、即座にプリエンプトしても安全です。また、GNFSの計算負荷が最も高い部分であるため、シービングを完了することは素因数分解に向けた大きな進歩となります。しかし、これまでのすべての公開GNFS素因数分解記録は、ラティスシービングにCPUのみを使用していました。実際、GPU上でのラティスシービングの効果的な実装の課題のため、GPUラティスシービングが全体としてよりコスト効率が高くなるかどうかは、長らく不明でした。

要するに、私が欠けていたのは、RSA-260を素因数分解するために必要なパラメータを受け入れることができる、十分に高性能なGPUラティスシーバーだけでした。では、どうしたでしょうか？ Devinに尋ねました。

DevinによるGNFSの最適化

太平洋時間の8月13日午前0時11分58秒、私はDevinにCADO-NFSのCPUラティスシーバーであるlasのドロップイン交換部品を作成するように指示しました。使用したプロンプトは次のとおりです。

CADO-NFSはGNFSを実行するためのFOSSソフトウェアです。高速なGPUラティスシーバーを開発してもらいたい。これは、CPUラティスシービングの最適化が多くの条件分岐と複雑なメモリアクセスパターンを採用しており、GPUカーネルライティングの専門家と数体論の専門家の交差が非常に少ないため、現在の技術では歴史的に困難でした。しかし、GPUで利用可能なより高い総メモリ帯域幅は、より高いパフォーマンスの天井を約束します。そして、その交差点には今、あなたがいる。Modalアクセスキーが利用可能であり、パフォーマンステストのために単一GPUボックスを起動することを許可します。CUDAツールチェーンなどを取得し、ローカルでビルドしてください。GPUはパフォーマンステストにのみ使用し、測定の間はシャットダウンしてください。結果として得られるGPUラティスシーバーは、CADO-NFSのシーバーフェーズのドロップイン交換部品であるべきです。CPUラティスシーバーのパフォーマンスを超えるまで反復してください。

2時間後、glas（もちろんGPU las）がRSA-250に使用されたパラメータを処理できる必要があることを追加しました。その後、私は寝ました。目を覚ますと、さらに7時間の反復を経て、Devinは成功していました。

その後1週間、私はDevinをラティスシービング、そしてGNFSパイプラインの残りの部分の最適化に指示しました。まず、GNFSの最適化の概要を説明し、次に最適化ワークフローを説明します。

GNFSの最適化（概要）

概要として、GNFSは多項式選択、ラティスシービング、線形システムソルバーのいくつかの段階を順次実行します。

多項式選択は、アルゴリズムが実行される数体を固定します。多項式の選択は、ラティスシービング段階での定数倍の高速化を制御します。したがって、通常は全体的なシービング計算の固定割合（約5％）を費やして「良い」多項式を見つける価値があります。技術的な革新はほとんどありませんでした。CADOのステージ1多項式選択をGPUに適合させ（gps1を生成）、msieveの最適化されたステージ1多項式選択のカーネル機器も使用しました。多項式選択は、ほぼ完全に並列化可能です。

GNFSの計算努力の大部分はラティスシービングにあります。ラティスシービングの目標は、GF(2)上の多数の疎線形関係（この場合、ベクトルエントリは平滑な数の素因数分解における素数指数のパリティを表します）を生成することです。ラティスシービングも、special qと呼ばれる作業項目に対してほぼ完全に並列化可能ですが、各作業項目は（私たちの目的には）擬似乱数の場所にある大きな配列に対して多数の読み書きを実行する必要があります。これを処理することが、シービング最適化における主要な技術的課題でした。

最終的に、これらの関係をGF(2)上の大きな行列にパックし、線形システムソルバーを使用して線形依存関係を見つけます。この規模では、線形システムソルバーは通常分散されており、多くの通信帯域幅を必要とします。これはInfiniBandとNVLinkで豊富に利用できます。ブロック Wiedemannアルゴリズムは通信制約をある程度緩和することを可能にし、CADO-NFSの特定のΡ実装も最適化とGPU上での実行の影響を受けやすく、私たちはこれに着手しました。解は平方の合同 modulo N に処理でき、これが素因数分解をもたらします。

全体として、Devinはほとんどすべての部分を大幅に変更し、いくつかのインターフェースも変更しました。

• msieveのコンポーネントを備えた、CADO-NFSのステージ1 polyselectのGPU適応バージョン

• lasに基づいたGPU最適化ラティスシーバー

• 作業単位ボリュームを処理するための最適化されたCADOヘッド

• 並列化および最適化されたdup/purgeおよび融合されたmerge/replayプログラム

• 新しいGPU最適化ブロックWiedemann実装

• GPUアクセラレーションされたsqrt

• 関連する実行スクリプト

CADO-NFSパイプラインで変更されなかったプログラムは、cado-nfs.py自体、polyselect_ropt（ステージ2多項式選択）、makefb、およびdup1でした。必要なサイズの合成入力で合理的なパフォーマンスを得るために、fake_relsさえ最適化する必要がありました。

注：私はこれらのコンポーネントを、車の愛好家が車のコンポーネントを理解するのと同様の方法でしか理解していません。つまり、全体システムにおけるおおよその役割、パフォーマンスへの影響、変更を加える際のトレードオフ、および良好な操作と使用方法がどのようなものかということです。しかし、根本的な物理学や、コンポーネントを原材料から製造する方法は理解していません。つまり、根本的な数学の多くを理解していないということです。多項式選択がラティスシービングの収率に定数倍の影響を与えることは言えますが、多項式がシーバーでどのように使用されるかは言えません。この分野では、私は専門家からほど遠いです！

最適化ワークフロー

私は複数の並列Devinを指示しました。プロジェクトの3週間の期間中、平均3セッション、最大18セッションの同時Devinセッションを実行しました。これらは大まかに2種類に分けられます。

• 個々のコンポーネントの反復的な最適化 — 実験の設計と実行、結果の解釈、ターゲット改善の選択、実装、および繰り返し

• クラスタでのエンドツーエンドの素因数分解実行の管理 — パイプライン全体とサポートスクリプトを実行し、さらなる最適化のために最も重要な非効率性（エラー、利用率、パフォーマンス）を明らかにします

特に、Devinは以下の substantial な部分を処理しました。

• シービングと線形システムソルバーのパラメータの選択とチューニング（ただし、私がブートストラップを支援する必要があったベンチマーク機器を使用）

• 多項式選択の生成/最適化（これも、難易度は様々でした）

• 反復最適化ループの実行

• デバッグ（当然ながら）

• 処理スクリプトの設定と最適化

• クラスタでの大規模計算のオーケストレーション

私は数時間ごとにこの最適化ループとやり取りし、他のDevinセッションと私の通常の作業のための会話を交互に行いました。

Devin Cloudは、このワークフローに特に便利でした。セッションは永続的で私のコンピュータから独立しており、並列化は簡単で、サンドボックス化により独立したワークストリーム間の干渉を防ぎ、セッションは数週間自律的に実行できます。DevinがGPUプログラミング、実験、およびML関連ワークロードのクラスタ管理において効果的であることはすでに知っていましたが、ラティスシービングとGNFSはかなり異なり、Devinがここで一般化できる能力は非常に印象的でした。

スケーリングラダーを駆け上がる

このワークフローにより、私（そしてDevin自身でさえ）がほとんど追いつけないほどの驚異的な進歩が可能になりました。最初の5日間でスケーリングラダーを駆け上がりました。その終わりまでに、190桁の数の素因数分解は、開始時の157桁の数と同じくらいの時間で完了しました。これは3時間強でした。

C311（GNFSにおける216桁の数にほぼ相当する困難さ）を素因数分解した後、残りの数オーダーを横断するために、230桁相当の困難さの数を素因数分解することから進めるのが安全でした。しかし、RSA-260は1ヶ月以内に完了すると推定されたため、線形代数がまだ大幅に最適化されていなかったにもかかわらず、すでに多項式選択を開始していました。

Devinが私（または他の人間）を必要としたのはなぜか

Devinは、以前はかなりの人間の専門知識を必要とした複雑な計算数論パイプラインを、規模を拡大して最適化し、実行することに成功しました。しかし、Devinがエンドツーエンドのパイプライン全体で自律的に反復したと主張することはできません。彼が私を必要とした理由を考察するのは興味深いです。

どういうわけか、答えは「まだたくさん」のようです。 retrospect では、Devinは私が82,702語（502,887文字）を192セッション（素因数分解に使用された233セッションのうち）で3,328メッセージで送信したと主張しています（合計14,450 ACU）。そのうち、Devin自身が101の子セッションを開始し、36セッションは私からの介入を一切受けませんでした。

Devinは、実行機能、自分が何をしているかについての議論と正気度チェックのために私を必要としました。具体的には以下の通りです。

• 目標の階層を設定し、Devinを適切にスコープ内に保つ

• Devinが非生産的なことをしていると認識し、方向転換させる（「その測定をする必要はない」）

• Devinのワークフローにおける繰り返し非効率性を認識する（「このセットアップ作業を償却できる」）

• 未試行の方向性を示す（「GPUがCPUでブロックされないようにする」「ここでNVLink SHARPを使えないか？」）

• 実験フレームワークと結果を整理する（「測定はこう行い、以前の結果はここで見つける。毎回新しい比較不可能なアプローチを考え出すな」）

• Devinが時期尚早に方向転換を諦めたことを捉える

retrospect では、私がいくつかの具体的な技術的洞察を提供したように見えますが、私の最大の貢献は、おそらく、統一された測定結果、ベンチマーク、およびパフォーマンス推定値のセットの作成をハンドホールドしたことでしょう。これは明らかに、そうでなければ自己組織化されなかったでしょう。これにより、Devinは測定を実行し、理解しやすくなり、私も進捗の範囲と、どこでさらなる改善が必要かを理解できるようになりました。

一歩引いて、この努力はCADO-NFSなしでは不可能だったことも強調したいと思います。CADO-NFSは、多くの以前の記録や素因数分解愛好家コミュニティによって使用された、高度で堅牢なオープンソースのGNFS実装です。それは、関連するすべての技術、パイプラインの段階とそのインターフェース、および参照CPU実装を提供しました。それらを使用して、Devinの群れにプログラムをほぼ独立して最適化させ、出力をオリジナルと比較することができました。他の多くのケースと同様に、問題の人間の工学的分解が、エージェントが進歩することを可能にする上で不可欠であったと信じています。

実際、コードベースがアップストリームのCADO-NFSから離れるほど、エージェントは混乱するようになることに気づきました。これは累積的な複雑さに起因する可能性がありますが、CADO-NFSが事前トレーニングに存在することも関連しているのではないかと疑問に思っています。

これでブログ記事の技術的な部分は終了です（付録はさらに詳細を含みます）。

雑多な考察

ここで起こったことは私にとって奇妙です。結果には私の名前が載っていますが、私自身、Devin、ハードウェア、そして世界全体の間で功績をどのように配分すべきかは明確ではありません。

プログラミングタスクに関して、現在のモデルとエージェントを、ある程度、ミシンや織機のように考えています。私はそれを何らかの方法で進めます。私なしでは明らかに起こりえませんが、シャトルを自分で投げているわけでもありません。私の役割が正確に何であったかを言うのは難しいですが、それが何もないことではなかったと確信しています。ある軽率な意味では、Devinとのこの作業は、そうでなかった場合とそれほど違いはありませんでした。私は、その正確な働きが私には不明な、私よりもはるかに大きな物理システムとやり取りし、エネルギーが消費され、因数が得られました。

一方で、明らかに新しいことが起こっています。最初のプロンプトからRSA-260の因数が見つかるまで約3週間かかりました。この速度は、私たちがまだ探求を始めたばかりの能力のオーバーハングを示唆しています。この探求から逃避すべきではないと思います。特に、問題が「単にプログラミング」で解決できる場合、すぐに試みる価値があるようです。

過去数日間、数学においても、ミレニアム懸賞問題の1つの解決策の主張など、いくつかの印象的な結果が見られました。人間理解の喪失について、いくつかの懸念を共有しています。もし自分でこれを行っていたら期待できたであろうほど、GNFSやGPUプログラミングについて多くを学びませんでしたが、Devinを使用していなかった場合よりも多く学んだ可能性が高いです。テクノロジーが私たちにそれを放棄することを可能にしたり、奨励したりする場合でも、人間理解を維持するためにグローバルにリソースをどのように配分するかを理解することが重要であるようです。同時に、これらのツールは、深遠な理解が最も価値のある場所を選択し、これまで個人が到達できた範囲を超えて探求し、意味のある貢献をできる人々のセットを拡大することを可能にするかもしれません。この作業は、両方の方向での例として見ています。

謝辞

数学的なコンサルティングと多くの編集をしてくれたAlex Lombardiに感謝します。

私の雇用主であるCognitionに感謝します。Cognitionのコンピューティングなしでは不可能でした。特にCognitionの研究チームには、絶えず再起動されるglasジョブに寛容であったことに感謝します。また、友人、特に妻のJiwon Joungにも、この趣味のプロジェクトをサポートしてくれたことに感謝します。

このプロジェクトに最初に興味を持たせ、追跡を alive に保ってくれた、オンラインの素因数分解コミュニティ全体 — GIMPS、mersenneforum、FactorDB、GPU to 72、その他 — に捧げたいと思います。

参考文献

1. [1]F. Boudot, P. Gaudry, A. Guillevic, N. Heninger, E. Thomé, and P. Zimmermann, "Comparing the Difficulty of Factorization and Discrete Logarithm: A 240-Digit Experiment," Advances in Cryptology — CRYPTO 2020, LNCS 12171, pp. 62–91, 2020. arxiv.org/abs/2006.06197
2. [2]The CADO-NFS Development Team, "CADO-NFS, An Implementation of the Number Field Sieve Algorithm," software project, accessed September 9, 2026. cado-nfs.gitlabpages.inria.fr
3. [3]N. David and P. Zimmermann, "A New Ranking Function for Polynomial Selection in the Number Field Sieve," 75 Years of Mathematics of Computation, Contemporary Mathematics 754, pp. 315–325, 2020. inria.hal.science/hal-02151093v4/document
4. [4]J. Franke and T. Kleinjung, "Continued Fractions and Lattice Sieving," Special-Purpose Hardware for Attacking Cryptographic Systems — SHARCS 2005, 2005. hyperelliptic.org/tanja/SHARCS/talks/FrankeKleinjung.pdf
5. [5]A. K. Lenstra, A. Shamir, J. Tomlinson, and E. Tromer, "Analysis of Bernstein’s Factorization Circuit," Advances in Cryptology — ASIACRYPT 2002, LNCS 2501, pp. 1–26, 2002. research.tue.nl/en/publications/analysis-of-bernsteins-factorization-circuit
6. [6]J. Papadopoulos and contributors, "Msieve," integer-factorization software, accessed September 9, 2026. sourceforge.net/projects/msieve
7. [7]A. Shamir and E. Tromer, "Factoring Large Numbers with the TWIRL Device," Advances in Cryptology — CRYPTO 2003, LNCS 2729, pp. 1–26, 2003. link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-45146-4_1
8. [8]M. Tervooren and contributors, "FactorDB," online factorization database, accessed September 9, 2026. factordb.com
9. [9]L. Valenta, S. Cohney, A. Liao, J. Fried, S. Bodduluri, and N. Heninger, "Factoring as a Service," Financial Cryptography and Data Security — FC 2016, LNCS 9603, pp. 321–338, 2016. eprint.iacr.org/2015/1000
10. [10]D. H. Wiedemann, "Solving sparse linear equations over finite fields," IEEE Transactions on Information Theory, vol. 32, no. 1, pp. 54–62, January 1986. doi.org/10.1109/TIT.1986.1057137

付録1: 他のRSA数の素因数分解コスト見積もり

• = 推定。コストは、$0.08/CPUコア時、 $3.50/GPU時を想定。CPU推定値はRSA-250からのGNFSスケーリングを使用し、GPU推定値はRSA-260から使用。

付録2: RSA-260実行の詳細

多項式選択

多項式選択は2026-08-18 12:14:19 UTCに開始されました。探索は不規則でややアドホックでした。異なる管理/最大値範囲、素数境界P、および増分値（incr）で複数の実行をカバーしました。ベンチマーク結果が生成されるにつれて検索パラメータが変更され、不正確なベンチマーク解釈のために非生産的な範囲で多くの検索時間を無駄にしました。この実行の重大な非最適性は、多項式選択に時間をかけすぎたことです。意図した範囲を2.5日ではなく1日で検索できたはずであり、意図した範囲の半分未満を検索するのに12時間しかかけなかったとしても、それに見合う価値があったでしょう。

すべての試行シービング多項式を生成した4つのステージ1実行は、15,424 GPU時または643 GPU日を要しました。それらのパラメータは以下の通りです。

合計22個の異なる多項式を試行シービングしました。これらはここに添付されています。2026-08-19 10:53時点で利用可能だったものの中から、MurphyEによる上位5つ（すべて最初の2つの実行から）をテストし、次に2026-08-21 06:08:18時点でMurphyE、CADOのE、E'sigma、およびE'chi2（David and Zimmermannより）の各スコアの上位10個の和集合としてさらに17個を選択しました。これらは実行3と4から得られました。

試行シービング後、採用した多項式は次のとおりです。

Y0: -221673351566952308029695237213052836736183
Y1: 5766034074997040571677
c0: 4438326758963496161172848385157253702543453653246272
c1: -2760724998540198898516614911500562788411825980
c2: -3288611114230578563553198296458642435160
c3: 950383683194810225243935581823335
c4: 541831494549130032021283293
c5: -32669802676467106300
c6: -1863645537600
skew: 3226459.164

この多項式の特性：次数6、スキュー3,226,459、MurphyE 6.633e-10（Bf=2.749e11、Bg=1.374e11、面積=8.59e18）、アルファ -9.57（射影-2.38）、サイド1対数正規分布 73.31、実数根6つ。（添付ファイル内のc260-r1）。

2番目に良い試行シービング多項式（c260-r2）はMurphyE 6.215e-10で、収率が1〜2%低下しました。MurphyEによる最初の5つのうち最高のもの（c260-p1）は5.674e-10で、収率が13〜16%低下しました。

シービング

シービングは2026-08-22 10:01:12 UTCに開始され、2026-08-30 07:26:15 UTCにターゲットに到達しました。最終的なワークユニットは2026-08-30 07:32:17 UTCにアップロードされました。シービングの壁時計時間は189.5時間 = 7.9日でした。シービングパラメータはlpb0/lpb1 = 36/37（候補lpb3637）、lim0 = lim1 = 2^31、mfb0/mfb1 = 72/111、ncurves 50/35、A = 33、sqside = 1でした。特殊qの範囲はq = 1.0e9から約q = 3.91e10（最後のワークユニットは39,091,320,000で終了）で、合計632,249ワークユニットでした。ワークユニットあたり60,000の特殊qを使用し、10分程度かかるようにしました。

シービングは比較的順調でした。このプロセス中にシーバーを2回アップグレードし、シービング開始時と比較して14〜17％のパフォーマンス向上を達成しました。ワークユニットの終了間隔の中央値としてワークユニットごとの終了時間を測定すると、GB200は585秒から486秒に、GB300は586秒から504秒に、B200は628秒から541秒に改善しました。全体のシービング時間は3,813 GPU日でした。

以下は、シービングの進捗を時系列で示したグラフです。

RSA-260シービングの進捗

OKとマークされたワークユニット

OKとマークされたワークユニット

ワークユニット対UTC。線形X軸；線形Y軸。ポイントにカーソルを合わせるか、矢印キー、Home、Endを使用して値を検査します。0200K400K600K8月23日00:008月24日00:008月25日00:008月26日00:008月27日00:008月28日00:008月29日00:008月30日00:00ワークユニットUTCターゲット：13.85B生

ターゲット：13.85B生

生およびユニークな関係

生、モデルユニーク、モデル生、測定値ユニーク、測定値

生およびユニークな関係関係対特殊q（カバー範囲）。線形X軸；線形Y軸。ポイントにカーソルを合わせるか、矢印キー、Home、Endを使用して値を検査します。05B10B15B20B010B20B30B40B関係特殊q（カバー範囲）13.85B生ターゲット13.85B生ターゲット8.2Bユニーク8.2Bユニーク

開始q = 1,000,000,000。

特殊qあたりの収率：測定値とモデル

生、モデルユニーク、モデル生、測定値ユニーク、測定値

特殊qあたりの収率：測定値とモデル関係対特殊q。対数X軸；対数Y軸。ポイントにカーソルを合わせるか、矢印キー、Home、Endを使用して値を検査します。0.10.20.511B10B40B特殊qあたりの関係特殊q制限1制限1

最終的に、フィルタリングのために13,849,985,589の生の関係（13.85Bのターゲットにわずかに届かず、ディスク容量不足で4つのファイルが切り捨てられたため）を取得しました。これはフィルタリング後8,298,749,059のユニークな関係（40.1％が重複）に減少し、3,991,449のフリーな関係が得られました。

線形代数

デデゥプリケーション/パージ/マージ/フィルタリングは、176スレッドの192-vCPUノードで4時間かかりました（実行が2時間でクラッシュした後）。結果として、98,431,741,898個の非ゼロ要素を持つ656,182,601 x 656,182,189の行列が生成され、密度は150でした。最適なマージについて検討し、シービング中にターゲット密度を変更しましたが、最終的には150に近い値に落ち着きました。

シービングが進む間に線形代数を最適化しました。最適化は、行列パラメータ、ソルバーレイアウト、および投機的な最終行列プロパティをターゲットとするコードを同時に共同最適化していたため、不安定でした。代表的なテスト入力に対して、最適化されたfake_relsを使用して形成されたいくつかの行列に最終的に収束しました。これはシービングにフィードバックされました。線形代数のパフォーマンス（および試行シービングの収率推定値からの逸脱）の変更は、数回関係ターゲットをわずかに変更しました。全体として、最適化からどれだけ離れていたかは不明ですが、48時間の線形代数実行が手の届く範囲にあるように見えたときに最適化を停止しました。

線形代数は2026-08-30 15:45:10 UTCに開始されました。ディスパッチ/準備/セキュアに4.4時間かかりました。krylovは、幅256の2つのシーケンス（m = n = 512）で2,564,096イテレーションを実行し、イテレーションあたり0.045〜0.102秒かかりました。8,192イテレーションごとにチェックポイントを保存し、mksolの並列化を可能にするために4つごとに削除しました。検証後に残りを削除しました。krylovは2026-09-02 02:38:14 UTCに完了しました。lingenは、4つのGPUを持つ単一のGB200ノードで3.5時間かかりました。複数の試行がプリエンプトされたため、このフェーズは全体で7時間かかりました。2つのクラスタにわたって40のmksol範囲を実行しました。各範囲は2x2グリッド（16 GPU）で実行され、82〜87分かかりました。ギャザーは2x2グリッドで9分4秒かかり、64個のカーネルベクトルを書き込みました。

実行を開始する前に小さいスケールでテストされていなかった最適化された実装の正確性を確認するために、krylovが実行されている間に、(11^331 - 1)/10（C344）をエンドツーエンドで素因数分解しました。別のチェックとして、krylovと並行して、CADOのbwccheckをすべてのVチェックポイントペアで実行しました。CADOの通常のkrylov内チェックは実行開始から約14時間後にオフになりました。その区間を再実行し、実行を正しく続行しました。

当初、線形代数の構成はm = n = 512、幅256の2つのシーケンスを4x4 MPIグリッド（各64 GPU）で実行することを意図していました。専用のクリークを使用する予定でしたが、より優先度の高いワークロードの要件のため不可能だったため、以前と同様に分散コンピューティングで進めました。InfiniBandを横断して実行することによるパフォーマンスの低下を予想しましたが、実装はNVLinkを完全に活用していないため、パフォーマンスの低下はそれほど深刻ではありませんでした。シービングとは異なり、線形代数はすべてのワーカーが稼働し続ける必要があります。その結果、頻繁に致命的なプリエンプションが発生し、利用可能なコンピューティングに常に最適な形状を適合させるための、やや複雑な配置スクリプトを開発する必要がありました。

以下は、割り当てと進捗を時系列で示したグラフです。

RSA-260線形代数 · 2026年8月30日～9月2日

クラスタ1クラスタ2

Krylovシーケンス 0..256：ノード、MPIグリッド、NVLinkドメイン

Krylovシーケンス 0..256：割り当てられたノード、MPIグリッド、NVLinkドメイン0163248648月31日00:008月31日12:009月1日00:009月1日12:009月2日00:009月2日12:00ノードUTCクラスタ1に8ノード；4x2 MPIグリッド；1 NVLinkドメイン；2026-08-30 20:12:01 UTCから2026-08-31 02:49:45 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-08-31 04:28:42 UTCから2026-08-31 06:29:53 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；15 NVLinkドメイン；2026-08-31 06:30:40 UTCから2026-08-31 09:54:31 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；不明なNVLinkドメイン；2026-08-31 09:57:46 UTCから2026-08-31 14:57:43 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；不明なNVLinkドメイン；2026-08-31 15:12:05 UTCから2026-08-31 17:29:16 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；17 NVLinkドメイン；2026-08-31 18:02:16 UTCから2026-08-31 19:57:19 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-08-31 20:06:45 UTCから2026-08-31 20:18:20 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；20 NVLinkドメイン；2026-08-31 20:20:24 UTCから2026-08-31 22:30:55 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；5 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:42:57 UTCから2026-09-01 00:40:38 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；5 NVLinkドメイン；2026-09-01 00:47:20 UTCから2026-09-01 00:49:11 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-09-01 01:46:01 UTCから2026-09-01 01:55:45 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；5 NVLinkドメイン；2026-09-01 01:58:06 UTCから2026-09-01 05:24:26 UTCクラスタ1に8ノード；4x2 MPIグリッド；8 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:45:18 UTCから2026-09-01 06:15:00 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；13 NVLinkドメイン；2026-09-01 06:26:50 UTCから2026-09-01 08:28:39 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；15 NVLinkドメイン；2026-09-01 08:34:05 UTCから2026-09-01 09:06:39 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；31 NVLinkドメイン；2026-09-01 09:13:42 UTCから2026-09-01 18:11:41 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；29 NVLinkドメイン；2026-09-01 18:18:14 UTCから2026-09-01 18:37:46 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 02:25:38 UTCから2026-08-31 03:38:40 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 03:45:19 UTCから2026-08-31 03:58:44 UTCクラスタ2に7ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 04:28:42 UTCから2026-08-31 04:28:43 UTCクラスタ2に32ノード；8x4 MPIグリッド；不明なNVLinkドメイン；2026-08-31 22:59:53 UTCから2026-08-31 23:08:06 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；5 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:14:20 UTCから2026-08-31 23:40:32 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-09-01 01:32:34 UTCから2026-09-01 01:36:07 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；1 NVLinkドメイン；2026-09-01 19:05:36 UTCから2026-09-02 00:21:39 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；1 NVLinkドメイン；2026-09-02 00:30:10 UTCから2026-09-02 01:00:43 UTC

割り当てにカーソルを合わせるかフォーカスして、ノード数、グリッド、ドメイン、および時間範囲を検査します。

Krylovシーケンス 256..512：ノード、MPIグリッド、NVLinkドメイン

Krylovシーケンス 256..512：割り当てられたノード、MPIグリッド、NVLinkドメイン0163248648月31日00:008月31日12:009月1日00:009月1日12:009月2日00:009月2日12:00ノードUTCクラスタ1に8ノード；4x2 MPIグリッド；1 NVLinkドメイン；2026-08-30 20:11:50 UTCから2026-08-31 02:49:44 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 04:30:23 UTCから2026-08-31 06:43:52 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；18 NVLinkドメイン；2026-08-31 06:47:09 UTCから2026-08-31 08:11:26 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；20 NVLinkドメイン；2026-08-31 08:21:20 UTCから2026-08-31 10:40:02 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；6 NVLinkドメイン；2026-08-31 15:13:06 UTCから2026-08-31 17:18:16 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-08-31 17:20:43 UTCから2026-08-31 22:35:27 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；34 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:05:04 UTCから2026-08-31 23:11:29 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；34 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:12:45 UTCから2026-08-31 23:17:53 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；34 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:19:15 UTCから2026-08-31 23:23:30 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；34 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:24:47 UTCから2026-08-31 23:29:32 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；不明なNVLinkドメイン；2026-08-31 23:30:47 UTCから2026-08-31 23:33:34 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；30 NVLinkドメイン；2026-08-31 23:38:31 UTCから2026-09-01 01:39:10 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；30 NVLinkドメイン；2026-09-01 01:44:27 UTCから2026-09-01 05:26:26 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:43:18 UTCから2026-09-01 05:43:28 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:44:39 UTCから2026-09-01 05:44:52 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:46:09 UTCから2026-09-01 05:46:22 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:49:46 UTCから2026-09-01 05:50:29 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:51:42 UTCから2026-09-01 05:51:54 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:53:10 UTCから2026-09-01 05:53:23 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:55:01 UTCから2026-09-01 05:55:23 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:56:44 UTCから2026-09-01 05:57:27 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 05:58:43 UTCから2026-09-01 05:58:56 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 06:01:48 UTCから2026-09-01 06:02:01 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 06:03:14 UTCから2026-09-01 06:03:27 UTCクラスタ1に16ノード；4x4 MPIグリッド；16 NVLinkドメイン；2026-09-01 06:04:42 UTCから2026-09-01 09:04:38 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；8 NVLinkドメイン；2026-09-01 18:00:14 UTCから2026-09-01 18:40:16 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；35 NVLinkドメイン；2026-09-01 18:42:52 UTCから2026-09-01 18:47:49 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；35 NVLinkドメイン；2026-09-01 18:49:04 UTCから2026-09-01 18:53:17 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；35 NVLinkドメイン；2026-09-01 18:54:35 UTCから2026-09-01 18:58:53 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；35 NVLinkドメイン；2026-09-01 19:04:26 UTCから2026-09-01 19:05:19 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；36 NVLinkドメイン；2026-09-01 19:08:19 UTCから2026-09-01 19:09:50 UTCクラスタ1に32ノード；8x4 MPIグリッド；28 NVLinkドメイン；2026-09-01 19:12:44 UTCから2026-09-01 19:31:52 UTCクラスタ1に64ノード；16x4 MPIグリッド；30 NVLinkドメイン；2026-09-01 19:59:35 UTCから2026-09-02 02:39:52 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 02:27:08 UTCから2026-08-31 03:45:12 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 03:48:05 UTCから2026-08-31 03:58:41 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；2 NVLinkドメイン；2026-08-31 04:28:38 UTCから2026-08-31 04:28:41 UTCクラスタ2に16ノード；4x4 MPIグリッド；1 NVLinkドメイン；2026-09-01 09:20:02 UTCから2026-09-01 17:29:35 UTC

割り当てにカーソルを合わせるかフォーカスして、ノード数、グリッド、ドメイン、および時間範囲を検査します。

記録されたKrylovチェックポイント

シーケンス 0..256シーケンス 256..512

記録されたKrylovチェックポイントイテレーション対UTC。線形X軸；線形Y軸。ポイントにカーソルを合わせるか、矢印キー、Home、Endを使用して値を検査します。0500K1M1.5M2M2.5MAug 3100:00Aug 3112:00Sep 100:00Sep 112:00Sep 200:00Sep 212:00イテレーションUTC最終イテレーション：2,564,096

両シーケンスで最終イテレーション：2,564,096。

その他の段階：クラスタごとの割り当てノード数

クラスタ1クラスタ2

その他の段階：クラスタごとの割り当てノード数その時点でのクラスタごとのノード数を目的別に検査するには、水平方向に移動するか矢印キーを使用してください。0204060801001208月31日00:008月31日12:009月1日00:009月1日12:009月2日00:009月2日12:00ノードUTC

文字と平方根

通常、この段階は比較的わずかな計算努力しか必要としませんが、RSA-260の実行では、問題に遭遇した後、エンドツーエンドで12時間かかりました。有理数の積のサイズ（1.76e11ビット）のため、sqrtがmpz_tのリムカウンターをオーバーフローし、中止しました。Devinはsqrtを3回再構築しました（最初にGMPのmpn関数を使用し、次にCPUで並列Karatsubaも使用）。最終的に因数を見つけたバージョンは、GPUアクセラレーションされたNTT乗算を使用し、88分で完了しました。因数は2026-09-03 01:48:57 UTCに生成されました。

付録3: 素因数分解されたすべての数

† = ファイル変更時刻で評価されたタイムスタンプ

1. C155、公差数列171648の項

35897832874755680820449985423390320593468589158596246321041362108197306669238431228407629716984730854707528618438239056757108766703839883694565332020649303
= 22021946164808393 (p17)
× 262417319699457621175161752791477017206038853130734538645633052531 (p66)
× 6211836830541364900526909822006571137609795674665615556271096661561407141 (p73)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 390000；incr 420；admin 4620；admax 180000；adrange 12600；nq 156250；nrkeep 72；sopteffort 4；ropteffort 25；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 14；sqside未設定；lpb 31/31；lim 33000000/40000000；mfb 60/60；lambda 1.94/1.95；ncurves 15/15；qmin 5200000；qrange 50000；特殊q 5200000から29050000；rels_wanted 164000000；las.threads 22；wutimeout 900

• filter+merge: target_density 148.0；purge.keep 180；required_excess 0.04；dup1, dup2およびmerge設定未設定

• linear algebra: krylov: m=64, n=64；1つのシーケンス0-64；thr=2x4、MPIなし、B200ノード1台；mm_impl=cuda；interleaving=0；nullspace=left；4,000イテレーションごとのチェックポイント。lingen: thr=2x4；mksol: 15範囲の4,000イテレーション；gather: thr=2x4、B200ノード1台

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 1；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 35897832874755680820449985423390320593468589158596246321041362108197306669238431228407629716984730854707528618438239056757108766703839883694565332020649303
skew: 1079717.52
c0: 311415128652871829359026871832488890
c1: 6038213931379356671126098734089
c2: -52755893829252005178014
c3: -3979443941439656428
c4: -636741235170
c5: 963900
Y0: -183822426494573757202526169411
Y1: 799614469853922336864107
# MurphyE (Bf=2.147e+09,Bg=2.147e+09,area=6.979e+14) = 3.228e-07
# f(x) = 963900*x^5-636741235170*x^4-3979443941439656428*x^3-52755893829252005178014*x^2+6038213931379356671126098734089*x+311415128652871829359026871832488890
# g(x) = 799614469853922336864107*x-183822426494573757202526169411

2. C157、公差数列171648の項

9094117661604772474513996307258881217012042571399291054272697101019113898735915143042712474990468911795356432593098151723862961657529605023713028245732813881
= 1373873899497528055698752141917005095037184057 (p46)
× 6619324863024763414167515910344780329208808737133855530598807493174878587238190154476062604506187361704747820033 (p112)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 480000；incr 420；admin 3360；admax 240000；adrange 12600；nq 156250；nrkeep 72；sopteffort 4；ropteffort 25；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 14；sqside未設定；lpb 31/31；lim 36000000/45000000；mfb 60/61；lambda 1.95/1.98；ncurves 15/15；qmin 7000000；qrange 10000；特殊q 7000000から34790000；rels_wanted 170000000；las.threads 22；wutimeout未設定

• filter+merge: target_density 150.0；purge.keep 180；required_excess 0.04；dup1, dup2およびmerge設定未設定

• linear algebra: krylov: m=64, n=64；1つのシーケンス0-64；thr=2x4、MPIなし、B200ノード1台；mm_impl=cuda；interleaving=0；nullspace=left；5,000イテレーションごとのチェックポイント。lingen: thr=2x4；mksol: 15範囲の5,000イテレーション；gather: thr=2x4、B200ノード1台

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 1；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 9094117661604772474513996307258881217012042571399291054272697101019113898735915143042712474990468911795356432593098151723862961657529605023713028245732813881
skew: 4028941.249
c0: -30929648823185396741795692684080726360
c1: 1984799888640434257894945231826
c2: 32825749084108570009393021
c3: 197070756762860649
c4: -1019587382066
c5: 27720
Y0: -4731635427901989535771954621627
Y1: 94637504817809596577371
# MurphyE (Bf=2.147e+09,Bg=2.147e+09,area=9.395e+14) = 2.364e-07
# f(x) = 27720*x^5-1019587382066*x^4+197070756762860649*x^3+32825749084108570009393021*x^2+1984799888640434257894945231826*x-30929648823185396741795692684080726360
# g(x) = 94637504817809596577371*x-4731635427901989535771954621627

3. C173、公差数列9708の項

16822729250245162197210786340073520345302701126309345909868690809883178067955616113069491365481002999485261589865849989569081865831418044294861652263678072140784922937770471
= 3676483960011861552959023833205172827558807236795952573316927262433 (p67)
× 4575765713442929453137801139482723088869543413891048184845232501463745899574413667558326370545261994463687 (p106)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 500000；incr 60；admin未設定；admax 5000000；adrange 12600（ad 12600から5000000を検索）；nq 3125；nrkeep 200；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 14；sqside未設定；lpb 30/31；lim 48100000/67600000；mfb 60/90；lambda未設定；ncurves 15/8；qmin 39200000；qrange 50000；特殊q 39200000から230900000；rels_wanted未設定；las.threads 22；wutimeout未設定

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1, dup2およびmerge設定未設定

• linear algebra: krylov: m=64, n=64；1つのシーケンス0-64；thr=2x4、MPIなし、B200ノード1台；mm_impl=cuda；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント。lingen: thr=2x4；mksol: 218範囲の1,024イテレーション；gather: thr=2x4、B200ノード1台

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 1；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 16822729250245162197210786340073520345302701126309345909868690809883178067955616113069491365481002999485261589865849989569081865831418044294861652263678072140784922937770471
skew: 7539323.115
c0: 5507904840044862958567101790419123351248
c1: 11075662115103401666716027762474064
c2: 2069703995428638025176582672
c3: -460426871814604581272
c4: -10802939281763
c5: 1414980
Y0: -1640700354148067422687336044906519
Y1: 101559148972858506719
# MurphyE (Bf=2.147e+09,Bg=1.074e+09,area=5.261e+15) = 1.966e-08
# f(x) = 1414980*x^5-10802939281763*x^4-460426871814604581272*x^3+2069703995428638025176582672*x^2+11075662115103401666716027762474064*x+5507904840044862958567101790419123351248
# g(x) = 101559148972858506719*x-1640700354148067422687336044906519

4. C175、Kamadaニアレピディジットテーブル

5470451651282352577428602590986639243300312582317119394917414850088270252125425873202922100945580574919292893135207214884038940172525025590402945033754680230815866783742314989
= 26545519698456167532008255537577644047411055430442133 (p53)
× 206078152299293756900604204800302055899369808326285212990616910104280090482314900582700376408434332258183140974789810506233 (p123)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 1200000；incr 60；admin未設定；admax 1250000；adrange 12600（ad 12600から1250000を検索）；nq 3125；nrkeep 200；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 14；sqside未設定；lpb 30/31；lim 48100000/67600000；mfb 60/90；ncurves 15/8；qmin 39200000；qrange 50000；特殊q 39200000から281800000；rels_wanted 169766062；las.threads 22；wutimeout 900

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1, dup2およびmerge設定未設定

• linear algebra: krylov: m=64, n=64；1つのシーケンス0-64；thr=2x4、MPIなし、B200ノード1台；mm_impl=cuda；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント。lingen: thr=2x4；mksol: 240範囲の1,024イテレーション；gather: thr=2x4、B200ノード1台

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 8；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 5470451651282352577428602590986639243300312582317119394917414850088270252125425873202922100945580574919292893135207214884038940172525025590402945033754680230815866783742314989
skew: 6069782.59
c0: -67733679288880239798108684386132972016894
c1: 866375916432470715190517437912097
c2: 28292826923946390520259902850
c3: 257301599183566358927
c4: -398514986671596
c5: 5775840
Y0: -5635239997340677903984973751823056
Y1: 527256926047937086559
# MurphyE (Bf=2.147e+09,Bg=1.074e+09,area=5.261e+15) = 1.573e-08
# f(x) = 5775840*x^5-398514986671596*x^4+257301599183566358927*x^3+28292826923946390520259902850*x^2+866375916432470715190517437912097*x-67733679288880239798108684386132972016894
# g(x) = 527256926047937086559*x-5635239997340677903984973751823056

5. C190、10^294 * 106 - 1 の余因子

2803449180324637751696097116917035415510283366000770209964656143125021698552328456230457085999381765506227676072887672270352769749338084027093323803706408761157245199388770494277027275902323
= 3031232029603751020573994806456966726044658734818549537566836351886379240410044896085021901 (p91)
× 924854697016087706590402161140219834859056267403120024108011627126585093503955645619014094737058623 (p99)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 1200000；incr 60；admin 0；admax 1250000；adrange 12600；nq 3125；nrkeep 200；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 16；sqside未設定；lpb 32/33；lim 340600000/162343750；mfb 85/96；ncurves 13/14；qmin 101875000；qrange 35000；特殊q 101875000から256235000；rels_wanted 637470715；las.threads 22；wutimeout 5400

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1, dup2およびmerge設定未設定

• linear algebra: krylov: bwc.pl :complete；m=128, n=64；1つのシーケンス0-64；mpi=4x2、thr=1x1、8 B200ノード；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；interleaving=0；1,024イテレーションごとのチェックポイント。lingen: mpi=1x1、thr=8x8；mksol: 359範囲の1,024イテレーション、mpi=4x2；gather: mpi=4x2、thr=1x1、8 B200ノード

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 8；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 2803449180324637751696097116917035415510283366000770209964656143125021698552328456230457085999381765506227676072887672270352769749338084027093323803706408761157245199388770494277027275902323
skew: 21435826.965
c0: -228821101739770306666174403224295131380205560
c1: 100892241193110033273901788248298093162
c2: -5021540351247338802317304532661
c3: -473581781581809751070461
c4: -6741589944834600
c5: 184579200
Y0: -5121528411741386878578269803021899968
Y1: 5880053293624743921847
# MurphyE (Bf=8.590e+09,Bg=4.295e+09,area=2.188e+17) = 6.238e-09
# f(x) = 184579200*x^5-6741589944834600*x^4-473581781581809751070461*x^3-5021540351247338802317304532661*x^2+100892241193110033273901788248298093162*x-228821101739770306666174403224295131380205560
# g(x) = 5880053293624743921847*x-5121528411741386878578269803021899968

6. C190、ランダムな半素数

1915702666254754589302138082953064030136985233543617546393016850305362357282661012267312792578128353496405760484753165337002709486896975439203074537923793503963218174251187680660285478774247
= 41698471563777460657883793234606994934029658617745521302475971276954056473612781956799433416449 (p95)
× 45941795811980866357439455815073930815170459048464456198275523982412122564353572361237287120103 (p95)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 1200000；incr 60；admin 0；admax 1250000；adrange 12600；nq 3125；nrkeep 200；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 16；sqside未設定；lpb 31/32；lim 340600000/162343750；mfb 62/93；ncurves 13/14；qmin 101875000；qrange 45000；特殊q 101875000から255870000；rels_wanted 328805148；las.threads 22；wutimeout 4800

• filter+merge: target_density 150.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, nslices_log 4, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: bwc.pl :complete；m=128, n=64；1つのシーケンス0-64；mpi=4x2、thr=1x1、8 B200ノード；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；8,192イテレーションごとのチェックポイント；krylov_jobs=1。lingen: mpi=1x1、thr=8x8；mksol: 47範囲の8,192イテレーション、mpi=4x2；gather: mpi=4x2、thr=1x1、8 B200ノード

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 8；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 1915702666254754589302138082953064030136985233543617546393016850305362357282661012267312792578128353496405760484753165337002709486896975439203074537923793503963218174251187680660285478774247
skew: 69471962.165
c0: -8851052641249209046858885105626001014879976840
c1: 137284591523111942762317014521594293102
c2: 15711746557944118993342136575101
c3: -71479708151186561135983
c4: -2037361818341234
c5: 1484040
Y0: -4812639678831248968259250032120433579
Y1: 34259808457928473708459
# MurphyE (Bf=4.295e+09,Bg=2.147e+09,area=2.188e+17) = 2.236e-09
# f(x) = 1484040*x^5-2037361818341234*x^4-71479708151186561135983*x^3+15711746557944118993342136575101*x^2+137284591523111942762317014521594293102*x-8851052641249209046858885105626001014879976840
# g(x) = 34259808457928473708459*x-4812639678831248968259250032120433579

7. C201、奇数完全数ロードブロック

930979809278937791072509028975014732977616551736470955539887227350102699241200870603629468473257201294317067671301934475214965923913736810157920028794236692842602151220424895418579020332545717523397343
= 192025012390228559221585986932909773176779292159023659696284779527 (p66)
× 4848221581608458738148347619143924968930459331699831038700672259359631705871477758619201973885803963022228656479922682484475622839880809 (p136)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: 次数5；P 1200000；incr 60；admin 0；admax 1250000；adrange 12600；nq 3125；nrkeep 200；スレッド22；GPUステージ1 (polyselect-gps1)

• sieve: I 16；sqside未設定；lpb 32/33；lim 130000000/100000000；mfb 85/96；ncurves 13/13；qmin 309440000；qrange 40000；特殊q 309440000から812920000；インポートされた関係q 50000000から309440000；rels_wanted 637470715；las.threads 22；wutimeout 5400

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: bwc.pl :complete；m=128, n=64；1つのシーケンス0-64；mpi=4x3、thr=1x1、12 B200ノード；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；8,192イテレーションごとのチェックポイント；krylov_jobs=1。lingen: mpi=1x1、thr=8x8；mksol: 125範囲の8,192イテレーション、mpi=4x2；gather: mpi=4x4、16 GB200ノード

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 8；CPU sqrt、依存関係の順序

多項式

n: 930979809278937791072509028975014732977616551736470955539887227350102699241200870603629468473257201294317067671301934475214965923913736810157920028794236692842602151220424895418579020332545717523397343
skew: 141639179.53
c0: 4920071598665344600849898275027200375673687141584
c1: -17473086803075379177941148842054370989064
c2: -1895700168885924627964679424329691
c3: -5093363513389771937188279
c4: 65012146697554240
c5: 4586160
Y0: -959202297370196215605054183736005106510
Y1: 22769097491370535613
# MurphyE (Bf=8.590e+09,Bg=4.295e+09,area=1.074e+17) = 2.581e-09
# f(x) = 4586160*x^5+65012146697554240*x^4-5093363513389771937188279*x^3-1895700168885924627964679424329691*x^2-17473086803075379177941148842054370989064*x+4920071598665344600849898275027200375673687141584
# g(x) = 22769097491370535613*x-959202297370196215605054183736005106510

8. RSA-260

22112825529529666435281085255026230927612089502470015394413748319128822941402001986512729726569746599085900330031400051170742204560859276357953757185954298838958709229238491006703034124620545784566413664540684214361293017694020846391065875914794251435144458199
= 4397328654844826923795068102505872571721883526553349659561256924505973939597593482272505698004801207988043088656411102133523080581 (p130)
× 5028695206842569864686141618253083416610081090075366674776775706538324961364412200138116378509733307971876652984898985905923678379 (p130)

FactorDB

パラメータ

• polyselect: B200、GB200、およびGB300でのGPUステージ1 (polyselect-gps1)、およびCADO多項式選択；次数6；P 2e7および3e7；incr 110880および465585120；ad 0から1.04e16以上

• sieve: A 33；sqside 1；lpb 36/37；lim 2147483648/2147483648；mfb 72/111；ncurves 50/35；fill_bands 2；host_mr 1；qmin 1000000000；qrange 60000；特殊q 1000000000から39091320000；rels_wanted 13460000000（初期）、その後13850000000；las.threads 22；siqs.threads 2；wutimeout 7200

• filter+merge: target_density 150.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, nslices_log 4, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: m=512, n=512；幅256の2つのシーケンス；simd=256；GB200およびGB300ノードの4x2、4x4、8x4、および16x4グリッド；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント；mksol用に8,192イテレーションごとにチェックポイントを保持。lingen: GB200ノード1台；mksol: 40ジョブ、mpi=2x2、GB300およびGB200ノード；gather: mpi=2x2、GB200ノード4台

• sqrt: nchar 50、CPUヘッドでの-abパス；GPU sqrt（-side0 -side1 -gcd）、ノードあたり1つの依存関係、依存関係8から14

多項式

n: 22112825529529666435281085255026230927612089502470015394413748319128822941402001986512729726569746599085900330031400051170742204560859276357953757185954298838958709229238491006703034124620545784566413664540684214361293017694020846391065875914794251435144458199
skew: 3226459.164
c0: 4438326758963496161172848385157253702543453653246272
c1: -2760724998540198898516614911500562788411825980
c2: -3288611114230578563553198296458642435160
c3: 950383683194810225243935581823335
c4: 541831494549130032021283293
c5: -32669802676467106300
c6: -1863645537600
Y0: -221673351566952308029695237213052836736183
Y1: 5766034074997040571677
# MurphyE (Bf=2.749e+11,Bg=1.374e+11,area=8.590e+18) = 6.633e-10
# f(x) = -1863645537600*x^6-32669802676467106300*x^5+541831494549130032021283293*x^4+950383683194810225243935581823335*x^3-3288611114230578563553198296458642435160*x^2-2760724998540198898516614911500562788411825980*x+4438326758963496161172848385157253702543453653246272
# g(x) = 5766034074997040571677*x-221673351566952308029695237213052836736183

9. C311 = (179^139 - 1)/178

78732003642300039104997556853283781324722722514871172820596350395008499128466382307395809435579611623474564094986667529892960864716597384448096503729214198851662899485730276355438419349226871332426916221394784977161223247509417343613224455688485860012856805177174377754441936853855717590652007641081003553555981
= 113099312568209673935042334303729415651026293476381594877312955562280961045355175671136840242009011468329 (p105)
× 696131584308411518623832257550002804001621961634551342461843289253649103892820497050633605105814786732064892829393341608140504002525639124360548840359891492626081616809277191319539440045658855879311157144389 (p207)

FactorDB

パラメータ

• 多項式: f = 179 x^6 - 1, g = x - m, m = 179^23, スキュー0.4213, MurphyE 8.836e-16 (179^139 - 1 = 178 N, 139 = 6*23 + 1)

• 代替案: 記録なし

• sieve: A 32；sqside 0；lpb 33/34；lim 500000000/800000000；mfb 66/99；ncurves 21/26；qmin 250000000；qrange 100000；特殊q 250000000から1184000000；rels_wanted 1237056574；las.threads 22；wutimeout 6000

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: bwc.pl :complete；m=128, n=64；1つのシーケンス0-64；mpi=4x4、thr=1x1、16 B200ノード；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；8,192イテレーションごとのチェックポイント；krylov_jobs=1。lingen: mpi=1x1、thr=8x8；mksol: 125範囲の8,192イテレーション、mpi=4x4；gather: mpi=4x4、thr=1x1、16 B200ノード

• sqrt: nchar 50；sqrt.threads 8；CPU sqrt、依存関係の順序

10. C344 = (11^331 - 1)/10

50231805376049596631820685866210796229177935753938552911186809956414816600066561080962695239770426026723364698292328197470387911075676202539623423774798834486148386204131623950780297626046160114576438460656977450890504071673236180892236065865431442427746499804001930166673809250928496230908288781474418503703449380725550307006218226204967040981
= 4430846974881282458576305306275299267803558513190420498353196875372229299069071572187853350349351721816194984586423957772963949687017317 (p136)
× 11336840486890314794032557608959863028316193728266529081837586701486166437930282744836829943727770582091213875616984397275548049092194046001698425309465943848550352458828194439770494240269696008098233721116593 (p209)

FactorDB

パラメータ

• 多項式: f = 11 x^6 - 1, g = x - m, m = 11^55, スキュー0.6706, MurphyE 7.317e-17 (331 = 6*55 + 1)

• 却下された試行シービング、lpb 37/37、q = 2e9 / 8e9 / 32e9 / 128e9での6次多項式に対する5,000-qウィンドウあたりの関係：8次 x^8 - 2, m = 2^160: -44% / -47% / -55% / -66%；7次 8 x^7 - 1, m = 2^182: +3% / -8% / -14% / -24%；5次 4 x^5 - 1, m = 2^241: -73% / -70% / -63% / -54%

• sieve: A 32；sqside 0；lpb 34/34；lim 1073741824/1073741824；mfb 68/102；ncurves 25/35；qmin 300000000；qrange 100000；特殊q 300000000から3532000000；rels_wanted 1632914677；las.threads 22；wutimeout 6000

• filter+merge: target_density 170.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, nslices_log 4, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: m=512, n=512；simd=256；幅128の4つのシーケンス；mpi=2x2、GB200ノード4台/シーケンス；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント；mksol用に8,192イテレーションごとにチェックポイントを保持。lingen: GB200ノード1台；mksol: 8ジョブ、mpi=2x2、8,192イテレーションの倍数でカットされた範囲；gather: mpi=2x2、GB200ノード4台

• sqrt: nchar 50、CPUヘッドでの-abパス；GPU sqrt（-side0 -side1 -gcd）、ノードあたり1つの依存関係、8ジョブ

11. C337、2^1207 - 1 の余因子

7121450524338129034228935888406290342440924878292924475154549706165967683018106989365212535726088820424187252154592086367126609115652316059905387197810171357101484623269226530219357641629634637632902818929376633641165995708421341209033069328278856607776384578328080846029713646218471064646270016968312691054210973840071649700163924918271
= 2135456634416723262926946022637259241391053741075352614983924508336321947951381676798676767 (p91)
× 3334860755101812561067390658542870185942902307642912877405776237023857839224225092829417050945007343491020348357930255766175507591130368636694557769027206776756787240691456180112351039576773125118453259495249395384279121506465565518011175872090913 (p247)

FactorDB

パラメータ

• 多項式: f = 2 x^6 - 1, g = x - m, m = 2^213, スキュー1.1225, MurphyE 1.173e-17 (1207 = 6*213 - 1)

• 試行シービングで却下された関係、lpb 37/37、q = 2e9 / 8e9 / 32e9 / 128e9での6次多項式と比較：8次 x^8 - 8, m = 2^160: -44% / -47% / -55% / -66%；7次 8 x^7 - 1, m = 2^182: +3% / -8% / -14% / -24%；5次 4 x^5 - 1, m = 2^255: -73% / -70% / -63% / -54%

• sieve: A 33；sqside 0；lpb 35/35；lim 2147483648/2147483648；mfb 105/70；ncurves 35/50；cofac_gpu 1；ecm_curves 24；qmin 1000000000；qrange 60000；特殊q 1000000000から7206840000；rels_wanted 4000000000；las.threads 22；wutimeout 7200

• filter+merge: target_density 150.0；purge.keep 160；required_excess未設定；dup1 nshards 16, nslices_log 4, outfmt .zst；dup2 concurrent；purgeおよびmerge gzipオフ

• linear algebra: krylov: m=512, n=512；simd=128；幅128の4つのシーケンス；mpi=4x2、GB200ノード8台/シーケンス；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント；mksol用に8,192イテレーションごとにチェックポイントを保持。lingen: mpi=1x1、GB300ノード1台；dispatch: mpi=4x2、GB300ノード8台；mksol: ソリューション=0-64、mpi=4x2、GB300ノード8台/ジョブ；gather: mpi=4x2、GB300ノード8台

• sqrt: nchar 50、CPUヘッドでの-abパス；GPU sqrt（-side0 -side1 -gcd）、ノードあたり1つの依存関係、0から7の依存関係のための8ジョブ

12. C385、2^1277 - 1 — SNFSの新たな記録

2601983048666099770481310081841021384653815561816676201329778087600902014918340074503059860433081046210605403488570251947845891562080866227034976651419330190731032377347305086443295837415395887618239855136922452802923419286887119716740625346109565072933087221327790207134604146257063901166556207972729700461767055550785130256674608872183239507219512717434046725178680177638925792182271
= 1724716499241899864602425389894492014760761058306262762892810886087012338823944627660237293943404138481321 (p106)
× 174090709548829862673444876509956283267433847880436775401923086006338309086502338849028139248274886760517707263111447 (p117)
× 8665849643335295674769105294571409283548491149467547745358388419546365219034102218289049713968532434665290528265538637566847289906584634645620272395224026405923633 (p163)

FactorDB

パラメータ

• 多項式: f = x^6 - 2, g = x - m, m = 2^213, スキュー1.1225, MurphyE 1.6164e-18 (1277 = 6*213 - 1)

• 試行シービングで却下された関係、lpb 37/37、q = 2e9 / 8e9 / 32e9 / 128e9での6次多項式と比較：8次 x^8 - 8, m = 2^160: -44% / -47% / -55% / -66%；7次 8 x^7 - 1, m = 2^182: +3% / -8% / -14% / -24%；5次 4 x^5 - 1, m = 2^255: -73% / -70% / -63% / -54%

• sieve: A 33；sqside 0；lpb 36/35；lim 2147483648/2147483648；mfb 108/70；ncurves 35/50；cofac_gpu 1；ecm_curves 24；qmin 1000000000；qrange 60000；特殊q 1000000000から23627100000；rels_wanted 5900000000；las.threads 22；wutimeout 7200

• filter+merge: target_density 150.0；purge.keep 160；required_excess 0.0；dup1 nshards 16, nslices_log 4, outfmt .zst；dup2 concurrent；merge skip 32；purgeおよびmerge gzipオフ；スレッド176

• linear algebra: krylov: m=512, n=512；simd=128；幅128の4つのシーケンス；GB200およびGB300ノードの7x1から16x4のグリッド；mm_impl=cuda；comm_impl=nccl；nullspace=left；1,024イテレーションごとのチェックポイント；mksol用に8,192イテレーションごとにチェックポイントを保持。lingen: mpi=1x1、GB300ノード1台；dispatch: mpi=4x2、GB300ノード8台；mksol: ソリューション=0-64、mpi=4x2、GB300ノード8台/ジョブ；gather: mpi=4x2、GB300ノード8台

• sqrt: nchar 50、CPUヘッドでの-abパス；GPU sqrt（-side0 -side1 -gcd）、ノードあたり1つの依存関係、0から7の依存関係のための8ジョブ