André Weil and the Hodge Conjecture

アンドレ・ヴェイユとホッジ予想 Jiahao Cao、ミュンヘン OpenAIがホッジ予想の反例を構築した可能性があると言われています。アンドレ・ヴェイユは、ホッジ予想を疑い、反例を構築しようとした初期の数学者の一人であり、おそらく最も成功に近づいた一人でもあります。ヴェイユはホッジ自身とは直接的な交流はほとんどありませんでした。最初の記録は1947年のようで、ヴェイユがH. Cartanへの手紙の中で、ホッジの本を研究し、それを代数多様体に適用しようとしていると述べています。ヴェイユはホッジ理論の重要性を強く認識していましたが、同時にその記法を「ひどいテンソルのサラダ」のように見えると鋭く批判しました。10年後、ヴェイユは『Introduction à l’étude des variétés kählériennes』を著し、ケーラー・ホッジ技術をよりクリーンな言語で書き直し、整理しましたが、それは「読者の理解を容易にするため」だと述べています。ホッジ理論の現代的な形式における記法と構成は、大いにヴェイユの本で固定されました。ヴェイユの死後、その本は彼の追悼記事でホッジ理論の最初の現代的な解説として singled out されました。 その後、有名な戦後初のフィールズ賞が続きました。ホッジは、ヴェイユに授与することを最も強く支持した委員の一人であり、「そうでなければ、私たちは義務を怠っているかもしれない」と警告しました。彼の努力は最終的に実を結びませんでした。おそらく将来の委員会が同じようなジレンマに直面するのを避けるため、フィールズ賞は後に有名な40歳という年齢制限を獲得しました。賞が授与された国際数学者会議で、ヴェイユは数論と代数幾何学の統一的な視点を提示するプレナリー講演を行い、その後の数十年にわたる代数幾何学の発展の多くを要約し、予測しました。5日後、ホッジは別の講演でホッジ予想の元のバージョンを発表しました。初期のホッジ予想は、ルフェッツの(1,1)-定理の自然な外挿のように見えたため、それを疑う理由はあまりありませんでした。ルフェッツはすでに(p=1)の場合を解決しており、次数2のホッジクラスはすべて因子から来ていました。したがって、多様体のホッジ環全体が次数2のホッジクラスによって生成されるならば、ホッジ予想は自動的に従うことになります。1960年代に、MumfordとTateはこのルートを追求しようとしました。残念ながら、Mumfordは、因子積として書けないホッジ((2,2))クラスを持つCM型アーベル四次元多様体(A)である、いわゆる例外的なホッジクラスの反例を発見しました。 次に起こったことは、TateがSerreに書いた手紙から知られています。1965年、Tateはヴェイユにこの反例について話しました。ヴェイユはすぐに、この例が実際には4次元の例のファミリーの特別なケースに過ぎないことに気づきました。彼は次に、追加の虚二次体対称性を持つ特殊なアーベル多様体のクラスを検討しました。この対称性は、複素方向を2つのグループに均等に分割します。虚二次体上でこれらの方向の積を取ると、2次元の有理コホモロジー部分空間が得られます。2つのグループが同じサイズであるという事実は、この空間が((n,n))型であることを保証し、したがって2次元のホッジクラス空間となります。これが後にヴェイユクラスとして知られるようになりました。これらのヴェイユクラスは、対応する代数的部分多様性を事前に知る必要なしに、対称性と線形代数構造から自動的に生じます。したがって、ヴェイユは予想を疑い始めました。もしこれらのクラスがこの方法で対称性によって自動的に生成されるなら、なぜそれらが必然的に真の代数サイクルに対応しなければならないのでしょうか？もし1つのヴェイユクラスでも代数サイクルに対応しないことが示されれば、ホッジ予想は反証されることになります。このように、ある可能な証明戦略への反例が、ヴェイユによって予想自体の可能な反例へと一般化されました。ヴェイユはTateにこう言いました。「あなたとMumfordはホッジ予想を信じているようですが、これらの異常なクラスに対応する代数サイクルを提示するのは、今やあなたの仕事です。私はそれを信じない傾向があるので、むしろそのようなサイクルがないことを示そうと試みます。」ヴェイユはそれから反例を構築しようと試み始めました。もちろん、彼の試みは成功しませんでした。そうでなければ、予想は後にミレニアム懸賞問題の一つにはならなかったでしょう。これは、ヴェイユのMordell/Riemann予想、さらにはFermatおよびLanglands予想に関する仕事と非常によく似ていました。これらの偉大な予想に直面して、彼は1世紀にわたって誰も達成できなかった最初のブレークスルーを達成するか、あるいは予想の重要性、またはその解決への特定のルートの重要性をすぐに認識し、それによって主題全体のコースを指示するのを助けるかのどちらかでした。最終的に彼はこれらの問題の最終的な解決者ではなかったかもしれませんが、ヴェイユはAI時代に最も必要とされる数学者の種類かもしれません。 さらに後、Benedict Grossの記憶によると、Ahlforsの70歳の誕生日を祝う会議で、約10年後に、ヴェイユはまだ、ホッジ予想をどのように攻撃できるかについて、かなり挑発的な方法で公に議論していました。キャリアの初期段階にあったGrossは、Chowla-Selberg公式に関連する周期恒等式を証明するためにヴェイユのアイデアを修正しようと聴衆席に座り、すぐにその議論を論文にしました。同じ会議で、Serreは彼をDeligneに紹介し、Grossはヴェイユのアイデアを適応させて得られたこの結果を説明しました。Deligneは驚き、Grossに尋ねました。「ホッジ予想を証明しましたか？」Grossは陽気に、もし本当にそうなら、彼は確かに喜ぶだろうと答えました。彼はまだ博士論文のテーマを探しており、ホッジ予想を証明することは、おそらく論文としては十分でしょう。数週間後、DeligneはGrossに3ページの原稿を送りました。その原稿はやがて、アーベル多様体上のすべてのホッジサイクルが絶対ホッジであるという有名な結果へと発展しました。 Milneがこの歴史について議論したとき、ヴェイユの疑問に関連して、アーベル多様体は本来、ホッジ予想のより簡単なケースの1つと見なされるべきだったと述べました。しかし50年後、数学界はこれらのヴェイユ・ホッジクラスが代数的であることを証明できませんでした。これは明らかに、数学者たちのホッジ予想への信頼を大いに弱めました……ホッジ予想のその後の歴史、すなわちGrothendieck、Deligne、Griffithsなどについては、別の機会に付け加える必要があります。最後に、OpenAIがホッジ予想の反例を構築した可能性について、ヴェイユ自身の言葉が特に適切かもしれません。「La question que pose la “conjecture de Hodge” est bien naturelle… Par malheur, en d´epit du mot de “conjecture”, il n’y a, que je sache, pas l’ombre d’une raison d’y croire; on rendrait service aux g´eom`etres si l’on pouvait trancher la question au moyen d’un contre-exemple。」「ホッジ予想」が提起する問題は非常に自然なものである…残念ながら、「予想」という言葉にもかかわらず、私の知る限り、それを信じる理由は微塵もない。もしこの問題を反例によって解決できるなら、幾何学者は助けられるだろう。」 ⭐ このウェブサイトをGitHubでスターする