AIと数学の整合性 - それ以外のものへ

AIと数学を、別のものに整合させる

25名のフィールズ賞受賞者が、書簡「AIと数学の深刻な不整合」に初期署名し、「AI企業と数学界の目標は深刻にずれている」と意見を述べている。彼らは正しい。

彼らが言うように、AI企業の目標は「概念的な理解と洞察という主要な目標」とは一致していないように見える。実際、「AI企業による解決策は急いで発表されており、適切な執筆、新しい方法論やアイデアの分離、他者の関連する先行研究の引用に時間を割く余裕がない」とのことだ。これは事実である（皮肉なことに、署名者自身も、より協議的なプロセスを行う時間がなかったため、書簡を迅速に公開したと述べている）。

数学界の目標もまた、「概念的な理解と洞察という主要な目標」とは一致していないように見える。これは明らかだ。もしそれが目標であったなら、数学界は「その専門職における最も貴重な資源は学生とアイデアであり、それらは多大な注意を払って育成されるべきである」という見解を持つだろう。しかし残念ながら、数学における学生やアイデアは、多大な注意を払って育成されてこなかった。

25名のフィールズ賞受賞者による書簡は、OpenAIがナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさの問題に対する解を発表したことに触発されたようであるため、数学界がその分野で活動した学生や、その基礎となるアイデアをどのように育成してきたかを見てみよう。

• ユリウス・シャウダー (Leray–Schauder degree)：シャウダーは1923年に博士号を取得したが、反ユダヤ主義（数学者による）により大学の職を得ることを拒否された。代わりに高校で教鞭をとりながら、真面目な数学研究を続けた。数年後、ナチスが権力を握ると、シャウダーは世界中の数学者に助けを求めたが、多くの数学者は助けることを拒否した。プリンストンからの招待を得ようとしたが、拒否された。これは単に給料の問題ではなかった。彼の命が危険にさらされていたのだ。最終的には、研究内容を書き留めるための紙さえ手に入らなくなり、ドイツ人によって殺害された。彼の妻エミリアは娘と共に隠れ、一時下水道で生き延びた。エミリアは最終的に捕らえられ、強制収容所で殺害された。これが「多大な注意を払った育成」だっただろうか？

ああ、言うだろうが、これはずっと昔のことだ！

• オリガ・ラジェンスカヤ (Ladyzhenskaya inequality)：1950年代後半、ラジェンスカヤは偏微分方程式と流体力学の第一線の数学者だった。1958年、彼女は現在ラジェンスカヤの不等式として知られるものを用いて、2次元ナビエ・ストークス方程式の広域的な存在と一意性を証明した。この業績はナビエ・ストークス理論の基礎となった。同年、36歳でフィールズ賞の候補になったが、クラウス・ロスとルネ・トムに譲った。

ああ、言うだろうが、フィールズ賞は実力主義だ！

1958年のフィールズ賞委員会の記録によると、その決定は純粋に実力主義ではなかった。最有力候補だったフリードリヒ・ヒルツェブルフは、順調に進んでいるためさらなる奨励は必要ないと考えられ、アレクサンダー・グロタンディークはヒルツェブルフの次に最も才能があるとされたが、後に受賞できるだろうと判断された。女性がフィールズ賞を受賞するまで（特筆すべきは、25名のフィールズ賞受賞者のうち女性は1名のみである）、実に56年もの歳月がかかった。これが「多大な注意を払った育成」だっただろうか？

ああ、言うだろうが、状況は変わった！

• カレン・ウーレンベック (Geometric analysis and nonlinear PDE)：2019年、ウーレンベックは女性として初めてアーベル賞を受賞した。しかし、1968年に博士号を取得し、MITとバークレーで臨時職を務めた後、ウーレンベックは職に応募したが、「女性を採用しない」「女性は家に帰って子供を産むべきだ」と率直に告げられた。MIT、スタンフォード、プリンストンは彼女の夫の採用に興味を持っていたが、彼女には興味がなかった。彼女は「縁故採用の規則」が大学の彼女の採用を妨げていると言われた（彼女は数年後にこれを調査したが、その規則は見つからなかった）。最終的にイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校で職を得たが、彼女はそれを「シャンペーン・アーバナは嫌いだった。数学的にも社会的にも場違いだと感じた」と述べている。これが「多大な注意を払った育成」だっただろうか？

ああ、言うだろうが、それは単一の例にすぎない。

• キャスリーン・モラヴェッツ (nonlinear PDE and fluid dynamics)：モラヴェッツは非線形偏微分方程式と流体力学における第一線の数学者の一人だった。ナビエ・ストークス方程式に直接関連するわけではないが、それに近い分野だ。彼女はクーラント研究所の初代所長、アメリカ数学会会長を務め、米国国家科学賞を受賞した初の女性数学者となった。彼女がアメリカ数学会運営委員会で、数学界における女性の少なさについて問題を提起した際、サウンダーズ・マックレーンは「まあ、数学は非常に難しい分野ですから」と答えた。これが「多大な注意を払った育成」だっただろうか？

もちろん、全ての数学者は、数学界がその学生やアイデアの全てを多大な注意を払って育成しているわけではないことを知っている。これは秘密でもなく、公然の秘密でもない。単に常識である。私が18年間勤務したUCバークレーの数学科では、学科はヒルベルトの第10問題で知られるジュリア・ロビンソンを35年間数学の指導から排除し（これも縁故採用の規則を口実とし、1976年に全米科学アカデミーに選出された後にのみ彼女を採用することに同意した）、ユヴァル・ペレス（UCバークレー数学教授、2001年～2011年頃）を採用するようになった。ロビンソンに関する特に衝撃的な事実は、彼女が人事部に毎日 exactly 何を研究していたかを文書化するよう要求されていたことだ（！）。ペレスの場合、最終的に数学者たちは、若い女性に関する少なくとも7件のケースや報告について公に説明したが、その中には彼の度重なる誘いを避けるために会議や講義を避けたとされる者もいた。私がUCバークレー数学科に着任してからわずか3年後に、学科が学生の指導不足のために重要なNSFグラントを失ったことは、私にとって驚きではなかった。そして、UCバークレーに（現在は名誉教授だが）今なお、数学には性差別は存在しないし、過去にも存在したことはない」と主張する著名な教員がいることは、言語道断である。 (https://math.berkeley.edu/~kirby/sexism.html)

私がその学科で経験した決定的な瞬間の1つは、顔見知り程度の大学院生が私のオフィスに泣きながらやってきて、「自分が馬鹿だと言われた」と告げたことだ（彼女は今、非常に成功した数学の教授である）。私はその侮辱を学科で何度も耳にした。ある教員会議で、あるベテラン教授に、9年目か10年目になる学生をどう助けているのかと尋ねられた。その答えは「何もしていない。彼は馬鹿だ」だった。これらは孤立した逸話ではない。多くの数学者は、自分のアイデアだけでなく、自分自身さえも拒絶される経験をしている。おそらく最も悪質な例の1つは、指導教官から「中国人の学生はダメだ」と言われたとされるイータン・チャンだろう。これが「多大な注意を払った育成」だっただろうか？

私が興味深く思ったのは、「AIと数学の深刻な不整合」の25名の主要署名者が、括弧書きで「フィールズ賞受賞者」と署名したことだ。所属やメールアドレスではなぜいけなかったのだろうか？彼らは、その栄誉が数学界に対する何らかの権威を与えると暗示するために、フィールズ賞受賞者であることを強調したのだろうか？確かに、彼らは皆、信じられないほど重要な数学を行い、並外れた数学的能力に基づいて認められた。しかし、フィールズ賞の受賞は、どの問題、分野、数学のスタイルが認識に値するかについての、ごく少数の人々の判断にも依存する。エルドシュは、「セメレディはフィールズ賞を受賞すべきだった。しかし、決定する人々は組み合わせ論にそれほど興味がなかった」と述べた。確かに、賞はどの数学、したがってどの数学者が重要であるかについての判断を符号化する。しかし、フィールズ賞の政治とは無関係に、重要なのは、数学的能力は数学的責任と同じではないということだ。「整合」に関する書簡でフィールズ賞受賞者を前面に出す代わりに、指導や育成の欠如によってキャリアが脱線した数学者の声を聞く方が、より啓発的だったかもしれない。

だから、はい、AIと数学の間には深刻な不整合がある。しかし、AIを既存の数学界に整合させることが目標であるべきではない。数学の歴史は、専門職の既存のインセンティブ、階層、制度をモデルとして扱う理由をほとんど与えてくれない。AI企業と数学者は代わりに、両者が何に整合させるべきかを問うべきである。それは、理解、貢献、知的な寛容さ、そして学生やアイデアの育成であり、単なる結果の生産や認識ではない。

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