数学のその後

数学のその後

［これはSilvia De ToffoliとEamon Duedeによるゲスト投稿です。このブログ記事は当初、異なるファイル形式で書かれ、AIを使用して変換されました。 — T.］

Silvia De Toffoli （University School for Advanced Studies IUSS Pavia）
Eamon Duede （Princeton University and Purdue University）

2026年9月8日、OpenAIは発表しました、AIが生成したナヴィエ＝ストークス方程式の存在と滑らかさの問題（7つのミレニアム懸賞問題の一つ）の解を生成したと。この発表は、功績の配分や、その結果に対する人間と機械のそれぞれの貢献についての議論を巻き起こしました。さらに、この発表は、人間の知的能力の象徴とされる分野における、以前のAIの功績との比較をさらに激化させました。最近の声明で、ナヴィエ＝ストークス問題の経緯に関わった数学者の一人であるTristan Buckmasterは、「これはディープ・ブルー対カスパロフの瞬間だ」と書きました。

数学にとっての存在論的な問いが自然に続きます。もしAIが今や数学の最先端の問いに答えを提供できるなら、多くの人がチェスや囲碁について言ったように、この学問は「解決」されようとしているのでしょうか？チェスや囲碁のプレイヤーのように、数学者も単に「プレイし続ける」べきで、その実践を再編成すべきなのでしょうか？

「プレイし続ける」という応答には、何か正しいところがあります。哲学者C. Thi Nguyen（2019年）が主張しているように、ゲームをプレイする目的は、その目標（勝利）によって使い果たされるわけではありません。本当のポイントは結果だけでなく、プロセスです。これは、チェスよりも、例えばパーティーゲームであるツイスターの方がより明確かもしれません。ツイスターをプレイする目的は、確かに勝利ではありません。しかし、チェスや囲碁のような深い知的なゲームにも同様のことが当てはまります。例えば、囲碁をうまくプレイすることは、敗北の中での達成となり得ます。

しかし、数学の実践という文脈では、これは不必要な後退のように感じられます。代わりに、私たちはより強力な一手を選ぶことができます。それは、数学を、後退を必要とするかのように見せるゲームとして特徴づけることを拒否することです。

したがって、問題は、AIが最も難しい数学の問題に答えられるようになった後に何が来るか、ということだけではありません。それはまた、そもそも私たちが数学を行う際に何を目指しているのか、ということです。

AIが数学を「解決した」という物語は、魅力的でもっともらしいが、どちらも間違っている2つの仮定に基づいています。

1. AIは本当に数学の問題を解決した。
2. 数学は問題解決にすぎない。

最初の仮定は間違っています。なぜなら、数学の問題を真に解決するためには、単に答え（たとえ形式的に認証されたものであっても）を提供するだけでは不十分だからです。欠けているのは、人間の数学者が理解し、数学の目的を進歩させるために使用できる、知的な証明です。そして、以下で論じるように、たとえAIがそれを提供したとしても、物語は終わりません。なぜなら、2番目の仮定が間違っているからです。数学は明らかに、問題解決以上の、はるかに広範な営みです。数学者は、新しい概念や理論を開発し、新しい問いを立てて答えること、異なる分野を統一すること、学術コミュニティを教育し維持すること、そしてその美しさや深さによって価値のある作品を制作することを目指しています。

したがって、私たちは、AIが数学で人間を打ち負かすという物語を拒否し（そして拒否すべきです）、数学が本当に何であるか、そして私たちがそれをどうしたいのかを真剣に考え始めることができます。

すべての答えが解決策ではない

OpenAIは、ナヴィエ＝ストークス方程式が特異点を発生させうるかという問いに対する答えを生成しました。それは「はい」です。『銀河ヒッチハイク・ガイド』では、ディープ・ソートは「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問」に対する答えを生成しました。それは「42」でした。どちらも、私たちが望んでいたものとは exactly 異なりました。

もちろん、OpenAIは「はい」以上のものを提供しました。ディープ・ソートは数値を提示しただけでしたが、OpenAIは多くの人が証明と呼ぶことをいとわない2つの成果物を生成しました。1つ目は妥当性を認証するLeanの形式化です。これには、対応する非形式的な証明を含む原稿が添えられていました。では、なぜこれがまだ不十分なのでしょうか？その理由は、証明自体の根本的な概念に関係しています。

実際、証明には2つの概念があります。「論理的」概念と「知的」概念です。

現代論理学は、証明を演繹的妥当性の観点から特徴づけており、証明は、数学的議論の理解を必要としない機械的な手順によってチェックできます。Leanの形式化はこれらの基準を正確に満たしており、ナヴィエ＝ストークス問題の結果のLean形式化は、したがって、真剣で重要な貢献です。論理的な証明の概念の要求を満たすことによって、それは確実性を保証します。

しかし、数学者は証明に別のものを求めています。彼らは理解を求めています（Thurston 1994）。彼らは、命題がなぜ真であるかを知りたいのです。この種の知識は、彼らが把握し、他の専門家とコミュニケーションし、既存の知識と結びつけ、さらなる進歩に利用できる数学的なアイデアを扱います。これが証明の知的な概念です。現時点では、OpenAIの結果が、数学界に、知的な証明の概念から期待されるような価値を与えたかどうかは明らかではありません。

真の証明は、論理的かつ知的な証明の両方です。歴史的に、この2つの概念は一致する傾向がありました。なぜなら、数学者は、定理を真にする共有可能な主要なアイデアを理解せずに、途方もなく複雑な論理的証明を作成できなかったからです。論理的な証明の概念は、主に知的な証明の正しさを検証するために使用されていました（Burgess and De Toffoli 2022）。

しかし、AIを使えば、この2つの概念は劇的に乖離する可能性があります。私たちは、知的な証明から切り離された形式的な証明を持つことになるかもしれません。

これは形式証明への批判ではありません。逆の問題は少なくとも同じくらい深刻です。知的な数学的議論は、結果が実際に真であることを確立することに失敗しながら、壮大なアイデアを伝えることができます。JaffeとQuinn（1993年）は、Hakenの3多様体に対するThurstonの幾何化定理を例として有名にしました。不十分に完了した証明を伴う主要な洞察は、「インスピレーションというよりは障害」になり得ます。そして、HalesのFlyspeck形式化プロジェクトの動機の一つは、ケプラー予想のために提示された知的な（しかしチェックが難しい）証明が、確かに真の証明であったことを検証することでした（Hales et al. 2009）。

したがって、論理的または知的な概念のいずれかを満たさないことは、真の証明が道を切り開くところに障害を作り出します。真の数学的解決策には、論理的な正しさと知性の両方が必要です。

これは、7つのミレニアム懸賞問題の場合に特に明らかです。それらは、数学者が単に7つの「答え」を求めたからではなく、むしろ「実りある解決策」を求めたから選ばれたのではありません。クレイ数学研究所自身が、ナヴィエ＝ストークス方程式の文脈で証明がなぜ重要なのかを説明しています。「証明は確実性だけでなく、理解も与えるからです。」

OpenAIが私たちに与えたものは答えです。しかし、それが実りある解決策を提供したかどうかは明らかではありません。おそらく、そうであったことが判明するかもしれませんが、現時点では、状況は明らかではありません。真の解決策は、結果を信じるための十分な根拠を提供すると同時に、その結果が数学者によって理解され実践されている数学の一部となることを可能にする知的な数学的議論を提供します。

それにもかかわらず、もしOpenAIが提供したものが単なる答えであることが判明した場合、それは数学が直面している存在論的な脅威を払拭するには十分ではありません。将来のAIシステムは、形式的に認証され、数学者にとって完全に知的な、真の証明を生成する可能性が高いです。したがって、数学がAIによって「解決されようとしている」という現在の懸念は、単に真の解決策を求めることによって完全に払拭されるわけではありません。

「数学を解く」には解決策以上のものが必要

もし将来のAIシステムが、「マスター」数学者によって生成されるような、論理的に正しく知的な真の証明を生成した場合でも、数学がチェスや囲碁のように「解決された」と考えるのは依然として不正確でしょう。

チェスや囲碁では、人間と機械の間で根本的に不均衡な競争を受け入れています。なぜなら、関連する意味で、両者は同じゲームをプレイしているからです。

しかし、数学はゲームではありません（少なくとも、それだけではありません）。まず、勝者はいません。数学は、決定的な勝利条件を持つ敵対的なゲームではありません。数学者は、名声、賞、仕事、功績のために互いに競争しているというのは確かに真実です。チェスプレイヤーもそのようなことをします。しかし、チェスプレイヤーはチェスで勝利もします。数学でそれに相当する条件はありません。数学的なチェックメイトはありません。

数学では、AIを競争相手ではなくアシスタントとして扱う方が自然です。Jeremy Avigad（2026年）が述べているように、「AIは私たちの目的のために設計された技術にすぎないことを心に留めておくべきです。数学者がAIと競争していると考えるのは誤解です。車を運転するとき、私たちはどちらが速く走れるかを競っているわけではなく、電話を使うとき、どちらがより大声で話せるかを競っているわけではありません。」

しかし、競争という枠組みには、より深く、そして多くの意味で優先される問題があります。それは、数学的な成功を問題解決という活動によって測定されるべきであるという仮定を受け入れることを必要とします。

真のните問題解決は、確かに数学の主要な目的の一つです。しかし、それは唯一の目的ではありません。数学は、学術コミュニティによって関与され、解釈され、消化される知識の体であり、抽象的な結果の登録簿ではありません。この単純な点は、数学の哲学における一つの運動全体、すなわち数学的実践の哲学を動機づけてさえいます。

Terence Tao（2026年）は、問題解決を超えた数学の多くの目標を挙げています。これらには、新しい理論や技術の開発、世界を理解すること、コミュニティを維持すること、次世代の数学者を訓練すること、累積的な知識に貢献すること、そして美的価値のある作品を創造することが含まれます。もちろん、これらは真の解決策と正の相関があります。

しかし、AIは、それが証明の2つの概念を分離するのと同じ理由で、その相関を壊します。したがって、たとえ真の解決策であっても、私たちを満足させることはないでしょう。

これはゴールポストを動かしているのではなく、特定のゴールポストがいかに不十分であるかを認識しているのです。もし数学がゲームなら、それは無限のゲームです。

この態度は時代遅れではありません。私たちは、論理的に定理を確立することが真の証明に十分であるという譲歩と、「数学のためのAI」を定理証明に還元することの両方を拒否します。これを受け入れることで、AIが人間の数学的な繁栄を支援する多くの機会を見つけることができるかもしれません。

事後

OpenAIの発表が正しいとすれば、これは並外れた成果であることは否定しません。しかし、それがどのような種類の成果であるかについては、明確になるべきです。現時点では、それは解決策ではなく、答えです。そして、たとえ将来的にその結果が真の解決策であることが明らかになったとしても、数学の実践において、解決策がすべてではないと私たちは論じてきました。

数学において何を価値あるものと見なすかを再考する緊急性は、すでに数学界で認識されています。最近の宣言（当初は25人のフィールズ賞受賞者が署名）で、数学者たちはAI企業と数学界の目標との間に「深刻な不一致」があると警告しています。

数学者は、自分たちの規範をさらに検討する必要があります。優先順位の規範はここでは問題ではありません（それはおそらく別の問題ですが）。真の解決策と答えを区別できない現在の失敗、そして問題解決のみにますます焦点を当てることは、問題です。この思考様式は、数学における現在のクレジット経済に触発されており、David Bessisが最近彼のブログで議論したように、クレジット経済は再考される必要があります。

AIは数学に終わりではなく、数学的実践がどうなるべきかについての選択肢を提示します。もし数学的な成功が、ベンチマークしやすく自動化しやすい特徴にあまりにも密接に同一視されるようになると、数学はそのような特徴に適応するという危険を冒します。

代わりに、数学者がAIを、その長年の中心的な人間の目的を推進するための技術として扱うならば、その技術は、この分野の加速された繁栄と豊かさに貢献する可能性があります。したがって、重要な問題は、AIが数学者を打ち負かすかどうかではなく、私たちがAIにどのような数学的な目的を奉仕させたいかということです。

事後に残るのは、機械がすべての本当の問題を食い尽くした後に人間が争奪する残骸だけではありません。むしろ、それは数学が何であるかを明確にする機会です。私たちは再び、数学を行う際に何を目指しているのかを問うべきです。

（このテキストの拡張版は別の場所で公開されます。）