数学と物理学の関係について（ポール・ディラック）

物理学者が自然現象を研究する上で、進歩を遂げるための二つの方法があります。(1) 実験と観察の方法、そして (2) 数学的推論の方法です。前者は単に選択されたデータの収集であり、後者はまだ行われていない実験に関する結果を推論することを可能にします。第二の方法がそもそも可能であることには論理的な理由はありませんが、実際にはそれが機能し、合理的な成功を収めていることがわかっています。これは、自然の何らかの数学的な性質に起因するものと見なされるべきであり、その性質は自然を casual に観察する者には疑わしいかもしれませんが、それにもかかわらず自然の計画において重要な役割を果たしています。

自然の数学的な性質は、宇宙がその記述において数学が有用な道具となるように構成されている、と言うことで説明できるかもしれません。しかし、最近の物理科学の進歩は、この説明が些か軽薄すぎることを示しています。数学と宇宙の記述との関連は、これよりもはるかに深く、それを理解するには、それを構成する様々な事実を徹底的に検討する必要があります。私の話の主な目的は、その理解を提供することです。物理学者のこの主題に関する見解が、最近の物理学の発展の連続によってどのように徐々に変化してきたかを扱い、その後、未来についての少しばかりの推測をしたいと思います。

出発点として、前世紀に一般的に受け入れられていた物理科学の体系、すなわち機械論的な体系を取り上げましょう。これは、宇宙全体を（もちろん極めて複雑な）力学系であり、本質的にニュートン型運動法則に従うものとみなします。この体系における数学の役割は、運動法則を方程式で表現し、観測された条件に対応する方程式の解を得ることです。

数学を物理学に応用する上での支配的な考え方は、運動法則を表す方程式が単純な形式であるべきだということです。この体系の成功は、単純な形式の方程式が実際に機能するように見えるという事実に起因しています。したがって、物理学者は単純性の原理を提供され、それを研究の道具として使用できます。もし彼が、いくつかの粗い実験から、特定の単純な方程式に大まかに適合するデータを取得した場合、より正確に実験を行えば、方程式により正確に適合するデータを取得できると推論します。しかし、この方法は、単純性の原理が運動の基本法則にのみ適用され、自然現象全般には適用されないため、大きく制限されます。例えば、一定温度での気体の圧力と体積の関係に関する粗い実験は、逆比例の法則に適合する結果をもたらしますが、より正確な実験がこの法則をより高い精度で確認すると推論するのは誤りです。なぜなら、ここでは運動の基本法則と直接的な関係があまりない現象を扱っているからです。

相対性理論の発見により、単純性の原理を修正する必要が生じました。おそらく運動の基本法則の一つである重力の法則は、ニュートンによれば非常に単純な方程式で表されますが、アインシュタインによれば、その方程式を書くことさえ複雑な技術の開発を必要とします。確かに、高等数学の観点からは、アインシュタインの重力の法則がニュートンよりも実際に単純であるという見方を支持する理由を与えることはできますが、これには単純さという言葉にかなり微妙な意味合いを持たせる必要があり、それは単純性の原理の、物理学の基礎を探求する研究道具としての実用的な価値を大いに損なうことになります。

相対性理論が、単純性の原理に反しているにもかかわらず、物理学者にとってそれほど受け入れられているのは、その偉大な数学的美しさのためです。これは、芸術における美しさと同様に定義することはできませんが、数学を学ぶ人々は通常、それを理解するのに苦労しません。相対性理論は、自然の記述に前例のないほど数学的美しさをもたらしました。特殊相対性理論は、時空連続体がガリレイ群からローレンツ群への変換群の対象となる、と述べることで、空間と時間に関する我々の考え方を変更しました。後者の群は、前者よりもはるかに美しいものです。実際、前者は後者の退化した特殊なケースとして数学的に呼ばれるでしょう。一般相対性理論は、さらに同様の性質を持つもう一つのステップを含んでいますが、この時の美しさの増加は、通常、特殊相対性理論ほど大きくはないと考えられており、その結果、一般相対性理論は特殊相対性理論ほど確固たる信念を持たれていません。

我々は今、単純性の原理を数学的美しさの原理に変えなければならないことがわかります。研究者は、自然の基本法則を数学的な形で表現しようとする努力において、主に数学的美しさを追求すべきです。彼は、美しさを副次的なものとして、単純さも考慮に入れるべきです。（例えば、アインシュタインは重力の法則を選ぶ際に、時空連続体と両立する最も単純なものを選び、成功しました。）単純さと美しさの要件が同じであることがよくありますが、それらが衝突する場合には、後者が優先されなければなりません。

今世紀の物理学思想における第二の革命、すなわち量子論に移りましょう。これは、ニュートンとは本質的に異なる種類の力学に基づいた原子現象の理論です。この違いは、量子力学における動的変数が、乗法の可換公理が成り立たない代数に従う、と述べることで、簡潔かつ抽象的な方法で表現できます。これ以外では、量子力学と古い力学との間には、非常に密接な形式的類似性があります。実際、古い力学が非可換代数の一般化にどれほど適応できるかは驚くべきことです。古い力学のすべてのエレガントな特徴は、新しい力学にも引き継がれ、そこでさらに増強された美しさで再び現れます。

量子力学は、物理理論に純粋数学の広大な新しい領域、すなわち非可換乗法に関連する全領域を導入することを要求します。これは、相対性理論による新しい幾何学の導入の上に積み重なり、継続が期待される傾向を示しています。将来、物理学の進歩に対処するために、さらに大きな純粋数学の領域が必要になると予想できます。

純粋数学と物理学はますます密接に関連していますが、その方法は異なります。この状況は、数学者は自分でルールをinvent するゲームをプレイし、物理学者は自然によってルールが与えられるゲームをプレイする、と説明できます。しかし、時間が経つにつれて、数学者が見つけるルールが自然が選んだルールと同じであることがますます明らかになります。このすべてがどのような結果をもたらすかを予測することは困難です。おそらく、二つの主題は最終的に統一され、純粋数学のすべての分野が物理的な応用を持つようになり、物理学におけるその重要性は数学におけるその興味に比例するでしょう。現時点では、最も初歩的な問題でさえ、この段階にはほど遠いです。例えば、物理学では四次元空間のみが重要ですが、他の次元を持つ空間は数学では同程度の興味があります。

しかし、この不一致は現在の知識の不完全性に起因する可能性があり、将来の発展により、四次元空間が他のすべての空間よりもはるかに大きな数学的興味を持つことが示されるかもしれません。

数学と物理学の統一への傾向は、物理学者にその主題の基礎を探求するための強力な新しい研究方法を提供します。この方法はまだ成功裏に適用されていませんが、将来その価値が証明されると確信しています。その方法は、新しい理論の基礎を形成すると考えられる数学の分野を選択することから始まります。その選択は、数学的美しさの考慮によって大いに影響されるべきです。また、変換群がその根底にある数学の分野を優先することも良いでしょう。なぜなら、変換は現代の物理理論において重要な役割を果たしており、相対性理論と量子論の両方が、方程式よりも変換の方がより根本的な重要性を持つことを示しているように見えるからです。数学の分野を決定したら、適切な線に沿ってそれを発展させ、同時にそれが物理的な解釈に自然にどのように適合するかを探すべきです。

この方法は、非結合的な乗法を持つ代数を基盤とした改良された量子理論を得ようとするジョーダンの試みで使用されました。この試みは、非結合代数が特に美しい数学の分野ではなく、興味深い変換理論とも関連がないことを考慮すると、予想通り成功しませんでした。私は、改良された量子理論を得るための、より有望なアイデアとして、複素数変数の関数論を基盤として取ることを提案したいと思います。この数学の分野は例外的な美しさを持ち、さらに、複素平面における変換群は、特殊相対性理論の時空を支配するローレンツ群と同じです。したがって、複素数変数の関数論と特殊相対性理論の時空との間に、深く横たわる関連が存在する可能性が示唆され、その解明は将来の困難な課題となるでしょう。

自然における数学的性質の範囲について議論しましょう。機械論的な物理学の体系またはその相対論的な修正によれば、宇宙の完全な記述には、運動方程式の完全な系だけでなく、初期条件の完全なセットも必要であり、数学理論が適用されるのは後者のみです。後者は理論的な扱いには適さないと考えられ、観察からのみ決定できるとされます。

宇宙の途方もない複雑さは、初期条件の途方もない複雑さに起因するとされ、それは数学的な議論の範囲を超えています。

私はこの立場を哲学的に非常に不満に感じています。なぜなら、それは自然の統一性というすべての考え方に反するからです。いずれにせよ、宇宙の記述の一部にのみ数学理論が適用されるのであれば、その部分は残りの部分から明確に区別されるべきです。しかし実際には、線を引く自然な場所はないようです。物理学の素粒子の性質、それらの質量、およびそれらの力の法則に含まれる数値係数のようなものは、数学理論の対象となるのでしょうか？狭い機械論的な見方によれば、それらは初期条件として数えられ、数学理論の外にあるべきです。しかし、素粒子はすべて、いくつかの明確なタイプの一つに属しており、一つのタイプのメンバーはすべて完全に同一であるため、ある程度は数学法則に従わなければならず、ほとんどの物理学者は現在、それをかなり大きな程度と考えています。例えば、エディントンは質量の説明を構築しています。しかし、素粒子のすべての性質が理論によって決定可能であると仮定しても、どこで線を引くべきか分からないでしょう。なぜなら、次の質問に直面することになるからです。様々な化学元素の相対的な存在量は理論によって決定可能なのでしょうか？原子的な質問から天文学的な質問へと移行していくでしょう。

この不満足な状況は、新しい量子力学によって悪化します。量子力学と古い力学との間には、数学的な形式に関して大きな類似性があるにもかかわらず、それらの物理的な結果の性質に関して劇的に異なります。古い力学によれば、あらゆる観測の結果は決定論的であり、与えられた初期条件から理論的に計算できます。しかし、量子力学では、量子ジャンプの発生の可能性に関連して、観測結果には通常不確定性が存在し、理論的に計算できることは、特定の С結果が得られる確率です。特定の С結果が特定の Сケースで得られるかどうかという問題は、理論の範囲外です。これは理論の不完全性に起因するものではありませんが、量子力学で使用されているような形式の応用には不可欠です。

したがって、量子力学によれば、宇宙の完全な記述には、運動法則と初期条件だけでなく、量子ジャンプが発生する各 Сケースでどの量子ジャンプが発生するかについての情報も必要です。後者の情報は、初期条件とともに、宇宙の記述のうち数学理論の範囲外の部分に含まれる必要があります。

これにより、宇宙の記述の非数学的な部分が増加することは、量子力学に対する哲学的な異議を唱えるものとなり、一部の物理学者がこの力学を受け入れるのに依然として苦労している根本的な理由であると私は信じています。しかし、量子力学は、まず、実験との非常に広範かつ詳細な一致のために、そして第二に、それが観測結果に導入する不確定性が、哲学的に満足のいく性質のものであり、小規模な実験で利用可能な手段の避けられない粗さとして容易に帰属できるため、放棄されるべきではありません。それでも、この異議は、物理学の基礎が最終的な形にはほど遠いことを示しています。

今世紀の物理科学の第三の偉大な発展、すなわち新しい宇宙論に移りましょう。これは、相対性理論や量子論よりも哲学的にさらに革命的になる可能性がありますが、現時点ではその完全な意味合いをほとんど認識できません。出発点は、遠方の天体のスペクトルにおける観測された赤方偏移であり、それらが距離に比例した速度で我々から後退していることを示しています。

過去に遡ると、約20億年前、宇宙のすべての物質が非常に小さな体積に集中していた時代に行き着きます。まるでその時に爆発が起こり、その破片が現在も外側に散らばっているのを観測しているかのようです。この絵はルメールによって精緻化され、彼は宇宙が単一の非常に重い原子として始まり、激しい放射性崩壊を起こして現在の天体コレクションに分解され、同時に宇宙線を放出したと考えています。

この種の宇宙論的な絵では、時間の始まりがあったと仮定することになり、それ以前に何が起こったかを問うことは無意味になります。その幾何学的な関係の概略は、現在を球の表面と想像し、過去へ行くことを球の中心に向かって進むこと、未来へ行くことを外側へ進むことと想像することで理解できます。未来へはどこまでも行くことができますが、過去へは、球の中心に到達したときに対応する限界があります。時間の始まりは、任意の出来事の時間を測定するための自然な原点を提供します。その結果は通常、その出来事のエポックと呼ばれます。したがって、現在のエポックは20億年です。

ここで力学的な問題に戻りましょう。新しい宇宙論では、宇宙は非常に単純な方法で開始されたに違いありません。では、力学理論に必要な初期条件はどうなるのでしょうか？明らかに、それらは存在しないか、あるいは些細なものでなければなりません。我々は、古い力学では維持できない状況に取り残されます。もし宇宙が、単に運動方程式の特定の体系と些細な初期条件から続く運動であったなら、観測される複雑さを含むことはできなかったでしょう。量子力学は、この困難からの脱出を提供します。それは、複雑さを、運動方程式の体系の外にある量子ジャンプに帰属させることを可能にします。量子ジャンプは今や、古い機械論的な見方の初期条件に取って代わる、自然現象の計算不可能な部分を形成します。

新しい宇宙論に関連するもう一つの点は注目に値します。時間の始まりにおいて、自然法則は現在とは非常に異なっていた可能性が高いです。したがって、我々は自然法則を、時空全体にわたって均一に適用されるものとしてではなく、エポックとともに絶えず変化するものとして考えるべきです。この考えは、ミルンによって最初に提唱され、彼は宇宙があるエポックにおいてほぼどこでも均一で球対称であるという仮定に基づいてそれを展開しました。私はこれらの仮定をあまり満足できるものではないと考えています。なぜなら、局所的な不均一性からの逸脱は非常に大きく、我々の生命の世界にとって本質的に重要であるため、それらを覆い隠す均一性の原理があるとは考えにくいからです。さらに、自然法則がエポックに依存するとすでに考えているのであれば、相対性理論の美しい考え、すなわち空間と時間との間に根本的な類似性があるという考えを維持するために、それらが空間的位置にも依存すると期待すべきです。これは、物質分布の単なる不均一性よりも、ミルンの仮定にさらに劇的に反します。

我々は、現在までの数学と物理学の関係の発展の主要なコースをたどり、現在、未来についての推測に耽ることが興味深くなる段階に達しました。関係には常に不満足な特徴がありました。すなわち、数学理論が物理宇宙の記述に適用できる範囲の限界です。適用されない部分は、量子力学の登場で増加し、新しい宇宙論の登場で減少しましたが、常に残っていました。

この特徴は非常に不満足であるため、たとえそれが我々の通常の考え方に劇的な変化をもたらすとしても、将来消滅すると予測しても安全だと私は思います。それは、宇宙の記述全体が数学的な対応を持つ体系の存在を意味し、数学の完全な知識を持つ人は、天文学的なデータだけでなく、世界で起こるすべての歴史的な出来事、最も些細なものさえも推論できると仮定しなければならないでしょう。もちろん、これらの推論を実際に行うことは人間の力では不可能でしょう。なぜなら、未来の出来事を計算できるなら、我々が知っているような人生は不可能になるからです。しかし、それらを行う方法は明確に定義されている必要があります。その体系は、単純性の原理に従うことはできません。なぜなら、それは極めて複雑でなければならないからです。しかし、それは数学的美しさの原理に従うかもしれません。

そのような体系がどのように実現されるかについて、一つの提案をしたいと思います。現在のエポック、20億年を、原子定数によって定義される時間の単位で表現すると、10^39 のオーダーの数値が得られ、これは現在を絶対的な意味で特徴づけます。現在のすべての出来事がこの大きな数の性質に対応しているのではないでしょうか？そして、より一般的には、宇宙の歴史全体が自然数のシーケンス全体の性質に対応しているのではないでしょうか？一見すると、宇宙はこのような対応が可能であるにはあまりにも複雑すぎるように思われるでしょう。しかし、私はこの反対意見は維持できないと思います。なぜなら、10^39 のオーダーの数は、非常に巨大であるため、過度に複雑だからです。それを書き留める簡単な方法がありますが、それはそれが過度に複雑な性質を持っているという事実を我々から隠すべきではありません。

したがって、哲学者が古くから夢見てきた、すべての自然を整数の性質と結びつけるという考えが、いつか実現される可能性があります。そのためには、物理学は、対応をどのように行うかの詳細を確立するために、長い道のりを開発する必要があります。この開発のための手がかりの一つは非常に明白です。すなわち、現代数学における整数の研究は、複素数変数の関数論と切り離せないほど結びついており、この理論は、将来の物理学の基礎を形成する良い機会があることをすでに見てきました。この考えを推し進めることは、原子論と宇宙論との間の関連につながるでしょう。

• 後退速度は厳密には証明されていません。スペクトル赤方偏移の他の原因を仮定することも可能です。しかし、新しい原因はおそらく宇宙論的理論に同様に劇的な影響を与えるでしょう。また、その数学的議論のために20億年オーダーのパラメータの導入が必要になるでしょう。したがって、おそらく本文の議論の本質的なアイデアを妨げることはないでしょう。