逆二乗の法則

逆二乗の法則 サリーが彼女のマーブを失う話。 2026年9月14日 1292 共有 エレクトロニクスに手を出すことがあるなら、逆二乗の法則として知られるものについて聞いたことがあるかもしれません。この法則は、多くの種類の物理現象の強度が、源からの距離の二乗とともに減少すると述べています。例えば、電球から2倍遠ざかると、携帯型光度計は輝度の4倍の低下を記録します。これは音、無線送信などにも当てはまります。 しかし…なぜでしょうか？強度が源からの距離に直接比例して低下する方が自然ではないでしょうか？あるいは、3次元空間での散乱に関するものであれば、距離の三乗になるべきではないでしょうか？それを解き明かしてみましょう。 球の作成 問題を先送りするのではなく、答えを得るためには、球の表面積の公式から始める必要があります。学校で、この方程式が S_{球} = 4 ext{π} r^2 であることを思い出すかもしれません。とはいえ、この公式がどこから来るのかを先生が説明したことはないでしょう。そして、初等数学における多くの「明白な」概念と同様に、その答えは、古代ギリシャの時代から知られていたとしても、それほど明白ではありません。 始めるために、長方形の紙の端を貼り合わせて作られた薄い管（キャップのない円筒）を想像してください。 円筒の構築。 円筒を作るために、長方形を押しつぶしたり伸ばしたりする必要はなかったので、このプロセスは表面積を保存しました。このキャップのない円筒の外側の表面は、高さ（h）に、かつては幅（w）で今は円周であるものを掛けたものです。 次に、半径rの球を取り、それを同じ円周と高さを備えたこのフィットした円筒の中に配置します。 球のパッキング。 球の半径はrなので、その円周、したがって円筒の円周は2πrです。これはπが一般的にどのように定義されるかという問題です。 円筒の高さは球の直径、つまり半径の2倍に等しくなります。円筒の外側の表面積は円周に高さを掛けたものであることがわかっているので、Stube = 4πr^2と書くことができます。ほら、それは学校で内接球のために与えられたのと同じ公式です。しかし…どうしてでしょうか？ これを理解するために、円筒の外側の表面に、各正方形のサイズをa × aとするタイルを敷き詰めることを想像してください。 球のための牢獄。 これにより、円筒の近似が得られます。タイルのサイズを小さくすることで、近似のエラーをいくらでも減らすことができます。この洗練プロセスの極限では、aが無限小（無限に小さい）になると、作成しようとした形状の正確な寸法と曲率に収束します。 このタイルベースのいわゆる円筒の各正方形の4つの角は、球の対称軸に向かって投影でき、水平座標は中心に収束し、垂直成分は変更されません。この投影は、表面で角度をなすウェッジです。 ウェッジ。 円筒を構成する外側の各正方形に対してこのプロセスを繰り返すと、きれいにテッセレーションされた球（左）が得られます。 球のテッセレーション。 このレンダリングでは、結果として得られる各セグメントは著しく湾曲しています。それらを平らな多角形のタイル（右）に置き換えると、形状が狂ってしまいます。とはいえ、ここでも、円筒側のより細かいパターンのタイルを投影することで、このタイリングの精度を任意に向上させることができます。極限では、平坦な近似は完全な球に収束します。 球のより細かいテッセレーション。 ここまでの内容をまとめると、外側の表面積が既知で計算しやすい円筒（Stube = 4πr^2）を取りました。次に、サイズaのいくつかの正方形タイルでそれを近似しました。タイルの数は理想的には無限大に「向かいます」が、この記事の図解ではまだ道のりがあります。各タイルの表面積はa^2です。 また、円筒側の各タイルを、内接球（半径r）の表面に構築された多角形タイルにマッピングしました。円筒側の各タイルは、何らかの球側の多角形に対応し、隙間や重複はありません。次のタスクは、これらの新しく作成された多角形の表面積を明らかにすることです。 一見すると、多角形は長方形のように見えますが、実際には二等辺台形です。赤道より北では上辺が狭く、南ではその逆です。とはいえ、単純な幾何学的再配置により、任意の台形の表面積が同じ中間幅の長方形の表面積に等しいことを示すことができます。 二等辺台形の表面積はw × hです。 言い換えれば、中間幅wとhを明らかにすればよいのです。水平方向の寸法から始めることができます。上から見ると、ウェッジは三角形です。円筒の表面（常に中心軸から距離r）では初期スパンはaですが、軸に近づくにつれてゼロに収束します。 ウェッジとその交差、上面図。 dを中心軸から球側多角形の中間点までの距離とすると、交差部分の幅は、aを取り、dがrに対してどのくらいの割合かによってスケーリングすることで簡単に計算できます。 w = a ⋅ d/r dはわかりませんが、実際には必要ありません。この項は後でキャンセルされます。 球側台形の面積を計算するには、その高さも知る必要があります。これは少しトリッキーです。横から見ると、ウェッジは長方形ですが、球上の多角形は緯度によって傾いている可能性があります。 ウェッジ、側面図。 図では、多角形の中央の仰角に対応する角度αをマークしました。基本的な三角法から、青い水平線（d）と緑の対角線が交差する場所にも同じ角度が期待されるはずなので、この場所もマークしました。 y軸とともに、セグメントdとrは逆さまの三角形を形成します（挿入図参照）。この直角三角形は、斜辺の長さがrで、隣辺の長さがdです。余弦の定義から、これらの値の比はcos(α)と同じです。 cos(α) = 隣辺/斜辺 = d/r 次に、ウェッジの遠端にズームインしてみましょう。 ウェッジクローズアップ、パート1。 緑の対角線は球の中心から始まるため、必然的に表面に90°の角度で近づきます。以前から、このセグメントと青い水平線の間の内角はαであり、これらの角度の合計（青い水平線からオレンジ色の投影への下向きの測定）は明らかに90° + αです。 その結果をマークし、半径線を取り除き、上から垂直セグメント（明るい緑）をぶら下げます。 ウェッジクローズアップ、パート2。 この画像では、未知の角度βもマークしました。水平線と傾いた投影の間の角度は90° + αであり、βはそこから90°を引いたものです。つまり、β = αです。 これで、 shaded right triangle を見ることができます。上隅から見ると、その斜辺（オレンジ、対角線）は傾いた投影の高さ（h）に等しく、隣辺（緑、垂直）はウェッジの高さ（a）と同じです。これらのセグメント間の角度はαなので、ここでも余弦の定義から、次のように書くことができます。 cos(β) = cos(α) = 隣辺/斜辺 = a/h 以前の分析によると、cos(α) = d / r であることもわかっています。これにより、余弦を消去し、hについて解くための代入を行うことができます。 代入後： a/h = d/r 両辺をaで割る： 1/h = d/(a ⋅ r) 分数をひっくり返す： h = a ⋅ r/d 台形の幅はw = a ⋅ d/rと以前計算しましたが、今ではh = a ⋅ r/dであることがわかっています。しかし、本当に興味があるのはその表面積、h × wです。この掛け算はdとrをキャンセルします。 S_{台形} = w ⋅ h =