逆二乗の法則

逆二乗の法則

電子工学に触れていると、「逆二乗の法則」という言葉を聞いたことがあるかもしれません。この法則は、多くの種類の物理現象の強度が、源からの距離の二乗に反比例して減少すると述べています。例えば、電球から2倍遠ざかると、携帯型光度計は輝度が4分の1に低下したことを示すでしょう。これは音や無線送信などにも当てはまります。

しかし、なぜでしょうか？ 源からの距離に直接比例して強度が低下する方が自然ではないでしょうか？ あるいは、3次元空間での散乱に関するものであれば、距離の立方に反比例するはずではないでしょうか？ 考えてみましょう。

球の作り方

問題を先送りしない答えを得るには、球の表面積の公式から始める必要があります。学校で覚えているかもしれませんが、その式は次のとおりです。

(S
ope{sphere} = 4 \pi r^2)

とはいえ、先生がこの公式の由来を説明したことはないでしょう。初等数学における多くの「明白な」概念と同様に、この古代ギリシャの時代から知られている答えは、それほど明白ではありません。

本当の答えを知るには、覚悟を決めて、長方形の紙の端を貼り合わせて作った薄い管（キャップのない円筒）を想像してください。

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紙の円筒の作成。

円筒を作るにあたり、長方形を押しつぶしたり伸ばしたりする必要はなかったので、表面積は保たれました。このキャップのない円筒の外側の表面積は、高さ（h）に、かつての幅（w）で現在の円周を掛けたものです。

次に、半径rの球を用意し、それを同じ円周と高さを持ち、ぴったり合う円筒の中に入れます。

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球のパッキング。

球の半径はrなので、その円周、したがって円筒の円周は 2𝜋rです。これは𝜋の一般的な定義にすぎません。

円筒の高さは球の直径、つまり半径の2倍に等しくなります。円筒の外側表面積は円周×高さであることを知っているので、Stube = 4𝜋r2と書くことができます。ほら、学校で与えられた内接球の公式と同じです。しかし…どうしてでしょうか？

これを理解するために、円筒の外表面に、それぞれa × aの大きさの正方形を敷き詰めることを想像してください。

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球の牢獄。

これにより円筒の近似が得られます。タイルを小さくすることで、近似の誤差をいくらでも減らすことができます。この洗練プロセスが極限に達し、aが無限小（無限に小さい）になると、作成しようとした形状の正確な寸法と曲率に収束します。

このタイル状の円筒の各正方形の4つの角は、球の垂直対称軸に向かって投影でき、水平座標は中心に向かって収束し、垂直成分は変化しません。この投影は、球の表面とある角度で交差する楔（くさび）になります。

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楔。

円筒を構成する外側の各正方形に対してこのプロセスを繰り返すと、きれいにテッセレーションされた球（左下）が得られます。

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球のテッセレーション。

このレンダリングでは、結果として得られる各セグメントは著しく湾曲しています。それらを平坦な多角形タイル（右）に置き換えると、形状が崩れます。しかし、ここでも、円筒側のタイルのより細かいパターンを投影することで、このタイリングの精度を任意に向上させることができます。極限では、平坦な近似は完全な球に収束します。

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球のより細かいテッセレーション。

ここまでの内容をまとめると、面積が計算しやすい既知の値である 4𝜋r2の円筒の外表面を、a × aの正方形タイルに分割しました。次に、これらの各タイルを、半径rの球の表面に描かれた対応する多角形にマッピングしました。各円筒側正方形は、何らかの球側多角形にマッピングされます。隙間も重なりもありません。次のタスクは、これらの新しく作り出された多角形の表面積を明らかにすることです。

一見すると、多角形は長方形に見えますが、実際には二等辺台形です。赤道より北では上辺が狭く、南ではその逆になります。しかし、単純な幾何学的再配置により、任意の台形の表面積が、同じ中間幅を持つ長方形の表面積に等しいことを示すことができます。

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二等辺台形の表面積は w × h。

言い換えれば、中間幅wと高さhを特定するだけでよいのです。水平方向から始めましょう。上から見ると、球を貫く楔は三角形です。円筒の表面（常に中心軸からrの距離）では初期の幅はaですが、軸に近づくにつれてゼロに収束します。

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楔とその交差部分、上面図。

dを中心軸から球側多角形の中間点までの距離とすると、交差部分の幅は、aを取り、dがrに対してどのくらいの割合かによってスケーリングすることで簡単に計算できます。

(w = a \cdot \frac{d}{r})

dは不明ですが、実際には必要ありません。この項は後で相殺されます。

球側台形の面積を計算するには、その高さも知る必要があります。これは少しトリッキーです。横から見ると、楔は長方形ですが、球上の多角形は緯度によって傾いている可能性があります。

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楔、側面図。

図では、多角形中心の仰角に対応する角度αをマークしました。基本的な三角法から、水平青線（d）と緑の斜線が交差する場所でも同じ角度になると予想されるため、この場所もマークしました。

y軸と共に、dとrでマークされた線分は、逆さまの三角形を形成します（挿入図参照）。この直角三角形は、斜辺の長さがr、隣辺の長さがdです。余弦の定義から、これらの値の比はcos(α)と同じです。

(cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{d}{r})

次に、楔の遠端にズームインしましょう。

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楔のクローズアップ、パート1。

緑の斜線は球の中心から発しているので、必然的に表面に90°の角度で近づきます。先ほどから、この線分と青い水平線の間の内角はαであることがわかっています。これらの角度の合計、つまり青い水平線からオレンジ色の投影までの下向きの測定値は、明らかに 90° + αです。

その結果をマークし、半径線を削除してから、垂直線分（明るい緑）を上から垂らしましょう。

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楔のクローズアップ、パート2。

この画像では、未知の角度βもマークしました。水平線と傾いた投影の間の角度は 90° + αであり、βはそこから90°を引いたものです。つまり、β = αです。

これで、陰影付きの直角三角形を見ることができます。上角から見ると、その斜辺（オレンジ、斜線）は傾いた投影の高さ（h）に等しく、隣辺（緑、垂直）は楔の高さ（a）と同じです。これらの線分間の角度はαなので、ここでも余弦の定義から、次のように書くことができます。

(cos(\beta) = cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{a}{h})

以前の分析によると、cos(α) = d / r であることもわかっています。これにより、余弦を消去し、hについて解くことができる代入ができます。

(\begin{array}{r l} \text{代入後:} & \large \frac{a}{h} = \frac{d}{r} \ \text{両辺を } a \text{ で割る:} & \large \frac{1}{h} = \frac{d}{a \cdot r} \ \text{分数をひっくり返す:} & h = a \cdot \frac{r}{d} \end{array})

台形の幅はw = a · d/rと以前計算しましたが、h = a · r/dであることがわかりました。しかし、本当に知りたいのはその表面積、h × wです。この掛け算でdとrは相殺されます。

(S
ope{trapezoid} = w \cdot h = a \cdot \cancel{\frac{d}{r}} \cdot a \cdot \cancel{\frac{r}{d}} = a^2)

この結果の重要性をもう一度理解しましょう。面積が 4𝜋r2の円筒の外表面を、a × aの正方形の数に分割しました。次に、これらの各正方形を、球の表面上の対応する多角形にマッピングしました。結果として、投影された各多角形は、元の正方形と同じ表面積 a2を持つことがわかりました。セグメントの数とそれらの表面積が同じままであれば、円筒の正方形ベースの近似と球の台形ベースの近似との間のマッピングは面積を保存すると結論付けなければなりません。したがって、ここに 4𝜋r2があります。

旦那、逆二乗の法則は…？

ん？ 誰だ？ 私はどこに？ ああ、そうだ。ごめん。

サリーがビー玉の箱を持っていて、床に落としてしまったと想像してください。ビー玉はあらゆる方向に散らばります。いくつかは都合よく底なしの穴に転がり落ちます。いくつ落ちるでしょうか？

サリーの床が1次元だった場合（私たちは裁きません）、穴までの距離は関係ありません。ビー玉の半分は左に、半分は右に転がります。どちらにしても、50%が穴に落ちます。

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ええ、1次元ですが、家賃は手頃です。

言い換えれば、底なし穴の住人が測定する「ビー玉の強度」は、源からの距離に依存しません。もし意地悪く言いたいなら、穴に落ちるビー玉の数は、距離のゼロ乗に反比例すると言うことができます。なぜなら、ゼロでない任意のdに対して d0 = 1 だからです。

次に、サリーが奮発して2次元の床にアップグレードしたとしましょう。この状況では、ビー玉が完璧に落とされた場合、円形の前面を形成するように広がるはずです。

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底なし穴から少なくとも8フィート離れてください。

この円の円周は距離に比例して増加しますが（2𝜋r）、地面のビー玉の数は変わりません。したがって、距離が2倍になると、底なし穴が飲み込めるビー玉の数は半分になります。

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穴は今夜はご馳走にありつけないでしょう。

したがって、2次元の世界では、底なし穴に住む人々が目撃するビー玉の強度の低下は、源からの距離の1乗に反比例して減少します。

しかし、サリーが無重力状態で激しくビー玉を失ったらどうなるでしょうか？ この場合、移動するビー玉の前面は円ではなく、3次元球の表面になります。以前と同様に、ビー玉の数は変わりませんが、それらが広がる面積は距離の二乗、つまり 4𝜋r2で増加します。したがって、逆二乗の法則となります。

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ビー玉は消えました。モデルクレジット：ingate。

1次元にはd0、2次元にはd1、3次元にはd2があります。4次元ではどうなるか推測できますか？

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