数学の始まり

数学の始まり

この記事は Proofs and Prompts にも掲載されています。

3年前、AIシステムは2つの数を正確に足すことさえできませんでした。1年前には、OpenAIとDeepMindの内部モデルがIMO（国際数学オリンピック）で金メダル級のスコアを獲得しました。現在、これらのシステムは主要な未解決問題を自律的に解決しています。この傾向がさらに1年続くとは想像しがたいですが、私は続くことを予想しています。これは、私たちの専門分野の根本的な再考を必要とすることは明らかです。

数週間前、私は数学の終わり というタイトルの講演を行いました。タイトルだけ[1]を読むと、この講演が、まもなくAIが数学を「解決」するということについて語るものだと推測するかもしれません。しかし、そうではありませんでした。この講演は、AIシステムが数学において堅牢に超人的な能力を持つ可能性があったとしても、私たちの制度設計が人間の数学的理解、そしておそらくは抽象的な数学的進歩さえも停滞させるという、暗い未来像を描き出しました。私はこの未来を回避できると考えていますが、学術数学が適応しない場合、それはもっともらしいデフォルトの未来でもあると考えています。数学におけるAIの利用に対して私が比較的熱心であるにもかかわらず、この見解は多くの反対者とも共有しています。

ここでは代わりに、数学、そして数学の実践における人間の未来について、肯定的なビジョンを提示したいと思います。私は、興味深い数学の生成がそれに依存しなくなるにつれて、人間の理解を深めることができると主張します。

この記事は、AIシステムが数学のほとんどまたは全ての側面において堅牢に超人的になるだろうという前提で進めます。しかし、私が提案する具体的な制度への変更は、数学的テキストの生成が数学的理解からますます切り離されつつあるという、より弱い前提を受け入れるだけで十分です。

そもそも私たちは何をしようとしているのか？

数学コミュニティ内で、私たちの目標が何であるかについて合意がないことは、今や明らかになったと思います。私たちの中には問題を解決したい者もいれば、数学を遊びや詩のように考えている者もいます。ある者にとっては、「Wir müssen wissen – wir werden wissen」[2]です。私たちの中には、プラトン的な領域の神秘を解き明かしていると考えている者もいます。私たちの中には、数学への愛と理解を具現化し[3]、その愛と理解を次世代に伝えることが目標だと考えている者もいます。

私の個人的な、自己言及的ではありますが、答えは以下の通りです。

1. 私たちは質の高い数学を生成し、理解しようとしています。
2. 私たちは質の高い数学者を育成しようとしています。

これらの目標は広く解釈されるべきです。質の高い数学とは何かという定義は、時間とともに劇的に変化してきました。私たちはコミュニティとして、その定義に至ります。私たちは単に数学の研究を行う博士課程の学生を訓練しているわけではありません。私たちの仕事の重要な部分（ただし、おそらく過小評価されている部分）は、質の高い数学と数学的思考について一般の人々を教育することです[4]。

私たちの目標が何であれ、私たちは主に定理を証明することを通じてそれを実行してきました。ほとんど全ての論文や博士論文には主要な定理があり、表向きはその証明があります。しかし、数学の目標は定理を証明することではないことは明らかであるべきです。もしそうなら、自動化は容易でしょう。コンピュータや猿は、公理系ZFCから始めて、その意味には一切注意を払わずに、演繹規則を繰り返し適用するだけで容易にそれを実行できます。特に、定理が未解決問題を解決した場合、それは大きな意味を持ちます。これもまた容易に自動化できます。私たちのコンピュータや猿は、アルファベット順に全ての数学的命題を列挙するだけでよいのです。

定理を証明し、未解決問題を解決できる技術に対する私たちのコミュニティの一般的な態度は、私たちの価値観のこれらの実行化が、せいぜい不完全であることを示唆しています。

全ての命題と、ZFCの全ての証明を列挙することによって数学を自動化するという見通しは、おそらくあなたにとってそれほど不穏なものではないでしょう。しかし、一時的に、そのコンピュータや猿が非常に賢いと仮定しましょう。おそらくそれは証明している結果を理解し、それについての美しい解説を書くでしょう。おそらくそれは、私たちが興味深いと感じるものについての良い感覚を持っており、主にそれらの問題に焦点を当てているでしょう。おそらくそれは、ZFCの定理を列挙する過程で、私たちの最も差し迫った未解決問題の多くを解決し、さらに多くの基本的な未解決問題に疑問を投げかけているでしょう。人間の数学者の必要性はまだあるでしょうか？

私はそう思います。この機械は私たちが価値を置く答えを生成するかもしれませんが、それ自体ではそれらの答えについての人間の理解を生成するわけではありません。実際、私は私たちが信じられないほど素晴らしい数学の爆発の始まりにいると考えており、もし私たちが人間の理解を大切にするなら、人間の数学者の必要性はこれまで以上に高まるでしょう。しかし、その専門職は変化しなければなりません。

この変化の過程で、私たちは何を保持し、何を捨てるかを決定しなければなりません。私が保存したいものの中には、学習セミナー、アイデアの火付け役となる偶然の会話、数学について話すために教授のドアをノックする学生があります。エキサイティングな新しい数学を学ぶ堅牢なコミュニティ。混乱をゆっくりと解決し始める何千人もの人々。

このトピックについて書かれたものの多く（私の過去の執筆の一部を含む）が、私たちの価値観そのものよりも、学術数学の制度の正確な形を保存しようとすることに焦点を当てすぎているのではないかと心配しています。ジャーナルと査読システムをどのように保存できるでしょうか？[5] arXivをどのように保護できるでしょうか？ゲートキーパーとしての私たちの役割をどのように維持できるでしょうか？既存のAIシステムが、わずかなコストで比較的質の高い結果を生み出すことができるという事実を内面化しているなら、現在の均衡のどんな痕跡も生き残れるという考えは不条理です。

新しい均衡を見つけようとするとき、私たちはモデルの能力の最先端を追いかけることができます。現在、AIシステムは理論構築、質問、解説などにおいて、私たちを下回っていると言えます。そのため、私たちはそれらのスキルを優先し、報酬を与えることができます。私はこれが賢明ではないと思います。アカデミーが適応する速度と、モデルの能力が向上する速度を比較してください。私たちは終局を考慮する必要があります。もしモデルがいくつかの領域で能力が低いままなら、後で調整できます。

比較的具体的なステップを提案する前に、私たちが数学を何から守ろうとしているのかについてコメントさせてください。AIラボや、それらのラボの特定の個人に対して多くの怒りがあります。しかし、ラボに対する私たちの判断がどうであれ、AIの能力が消滅することに依存しない計画が必要です。基本的な問題は、ラボの行動（倫理的であれそうでなかれ）ではありません[6]。それはテクノロジーそのものです。ラボが来年数学から「次に進む」とか、国有化されるか分割されるとか、金融バブルが弾けて何らかの形で正常に戻るとか…という考えが一部にあると思います。しかし、ラップトップと数百ドルを持つ人が誰でも去年のAnnals論文に相当するものを生成できる状況で、私たちの制度が変更されずに生き残る方法はありません。AIはあなたが反AIであるかどうかを気にしません。

高品質な数学者の育成

私たちの専門職が今すぐ答えなければならない最も緊急の質問は何でしょうか？それは、私たちの学生は何をすべきかということです。今や、自分が読んだことのない博士論文を生成することが可能です。理解を示すという点では、数学的なテキストは印刷されている紙の価値がある[7]からです。テキストの価値は、それを生成した人に関するシグナルを確実に伝えるものではなくなりました。

私の見解では、出所に関わらず、興味深い数学的結果を歓迎すべきです。しかし、私たちの制度は歴史的に、数学的進歩と数学的専門知識の両方を示すために同じシグナルに依存してきました。これらは今、区別されなければなりません。

私は数学の博士号の目標を以下のように再概念化することを提案します。それは、興味深く深いトピックについて世界的な専門家になり、その興味と理解を他者に伝えることができるようになることです。これを実行可能にする一部は論文かもしれませんが、学位は主に厳格な弁論に基づいて授与され、学生は試験官に満足するまでトピックを説明します。トピックが独創的であることを要求するかもしれませんが、その出所—AIであろうとなかろうと—は無関係です[8]。

これは現在の博士号とどのように異なるでしょうか？学生はまだ指導教員と会うでしょう。指導教員はトピックを提案するかもしれません。そのトピックはAIの支援を受けて、あるいは受けずに探求されるかもしれませんが、学生はそれを理解する責任を負います。それは現在典型的な博士号よりもはるかにオープンエンドで大規模なものになるかもしれません。学生は興味深い質問をしたり、あらゆる手段でそれを解決しようとしたりするように訓練されるでしょう。学生が順調に進んでいることを確認するために、学生が独立して馴染みのない例を解いたり、新しいケースにテクニックを適用したりする定期的な会議があるかもしれません。

私たちの仕事の配分的な側面（採用、大学院入学など）は、人間の数学的専門知識を維持したいのであれば、改革が急務です。広範に言えば、自動化できない仕事の部分（例：数学的理解）と、社会的・関係的な部分、そしてそれらの専門職の側面にできるだけ近い実行化に報酬を与えることに焦点を当てるべきです。例えば、講演や持続的な数学的議論は、現在では論文よりも理解度をはるかに良く示しています。AIシステムが解説や「消化」で向上するにつれて、これはさらに顕著になるでしょう。私たちはすでに教員採用の面接を行っています。大学院入学にも同様のことを行う必要があります。

私は、講演者が聴衆の満足するレベルでトピックを説明することが期待される、堅牢なセミナー文化を育成しようとすべきだと考えます。最近、私自身を含む多くの人々が、私たちが単なる命題の真偽値ではなく、主に理解に関心があるという事実について書いてきました。もしそうなら、私たちが実際にお互いを理解していることを確認しましょう。

現在、ある最低限の基準を超える数学を行うためのAIシステムの利用は、私たちのコミュニティが多くの未解決の推測を生み出してきたという事実に依存しています。その興味は、それを気にかける人間の数学者の存在によって証明されています[9]。この事実の最近の重要性は、私に、私たちのコミュニティが、おそらく過小評価してきた非常に重要な機能、すなわち、何が興味深いかを特定するという機能を持っていることを示唆しています。これをどのように実行化するかは私には完全には明らかではありませんが、一つの可能性は、AIシステムの助けを得て、あるいはそうでないとしても、それらの価値を説得する研究プログラムを構築することに報酬を与えることかもしれません。

明確にしておきますが、AIシステムが興味深い質問をしたり、興味深い推測をしたり、興味深いプログラムを追求したりできないと言っているわけではありません。おそらくそうなるでしょう。その結果、PDFが大量に生成されるでしょう。それらのPDFの内容の一部は、重要な応用を持つかもしれません。しかし、他のものは主に、基本的な数学的対象についての根本的な何かを私たちに教えてくれるという点で興味深く、私たちがそれらと関わり、関わることができる場合にのみ価値を蓄積します。それを行う研究者のコミュニティを構築することは、私たちの仕事であり、数学者をそれに報酬を与えるべきだと思います。たとえAIが優れた質問をしているとしても、それが私たちと同じ質問をするとは限りません。

これらの変化はすべて、私たちが数学について互いに話す量を増やすことを目的としています。AIが全く存在しない世界でも、これはポジティブなことだと思います。

この世界には、私のようにAIに熱心な数学者と、それを使わない数学者の両方のための場所があると思います。しかし、モデルが大量の数学を生成し始めると、その出力を完全に避けることは不可能になります。

高品質な数学の生成

私たちの専門職をどのように再構築するかを考える上で、好むと好まざるとにかかわらず[10]、アマチュアかプロフェッショナルかを問わず、ボタンを押して数学を生成するのを止めることは不可能であることを理解することが重要です。人々を数学で遊ぶのをやめさせようとか、「留学生のために」問題を確保できるという考えは、現実的ではありません[11]。そして、そうすべきではありません！

現在、歴史上のどの時期よりも数学への関心が高まっています。数学者のことや数学的専門知識について懸念を抱きつつも、数学そのもののために、私たちは大いに喜ぶべきです。そして、概して、このボタンを押すことの価値は数学コミュニティから来ています。もし森の中に推測があり、それを聞く人が誰もいなかったら、誰が気にするでしょうか？[12] 新しい数学の豊富さが応用の外で価値を持つためには、新しい数学者の豊富さが必要になります。そして、応用のある結果については、その仮定と結果を理解できる人々を望むでしょう。

私は上で、問題の解決や未解決の推測の解決が、私たちの価値観の不完全な実行化であると書きました。しかし、それでも問題や推測を解決することは重要です！そのような解決策の出所は、それが専門職の既存の構造（インセンティブ、名声など）と交差する限りにおいてのみ重要です。いずれにせよ、その構造は変更が必要であることは明らかです。

数学はかつて、科学の中で最も安価なものでした。私たちが直面している最大の変化は、今や、私たちの質問の一部が現金注入によって回答可能になるということだと思います。私の同僚の中には、これを苦々しく思う人もいることを知っています。以前は、それらの質問が研究コミュニティを結びつけ、興味深い補助的な発展につながり、そしてそういったことがあったかもしれません。この偶発的な進歩は、今や起こらなくなるかもしれません。

しかし、あなたは数学を信じないのですか！？学ぶべきことは常にあります。基本的な質問が、素敵なディナーの費用[13]で解決できるなら、私たちは喜ぶべきです。しかし、それは始まりにすぎません。私たちは、その答えが何を説明するのか、そしてそれが私たちに何を理解させるのかを問うでしょう。それは多くの新しい質問につながり、そのうちいくつかは、素敵なディナーの費用で解決できるものもあり、他のものは私たちの混乱を新たにさせ、研究コミュニティの発展につながるでしょう。

私たちの勤勉な新しいヘルパーは、私たちの興味、あるいは彼ら自身の興味を追求して、信じられないほどの量の数学を生成し続けるでしょう。私たちは私たち自身の質問や混乱を持つでしょう。時にはそれらはモデルによって解決されるでしょうし、時にはそうならないでしょう。時には進歩は最小限かもしれませんが、質問自体が研究コミュニティを生み出すほど動機付けになるでしょう。

学生が混乱するでしょう。彼らは教授のドアをノックするでしょう。二人はモデルに助けを求めるかもしれませんが、あるいは求めないかもしれませんが、まず黒板でその質問をじっくり考える時間を過ごすかもしれません。そしてモデルは彼らに美しい解説を与えるかもしれませんが、私たちは皆、それが十分ではないことを知っています。誰も私たちのために数学を理解することはできません。私たちはその仕事をする必要があります。

学ぶべきことはまだまだたくさんあります—無限にあります。私たちは常に始まりにいて、これからもずっとそうでしょう。

謝辞

Mohammed Abouzaid, alz, Boaz Barak, Frank Calegari, Ben Church, Jennifer Cutler, doomslide, Elden Elmanto, Francesco Fournier-Facio, Tony Feng, Dan Freed, Peli Grietzer, Michael Groechenig, Stephanie Koh, Joshua Lam, Mark Sellke, Ravi Vakil, Amal Vayalinkal からのコメントに感謝します。

注釈

1. このタイトルを選んだことを後悔しています。 ↩
2. ヒルベルトの完全な意見は今日でも関連性があります。「哲学的な態度と熟慮的な口調で、文化の衰退を予言し、ignorabimusを受け入れる人々を信じてはならない。私たちにとってignorabimusはなく、私の意見では自然科学においても全くない。愚かなignorabimusとは対照的に、私たちのスローガンはWir müssen wissen – wir werden wissen（私たちは知らなければならない—私たちは知るだろう）であるべきだ。」 ↩
3. この表現はPeli Grietzer氏に負うところがあります。 ↩
4. このリストは主に内部的および社会関係的な機能（理解、何が興味深いかの決定、訓練など）で構成されていることに注意してください。これは、私たちの実行化（定理の証明、問題の解決など）とは対照的です。 ↩
5. このシステムはAI以前からすでに破綻寸前でした。抜本的な改革の時期は過ぎています。 ↩
6. 明らかに、一部は倫理的ではありませんでした。しかし、もし全てのラボが完璧に振る舞ったとしても、AIシステムの能力は依然として私たちの制度を抜本的に適応させることを強制するでしょう。 ↩
7. テキストが必ずしも面白くないということではありません。 ↩
8. これは実用的な必要性です。出所に関する制限を強制する方法はありません。それを試みると、AIの使用を隠すためのインセンティブが生まれるだけです。しかし、ボタンを押しただけの人で、その素材に深く関わらなかった人が、厳格な弁論をパスできるとは考えにくいです。 ↩
9. 明確にしておきますが、多くの未解決の推測は、後から考えると期待していたよりも興味深いものではなく、一般的にそれ自体が目的ではありません。それらはしばしば、ある対象を理解できなかったことの尺度として意図されていますが、その理解を改善することなく解決されることもあります。 ↩
10. 全体として、私はそれが好きだと思いますが、時々私の受信トレイにスロップPDF（質の低いPDF）が入ってくることに腹が立ちます。これらのPDFが理解の必要性を表現していることを理解するのに時間がかかりました。誰かがそれらを生成し、しばしばその内容を意味のある方法で関与することができなかったにもかかわらず、誰かが関与できること、そして誰かが気にかけていることを知る必要がありました。 ↩
11. 問題を博士課程の学生のために確保できないからといって、彼らにその問題に取り組む機会を与えられないという意味ではありません。これは、前述の博士号の再概念化と両立可能です。 ↩
12. AIを使って数学的な質問に答えることへの関心がすぐに薄れると示唆する人もいます。私たちが気にかけている質問が未解決のままである限り、これがどのように起こるかを見るのは難しいです。 ↩
13. ここでの「費用」とは限界費用を意味します。Michael Groechenig氏は、機械が定理を証明する費用と人間がそれを行う費用を直接比較すべきかどうかは不明であると指摘しています。なぜなら、この仕事の産物は明らかに異なるからです。人間の中に理解と専門知識を生み出すのはそのうちの一つだけであり、私は結果自体とは別にそれを評価するかもしれないと考えています。 ↩