数学の始まり

この記事はProofsand Promptsにも掲載されています。 3年前、AIシステムは2つの数字を正確に足すことさえできませんでした。1年前には、OpenAIとDeepMindの内部モデルがIMO（国際数学オリンピック）で金メダル級のスコアに相当する成績を収めました。現在、これらのシステムは自律的に主要な未解決問題を解決しています。この傾向がさらに1年続くと想像するのは難しいですが、続くでしょう。 これは私たちの専門職の根本的な再考を必要とすることは明らかです。 数週間前、私は「数学の終わり」と題した講演を行いました。もしタイトルの1だけを読むと、この講演は間もなくAIが数学を「解決」するということについてだろうと推測するかもしれません。しかし、そうではありませんでした。この講演は、AIシステムが数学において堅牢に超人的になる可能性があったとしても、私たちの制度設計が人間の数学的理解、そしておそらくは抽象的な数学的進歩そのものを停滞させるという、暗い未来像を描き出しました。 私はこの未来は回避できると考えていますが、学術数学が適応しない場合のデフォルトの道筋でもあると私は考えています。 数学におけるAIの利用に対して私が比較的熱心であるにもかかわらず、私はこの見解を多くの反対者と共有しています。ここでは、代わりに、数学、そして数学の実践の未来についての肯定的なビジョンを提示したいと思います。私は、興味深い数学の生成がそれに依存しなくなるにつれて、人間の理解を深めることができると主張します。 このエッセイは、数学のほとんどまたはすべての側面において堅牢に超人的なAIシステムが間もなく登場するという前提を取ります。しかし、私が提案する制度への具体的な変更は、数学的テキストの生成が数学的理解からますます切り離されつつあるという、より弱い前提を受け入れるだけで十分です。 私たちは一体何をしようとしているのでしょうか？ 私は、数学コミュニティの間で、私たちの目標が何であるかについての合意はもはやないことが明らかになったと思います。私たちの中には問題を解決したい者もいれば、数学を遊びや詩のように考えている者もいます。一部の人にとっては、「Wir müssen wissen – wir werden wissen.」2です。私たちの中には、プラトン的な領域の神秘を解き明かしていると考えている者もいます。私たちの中には、数学への愛と理解を具現化し3、その愛と理解を次世代に伝えることが目標だと考えている者もいます。 私の個人的な、自己言及的な答えは次のとおりです。私たちは高品質の数学を生成し、理解しようとしています。私たちは高品質の数学者を育成しようとしています。これらの目標は広く解釈されるべきです。高品質の数学が何であるかは、時間とともに劇的に変化してきました。私たちはコミュニティとしてその定義に至ります。私たちは単に博士課程の学生を数学の研究のために訓練しているわけではありません。私たちの仕事の substantial な部分（おそらく過小評価されている部分かもしれませんが）は、一般の人々に高品質の数学と数学的思考について教育することです4。 私たちの目標が何であれ、私たちは主に定理を証明することによってそれを実行してきました。ほとんどすべての論文や博士論文には主要な定理があり、それに対する証明があるとされています。しかし、数学の目標は定理を証明することではないことは明らかであるべきです。もしそうであれば、自動化は容易でしょう。コンピュータや猿は、ZFCの公理から始めて、その意味に全く注意を払うことなく、演繹規則を繰り返し適用するだけでよいのです。 特に、定理が未解決問題を解決した場合、特に多大な努力に抵抗してきた問題の場合、それは特別な意味を持ってきました。これもまた容易に自動化できます。私たちのコンピュータや猿は、アルファベット順ですべての数学的命題を推測し始めることができます。 定理を証明し、未解決問題を解決できる技術に対する私たちのコミュニティの一般的な態度は、私たちの価値観のこれらの運用化がせいぜい不完全であることを示唆しています。 すべての命題とZFCのすべての証明を列挙することによる数学の自動化の見通しは、おそらくあなたにとってそれほど不穏ではないでしょう。しかし、しばらくの間、コンピュータや猿が非常に賢いと仮定しましょう。おそらくそれは証明している結果を理解し、それについての美しい解説を書くでしょう。おそらくそれは、私たちが興味深いと感じるものについて良いセンスを持っており、主にそれらの問題に焦点を当てているでしょう。おそらくそれは、ZFCの定理を列挙する過程で、私たちの最も差し迫った未解決問題の多くを解決し、より根本的な未解決問題を提起しているでしょう。 人間の数学者の必要性はまだありますか？ 私はそう思います。 この機械は私たちが価値を置く答えを生成するかもしれませんが、それ自体ではそれらの答えについての人間的な理解を生成するわけではありません。実際、私は私たちが数学の信じられないほど素晴らしい爆発の始まりにいると考えており、もし私たちが人間の理解を大切にするなら、これまで以上に人間の数学者の必要性が高まるでしょう。 しかし、専門職は変わらなければなりません。 この変化の過程で、私たちは何を保持し、何を捨てるかを決定する必要があります。 私が保存したいものの一部は次のとおりです。学習セミナー。アイデアを spark する偶然の会話。数学についてチャットするために教授のドアをノックする学生たち。エキサイティングな新しい数学を学ぶ堅牢なコミュニティ。混乱をゆっくりと解決し始める何千人もの人々。 このトピックについて書かれたものの多くが、私自身の過去の執筆の一部を含め、私たちの価値観よりも学術数学の制度の正確な形を保存しようとすることに焦点を当てすぎていることを心配しています。ジャーナルと査読システムをどのように保存できますか？5 arXivをどのように保護できますか？ゲートキーパーとしての私たちの役割をどのように維持できますか？ 既存のAIシステムがわずか数ドルで比較的質の高い結果を生み出すことができるという事実を内面化している場合、現在の均衡のどんな痕跡も生き残ることができるという考えは不条理です。 新しい均衡を見つけようとするとき、私たちはモデルの能力の最先端を追いかけることができます。現在、AIシステムは理論構築、質問、解説などにおいて、私たちを下回っていると主張できます。したがって、私たちはそれらのスキルを優先し、報酬を与えることができます。私はこれが賢明ではないと思います。モデルの能力が向上する速度と比較して、アカデミーが適応する速度を比較してください。私たちは終局を考慮する必要があります。モデルがいくつかの領域で能力がないままである場合、後で調整できます。 比較的具体的なステップを提案する前に、私たちが数学を何から守ろうとしているのかについてコメントさせてください。AIラボや、それらのラボの特定の個人に対して多くの怒りがあります。しかし、ラボに対する私たちの判断がどうであれ、AIの能力が消滅することに依存しない計画が必要です。基本的な問題は、ラボの行動（倫理的であれそうでなかれ）ではありません。6それはテクノロジー自体です。私は、ラボが来年数学から「次に進む」、国有化されるか解体されるか、あるいは金融バブルがはじけて何らかの形で正常に戻る、といった考えが一部にあると信じていますが、そうではありません。 ラップトップと数百ドルを持っていれば、昨年Annals紙になったであろうものを生成できる状況で、私たちの制度が変更なしに生き残る方法はありません。 AIはあなたが反AIであるかどうかを気にしません。 高品質の数学者を育成する 私たちの専門職が今すぐ答えなければならない最も緊急の質問は何でしょうか？私たちの学生は何をすべきでしょうか？ 読んだことのない博士論文を生成することが可能になりました。理解を示すという点では、数学的なテキストは印刷されている紙の価値さえありません7。テキストの価値は、それを作成した人物に関するシグナルを信頼できるほど伝えることはもはやありません。 私の見解では、出所に関係なく、興味深い数学的結果を歓迎すべきです。しかし、私たちの制度は歴史的に、数学的進歩と数学的専門知識の両方を示すために同じシグナルに依存してきました。これらは今、区別されなければなりません。 私は、数学の博士号の目標を次のように再概念化することを提案します。興味深く深いトピックに関する世界的な専門家になり、その興味と理解を他者に伝えることができるようになることです。これを実行可能にする一部は論文かもしれませんが、学位は主に厳格な弁論に基づいて授与され、学生が満足するまで試験官にトピックを説明します。W