数学の始まり

数学の始まり

3年前、AIシステムは2つの数字を正確に足すことすらできませんでした。1年前には、OpenAIとDeepMindの内部モデルがIMO（国際数学オリンピック）で金メダル級のスコアを獲得しました。現在、これらのシステムは主要な未解決問題を自律的に解決しています。この傾向がさらに1年続くとは想像しがたいですが、私はそれが続くと予想しています。この状況は、私たちの専門職に対する根本的な再考を必要とすることは明らかです。

数週間前、私は数学の終わりというタイトルの講演を行いました。タイトルだけ[1]を読むと、AIがすぐに数学を「解決」するようになるという話だと推測するかもしれません。しかし、そうではありませんでした。その講演では、AIシステムが数学において堅牢に超人的な能力を持つ可能性があったとしても、私たちの制度設計が人間の数学的理解、そして抽象的な数学的進歩さえも停滞させるという、暗い未来像を描きました。私はこの未来は回避できると考えていますが、学術数学が適応しなければ、それはデフォルトで起こりうるシナリオでもあると考えています。数学におけるAIの利用に対して私が比較的熱狂的であるにもかかわらず、この見解は多くの反対者と共有しています。

ここでは、代わりに、数学の未来、そして数学という人間の営みに対する肯定的なビジョンを提示したいと思います。私は、興味深い数学の生産がそれに依存しなくなるにつれて、人間の理解を深めることができると主張します。

この記事では、ほとんどまたはすべての側面において数学で堅牢に超人的なAIシステムが間もなく登場するという前提を取ります。しかし、私が提案する具体的な制度への変更は、「数学的テキストの生産が数学的理解からますます切り離されつつある」という、より弱い前提を受け入れるだけで十分です。

私たちは一体何をしようとしているのか？

数学コミュニティ内には、私たちの目標が何であるかについて、もはやコンセンサスがないことは明らかだと思います。私たちの中には問題を解決したい者もいれば、数学を遊びや詩のように考える者もいます。ある者にとっては：「Wir müssen wissen – wir werden wissen」[2]です。私たちの中には、プラトン的な領域の神秘を解き明かしていると考える者もいます。私たちの中には、数学への愛と理解を体現し[3]、その愛と理解を次世代に伝えることが目標だと考える者もいます。

私の個人的な、自己言及的な答えは次のとおりです。

1. 質の高い数学を生産し、理解すること。
2. 質の高い数学者を育成すること。

これらの目標は広く解釈されるべきです。質の高い数学が何であるかは、時間とともに劇的に変化してきました。私たちはコミュニティとして、その定義に至ります。私たちは、数学で研究を行う博士課程の学生を訓練しているだけではありません。私たちの仕事の重要な部分（ただし、おそらく過小評価されている部分）は、質の高い数学と数学的思考について一般の人々を教育することです[4]。

私たちの目標が何であれ、私たちは主に「定理を証明すること」を通じてそれを実行してきました。ほとんどすべての論文や博士論文には主要な定理があり、それに対する証明があるとされています。しかし、数学の目標は定理を証明することではないことは明らかであるべきです。もしそうであれば、自動化は容易でしょう。コンピュータや猿は、ZFCの公理から始めて、その意味には一切注意を払わずに、推論規則を繰り返し適用するだけでよいのです。特に、定理が未解決の問題を解決した場合に、それは大きな意味を持ちます。これもまた容易に自動化できます。私たちのコンピュータや猿は、アルファベット順ですべての数学的命題を推測し続けることができるでしょう。

定理を証明し、未解決の問題を解決できる技術に対する私たちのコミュニティの一般的な態度は、私たちの価値観のこれらの操作化がせいぜい不完全であることを示唆しています。

すべての命題とZFCのすべての証明を列挙することによる数学の自動化の見通しは、おそらくあなたにとってそれほど不穏なものではないでしょう。しかし、一時的に、そのコンピュータや猿が非常に賢いと仮定しましょう。おそらくそれは証明している結果を理解し、それについての美しい解説を書くでしょう。おそらくそれは、私たちが興味深いと感じるものについて良い感覚を持っており、主にそれらの問題に焦点を当てているでしょう。おそらくそれは、ZFCの定理を列挙する過程で、私たちの最も差し迫った未解決問題の多くを解決し、さらに多くの基本的な未解決問題を提起しているでしょう。人間の数学者の必要性はまだあるでしょうか？

私はそう思います。この機械は私たちが価値を置く答えを生成するかもしれませんが、それ自体ではそれらの答えに対する人間の理解を生成するわけではありません。実際、私は私たちが数学における信じられないほど素晴らしい爆発の始まりにいると考えており、もし私たちが人間の理解を大切にするならば、これまで以上に人間の数学者を必要とするでしょう。しかし、この職業は変わらなければなりません。

この変化の過程で、私たちは何を保持し、何を捨てるかを決定する必要があります。私が保存したいものの中には、学習セミナー、アイデアを spark する偶然の会話、数学について話すために教授のドアをノックする学生があります。エキサイティングな新しい数学を学ぶ堅牢なコミュニティ。混乱をゆっくりと解決し始める何千人もの人々。

このトピックについて書かれたものの多く（私自身の過去の著作の一部を含む）が、私たちの価値観そのものよりも、「学術数学の制度」の正確な形を保存しようとすることに焦点を当てすぎていることを心配しています。ジャーナルと査読システムをどのように維持できるでしょうか？[5] arXivをどのように保護できるでしょうか？ゲートキーパーとしての私たちの役割をどのように維持できるでしょうか？既存のAIシステムが、わずか数ドルの費用で比較的質の高い結果を生み出すことができるという事実を内面化しているなら、現在の均衡のどんな形であれ、これから来るものに耐えられるという考えは不条理です。

新しい均衡を見つけようとするとき、私たちはモデルの能力の最先端を追いかけることができます。現在、AIシステムは理論構築、質問、解説などにおいて、私たちを下回っていると主張できます。したがって、私たちはそれらのスキルを優先し、報酬を与えることができます。私はこれが賢明ではないと思います。アカデミアが適応する速度と、モデルの能力が向上する速度を比較してください。私たちは終局を考慮する必要があります。モデルがいくつかの領域で能力を欠いたままであれば、後で調整できます。

比較的具体的なステップを提案する前に、私たちが数学を「何から」保護しようとしているのかについてコメントさせてください。AIラボや、それらのラボの特定の個人に対して、多くの怒りがあります。しかし、ラボに対する私たちの判断がどうであれ、AIの能力が消滅することに依存しない計画が必要です。基本的な問題は、ラボの行動（倫理的か否か）ではありません[6]。それはテクノロジーそのものです。ラボが来年数学から「離れる」とか、国有化されるとか、解体されるとか、あるいは金融バブルが弾けて何とか元に戻るとか、あるいは…という考えがあると思います。しかし、ラップトップと数百ドルを持つ人が昨年アナルズ紙だったようなものを生成できるときに、私たちの制度が変更されずに存続する方法はありません。AIは、あなたが反AIであるかどうかを気にしません。

質の高い数学者の育成

私たちの専門職が今すぐ答えなければならない最も緊急の質問は、私たちの学生は何をすべきか？ということです。もはや、自分が読んでいない博士論文を生成することが可能です。理解を示すという点では、数学的テキストは印刷されている紙の価値しかありません[7]。テキストは、それを生成した人物に関するシグナルを信頼できる形で伝えることはなくなりました。

私の見解では、出所に関わらず、興味深い数学的結果を歓迎すべきです。しかし、私たちの制度は歴史的に、数学的進歩と数学的専門知識の両方を示すために同じシグナルに依存してきました。これらは今、区別されなければなりません。

私は数学の博士号の目標を次のように再概念化することを提案します。それは、興味深く深いトピックに関する世界の専門家になり、その興味と理解を他者に伝えることができるようになることです。これを実行可能にする一部は論文かもしれませんが、学位は主に厳格な弁論に基づいて授与され、学生はそのトピックを試験官に満足するまで説明します。トピックが独創的であることを要求するかもしれませんが、その出所（AIであろうとなかろうと）は無関係です[8]。

これは現在の博士号とどのように異なるでしょうか？学生はまだ指導教員と会うでしょう。指導教員はトピックを提案するかもしれません。そのトピックはAIの助けを借りて探求されるかもしれませんが、学生はそれを理解する責任があります。それは現在典型的な博士号よりもはるかにオープンエンドで、より広範なものになるかもしれません。学生は興味深い質問を尋ね、どのような手段でもそれらを解決しようと訓練されます。学生が軌道に乗るように、学生が独立して馴染みのない例を処理したり、新しいケースにテクニックを適用したりする定期的な会議があるかもしれません。

私たちの仕事の配分的な側面（採用、大学院入学など）は、人間の数学的専門知識を維持したいのであれば、改革が急務です。広範に言えば、自動化できない仕事の部分（例：数学的理解）と社会的・関係的な部分、そしてそれらの側面のできるだけ近くにある操作化を報酬として与えることに焦点を当てるべきです。例えば、講演と持続的な数学的議論は、現在では論文よりも理解をよく示しています。AIシステムが解説や「消化」で改善するにつれて、これはさらにそうなるでしょう。私たちはすでに教員の採用面接を行っています。大学院入学でも同様に行う必要があります。

講演者が聴衆を満足させるようにトピックを説明することが期待される、堅牢なセミナー文化を育成しようとすべきだと思います。最近（私自身も含む）多くのことが書かれていますが、私たちは単なる命題の真偽値だけでなく、理解に主に興味があるということです。それが事実なら、お互いを本当に理解していることを確認しましょう。

現在、ある最低限の基準を超える数学を行うためのAIシステムの利用は、私たちのコミュニティが多くの未解決の推測を生み出してきたという事実に依存しています。その興味は、それを気にかける人間の数学者の存在によって証明されています[9]。この事実の最近の重要性は、私に、私たちのコミュニティが非常に重要な機能（おそらく過小評価してきた）を果たしていることを示唆しています。すなわち、「何が興味深いかを特定すること」です。これをどのように実行可能にするかは完全には明らかではありませんが、可能性の一つは、AIシステムの助けを得たかどうかにかかわらず、その価値を他者に説得する研究プログラムの構築に報酬を与えることかもしれません。

明確にしておきますが、AIシステムが興味深い質問をしたり、興味深い推測をしたり、興味深いプログラムを追求したりできないと言っているわけではありません。最も可能性が高いのは、それらがPDFの豊富な量を生み出すだろうということです。それらのPDFのいくつかは重要な応用を持つかもしれません。しかし、他のものは主に、基本的な数学的対象に関する根本的な何かを私たちに教えてくれるという点で興味深く、私たちがそれらに関与できる場合にのみ価値が蓄積されます。それを行う研究者のコミュニティを構築するのは私たちの仕事であり、数学者にそれを報酬として与えるべきだと思います。そして、AIが優れた質問をしているとしても、それが私たちと同じ質問をするとは限りません。

これらの変化はすべて、私たちが数学について互いに話す量を増やすことを目的としています。AIが全く存在しない世界でも、これはポジティブであるように思えます。

私のようにAIに熱狂的な数学者と、それを使用しない数学者の両方がこの世界にいる余地があると思います。しかし、モデルが大量の数学を生成し始めると、その出力を完全に避けることは不可能になります。

質の高い数学の生産

私たちの専門職をどのように再構築するかを考えるとき、それが好きか嫌いかに関わらず[10]、アマチュアかプロフェッショナルかを問わず、人々がボタンを押して数学を生成するのを止めることは不可能であることを理解することが重要です。数学で遊ぶのをやめさせようとしたり、「保留」の問題を大学院生のために確保できるという考えは、現実的ではありません[11]。そして、私たちはそうすべきではありません！

現在、歴史上のどの時期よりも数学への関心が高まっています。数学そのもののために、私たちは熱狂すべきです。数学者や数学的専門知識について懸念しているとしてもです。そして、概して、このボタンを押すことの価値は数学コミュニティから来ています。森の中で推測がなされ、それを聞く人が誰もいなかったら、誰が気にするでしょうか？[12]新しい数学の豊富さが応用以外の価値を持つためには、新しい数学者の豊富さが必要になります。そして、応用のある結果については、その仮定と結果を理解できる人々を必要とします。

私は上で、問題の解決や未解決の推測の解決は、私たちの価値観の不完全な操作化であると書きました。しかし、それでも問題や推測を解決することは重要です！そのような解決策の出所は、それが専門職の既存の構造（インセンティブ、名声など）と交差する限りでのみ重要です。いずれにせよ、その構造は変更が必要であることは明らかです。

数学はかつて科学の中で最も安価なものでした。私たちが直面している最大の変化は、今や、私たちの質問の一部が現金注入によって回答可能になることだと思います。私の同僚の中には、これを苦々しく思う人もいることを知っています。以前は、それらの質問が研究コミュニティを結びつけ、興味深い補助的な発展につながり、そしてそうでした。この偶発的な進歩は、もはや起こらないかもしれません。

しかし、あなたは数学を信じないのですか！？学ぶべきことは常にあります。基本的な質問が、素敵なディナーの費用[13]で解決できるなら、私たちは喜ぶべきです。しかし、それは始まりにすぎません。私たちは、その答えが何を説明しているのか、そしてそれが何を理解するのに役立つのかを尋ねるでしょう。それは多くの新しい質問につながり、そのいくつかはさらに素敵なディナーの費用で解決でき、他のいくつかは私たちの混乱を再び引き起こし、研究コミュニティの開発につながるでしょう。

私たちの勤勉な新しいヘルパーは、私たちの興味、あるいは彼ら自身の興味を追求して、信じられないほどの量の数学を生成し続けるでしょう。私たちは私たち自身の質問や混乱を持つでしょう。時にはそれらはモデルによって解決され、時には解決されないでしょう。時には進歩は最小限ですが、質問自体が研究コミュニティを生み出すほど動機付けになるでしょう。

学生が混乱するでしょう。彼らは教授のドアをノックするでしょう。二人はモデルに助けを求めるかもしれませんが、あるいは求めないかもしれませんが、まず黒板でその質問をじっくり考える時間を過ごすかもしれません。そしてモデルは彼らに美しい説明を与えるかもしれませんが、私たちは皆、それが十分ではないことを知っています。誰も私たちのために数学を理解することはできません。私たちはその仕事をする必要があります。

学ぶべきことはまだまだたくさんあります。無限にあります。私たちは常に始まりにいて、これからもずっとそうでしょう。

謝辞

Mohammed Abouzaid, alz, Boaz Barak, Frank Calegari, Ben Church, Jennifer Cutler, doomslide, Elden Elmanto, Francesco Fournier-Facio, Tony Feng, Dan Freed, Peli Grietzer, Michael Groechenig, Stephanie Koh, Joshua Lam, Mark Sellke, Ravi Vakil, Amal Vayalinkal のコメントに感謝します。

1. このタイトルを選んだことを後悔しています。↩︎
2. ヒルベルトの完全な意見は今日でも同様に関連性があります：「哲学的な態度と熟慮的な口調で、文化の衰退を予言し、ignorabimusを受け入れる者たちを信じてはならない。私たちにとってignorabimusはなく、私の意見では自然科学においても全くない。愚かなignorabimusとは対照的に、私たちのスローガンはWir müssen wissen – wir werden wissen（私たちは知らねばならない – 私たちは知るだろう）であるべきだ。」↩︎
3. この表現はPeli Grietzer氏によるものです。↩︎
4. このリストは主に内部的および社会的・関係的な機能（理解、何が興味深いかの決定、訓練など）で構成されていることに注意してください。これは私たちの操作化（定理の証明、問題の解決など）とは対照的です。↩︎
5. このシステムはAI以前からすでに破綻寸前でした。抜本的な改革が遅れています。↩︎
6. 明らかに一部は倫理的ではありませんでした。しかし、すべてのラボが完璧に振る舞ったとしても、AIシステムの能力は依然として私たちに制度を抜本的に適応させることを強いるでしょう。↩︎
7. テキストが必ずしも面白くないという意味ではありません。↩︎
8. これは実用的な必要性です。出所の制限を強制する方法はありません。それを試みても、AIの使用を隠すインセンティブが生まれるだけです。しかし、ボタンを押しただけが唯一の貢献であり、資料に深く関与しなかった人が、厳格な弁論をパスできるとは考えにくいです。↩︎
9. 明確にしておきますが、多くの未解決の推測は、後から考えると期待していたよりも興味深くなく、一般的にそれ自体が目的ではありません。それらはしばしば、ある対象を理解できていないことの尺度として意図されていますが、その理解を改善することなく解決されることもあります。↩︎
10. 全体として、私はそれが好きだと思いますが、時々私の受信トレイにスロップPDF（質の低いPDF）が入ってくることに悩まされます。これらのPDFが理解の必要性を表していることを理解するのに時間がかかりました。誰かがそれらを提示し、しばしばその内容を意味のある形で関与することができなかったにもかかわらず、誰かが関与できること、そして誰かが気にかけていることを知る必要がありました。↩︎
11. ある問題を大学院生のために確保できないからといって、彼らにその問題に取り組む機会を与えられないわけではありません。これは以前に概説した博士号の再概念化と互換性があります。↩︎
12. 数学の問題を解決するためにAIを使用することへの関心がすぐに薄れるだろうと示唆する人もいます。私たちの関心のある問題が未解決のままである限り、これがどのように起こるか私には見えにくいです。↩︎
13. これは限界費用を意味します。Michael Groechenig氏が指摘するように、機械が定理を証明する費用と人間が行う費用を直接比較することが適切かどうかは不明です。なぜなら、この作業の産物は明らかに異なるからです。人間の中に理解と専門知識を生み出すのは、そのうちの1つだけです。私は、結果自体とは独立して、それを価値あるものと見なすかもしれないと考えています。↩︎

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私のブログからのクロス投稿です。

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2026年9月9日受信。

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