数学の始まり

2026年9月14日 数学の始まり ダニエル・リット、トロント大学教授 3年前、AIシステムは2つの数字を確実に足すことができませんでした。1年前、OpenAIとDeepMindの社内モデルはIMOで金メダル級のスコアを獲得しました。現在、これらのシステムは主要な未解決問題を自律的に解決しています。この傾向がさらに1年続くと想像するのは難しいですが、続くでしょう。これは私たちの専門分野の抜本的な再考を必要とすることは明らかです。 数週間前、私は「数学の終わり」と題した講演を行いました。タイトルだけを読むと、この講演は、すぐにAIが数学を「解決」するということについてのものだと推測するかもしれません。しかし、そうではありませんでした。講演はむしろ、AIシステムが数学において確実に超人的になる可能性があったとしても、私たちの制度設計が人間の数学的理解、そしておそらくは抽象的な数学的進歩さえも停滞させる、暗い未来像を描き出しました。私はこの未来を回避できると信じていますが、学術数学が適応しない場合、それはデフォルトで起こりうることも認識しています。 数学におけるAIの使用に対して私が比較的熱心であるにもかかわらず、私はこの見解を多くの反対者と共有しています。ここでは、代わりに数学の未来と人間の数学の実践についての肯定的なビジョンを提示したいと思います。私は、興味深い数学の生産がそれへの依存度を減らしながらも、人間の理解を深めることができると主張します。 このエッセイは、ほとんどまたはすべての側面で確実に超人的なAIシステムが間もなく登場するという前提を取ります。しかし、私たちの制度への具体的な変更提案は、数学的文章の生産が数学的理解からますます切り離されつつあるという、より弱い前提を受け入れるだけで十分です。 私たちは一体何をしようとしているのか？ 数学コミュニティ内には、私たちの目標が何であるかについて、コンセンサスがないことが明らかになったと思います。私たちの中には問題を解決したい者、数学を遊びや詩として考える者もいます。一部の人にとっては、「Wir müssen wissen – wir werden wissen.」（私たちは知らねばならない - 知るだろう）です。私たちの中には、プラトン的な領域の神秘を解き明かしていると考える者もいます。私たちの中には、数学への愛と理解を具現化し、その愛と理解を次の世代に伝えることが目標だと考える者もいます。私の個人的な、自己言及的ではありますが、答えはこうです：私たちは質の高い数学を生産し、理解しようとしています。私たちは質の高い数学者を生産しようとしています。これらの目標は広く解釈されるべきです。 質の高い数学が何であるかは、時間とともに劇的に変化してきました。私たちはコミュニティとしてその定義に至ります。私たちは、数学で研究を行う博士課程の学生を訓練しているだけではありません。私たちの仕事の substantial な部分は、おそらく過小評価されていますが、一般の人々に質の高い数学と数学的思考について教育することです。 私たちの目標が何であれ、私たちは主に定理を証明することによってそれを運用してきました。ほとんどすべての論文や博士論文には主要な定理があり、それに対する証明があります。しかし、数学の目標は定理を証明することではないことは明らかであるべきです。もしそうなら、自動化はたやすいでしょう。コンピュータや猿は、ZFCの公理から始めて、その意味には一切注意を払わずに、推論規則を繰り返し適用するだけで簡単に始められます。特に、定理が未解決問題を解決した場合、特にかなりの努力に抵抗してきた問題の場合、それは特別な意味を持っていました。これもまた容易に自動化できます。私たちのコンピュータや猿は、アルファベット順ですべての数学的命題を推測し続けることができます。 定理を証明し、未解決問題を解決できる技術に対する私たちのコミュニティの一般的な態度は、私たちの価値観のこれらの運用化がせいぜい不完全であることを示唆しています。 ZFCのすべての定理とすべての証明を列挙することによる数学の自動化の見通しは、おそらくあなたにとってそれほど不穏なものではないでしょう。しかし、しばらくの間、コンピュータや猿が非常に賢いと仮定しましょう。おそらくそれは証明している結果を理解し、それらの美しい説明を書くでしょう。おそらくそれは、私たちが興味深いと感じるものについて良い感覚を持っており、それらの質問に主に焦点を当てているでしょう。おそらくそれは、ZFCの定理を列挙する過程で、私たちの最も差し迫った未解決問題の多くを解決し、より根本的な未解決問題を数多く提起しているでしょう。人間の数学者にまだ必要はありますか？ 私はそう思います。この機械は私たちが価値を置く結果を生産するかもしれませんが、それ自体ではそれらの結果についての人間的な理解を生産するわけではありません。実際、私は私たちが信じられないほど素晴らしい数学の爆発の始まりにいると考えており、もし私たちが人間の理解を大切にするなら、これまで以上に人間の数学者が必要になるでしょう。しかし、専門職は変わらなければなりません。この変化の過程で、私たちは何にしがみつき、何を捨てるかを決めなければなりません。 私が保存したいものの一部：学習セミナー；アイデアを spark する偶然の会話；数学について話すために教授のドアをノックする学生。エキサイティングな新しい数学を学ぶ堅牢なコミュニティ。混乱をゆっくりと解決し始める何千人もの人々。 このトピックについて書かれたものの多く、そして私自身の過去の執筆の一部でさえ、私たちの価値観よりも、学術数学の制度の正確な形を保存しようとすることに焦点を当てすぎていることを心配しています。ジャーナルと査読システムをどのように保存できるでしょうか？arXivをどのように保護できるでしょうか？ゲートキーパーとしての私たちの役割をどのように維持できるでしょうか？ 既存のAIシステムがわずか数ドルの限界費用で比較的質の高い結果を生み出すことができるという事実を内面化した場合、現在の均衡のどんな側面も来るべきものに耐えられるという考えは不条理です。 新しい均衡を見つけようとするとき、私たちはモデルの能力の最先端を追いかけることができます。現在、AIシステムは理論構築、質問、説明などで私たちを下回っていると主張できます。したがって、私たちはそれらのスキルを優先し、報酬を与えることができます。私はこれが賢明ではないと思います。アカデミアがモデルの能力が向上する速度にどれだけ速く適応するかを比較してください。私たちは終局を考慮する必要があります。 モデルがいくつかの領域で能力不足のままであれば、後で調整できます。比較的具体的なステップを提案する前に、数学を何から保護しようとしているのかについてコメントさせてください。AIラボや、それらのラボの特定の個人に対して多くの怒りがあります。しかし、ラボの判断に関わらず、AIの能力が消滅することに依存しない計画が必要です。基本的な問題は、ラボの行動、倫理的か否かではありません。それはテクノロジーそのものです。 ラボが来年数学から「次に進む」とか、国有化されるとか、解体されるとか、あるいは金融バブルが弾けて何らかの方法で物事が正常に戻るとか…という信念が一部にあると思います。しかし、ラップトップと数百ドルを持つ誰でも昨年のAnnals論文と同等のものを生成できる場合、私たちの制度が変更なしに存続する方法はありません。AIはあなたが反AIであるかどうかを気にしません。 質の高い数学者の育成 私たちの専門分野が今すぐ答えなければならない最も緊急の質問は、私たちの学生は何をすべきか？ということです。自分が読んでいない博士論文を生産することが可能になりました。理解を示すという点では、数学的な文章はそれが印刷されている紙の価値があります。その文章は、それを生産した人物に関するシグナルを確実に伝えることはもはやありません。 私の見解では、発生源に関わらず、興味深い数学的結果を歓迎すべきです。しかし、私たちの制度は歴史的に、数学的進歩と数学的専門知識の両方を示すために同じシグナルに依存してきました。これらは今、区別されなければなりません。 私は数学の博士号の目標の再概念化を提案します：興味深く、深いトピックの世界的な専門家になり、その興味と理解を他者に伝えることができるようになること。これを運用化する一部は論文かもしれませんが、学位は主に厳格な弁論に基づいて授与され、その中で学生は