数学が中世の秘密主義の時代に逆戻りするのをどう防ぐか？

数学は秘密主義の中世時代に逆戻りするのをどう防ぐか？

中世の数学は非常に個人的な技術であり、数学とその方法は資産として扱われていました。それは、生計を立てる上で頼りになる秘密の知識でした。

数学者の評判は、他人が知らない技法を知っているかどうかにかかっていました。数学者はしばしば、他の数学者に半公開の数学コンテストを挑みました。互いに問題セットを与え合い、最も速く問題を解いた者、あるいは一定時間内に最も多くの問題を解いた者がコンテストに勝ち、資金提供や社会的地位を確保することができましたが、敗者は公然たる恥辱に直面しました。

これにより、発見を秘密にする強いインセンティブが生まれました。例えば、シピオーネ・デル・フェッロは、約1510年に三次方程式の解法を発見したことで知られています。しかし、彼はこの方法を20年間隠していました。なぜなら、この知識が彼に職業的な安全保障を与えていたからです。彼は死の床で初めて、その方法を弟子に開示しました。

このように、特定の公式、アルゴリズム、または技法を知っていることが、個人に大きな社会的権力と人脈をもたらす可能性がありましたが、それは今日では不可能に近いことです。この数学に対する姿勢と方向性は、中世後期以降も長く続きました。ライプニッツは、ニュートンの枠組みを借りて記法を変えただけだと非難された後、王立協会に不満を述べました。王立協会は調査委員会を任命しましたが（当時ニュートンは王立協会の会長でした）、委員会はニュートンが微積分学の唯一の著者であると結論付けました。この論争の多くは、ニュートンが出版を遅らせ、彼の枠組みを秘密にしていた決定に起因していました。

今日では、結果は遅延させたり秘密にしたりするのではなく、発表することが奨励されています（ただし、ジャーナルの運営方法やペイウォールのある論文には大きな問題があります）。むしろ、論文を書くことがインセンティブとなり、資金調達の問題は、主にグラント申請を書くシステムへと移行しました。

この広範な社会契約は、PRのために有名な問題に取り組む大手AI企業の出現とともに変化しているようです。定理は安価になりました。十分な技術的スキルを持つ多くの人々が、多くの問題に対して、ほぼ正確な証明を生成できます。特に学部レベルの数学だけでなく、大学院レベルの問題や、以前は未解決だった問題も対象となります。LLMが生成できるこれらの証明は、完全なLean形式化で提供するように指示することも可能です。ある人々は、現在の状況を「証明経済の崩壊」と呼ぶことさえしています。

ここでは触れませんが、人間には理解不能なAIによる「スロップ」なLean形式化をどう扱うかという全く別の問題があります。しかし、スロップ証明の問題や、Lean自体の健全性への疑念を無視すると、計算に費用をかけられる人なら誰でも、既知の問題が解決に近づいているという噂を聞きつけた際に、タイプライターモンキーの大群を解き放つことができるようです。

最近主張されたナビエ–ストークス方程式の反例について、Capital&Computeは計算に約650万ドルの費用がかかると推定しました。TensorFeedは、純粋なトークン以外のコストも考慮して、1000万〜1500万ドルの費用がかかると推定しました。Business Insiderは、総費用を1000万〜4000万ドルと推定しました。

真のコストがいくらであれ、プロの数学者は、LLMに何を入力するかについて注意を払い、結果の開示と発表方法について深く考える必要があるようです。誰かが反応する前に、完全な形式証明を掴むために数百万ドルを計算に費やす能力は、大量の資本を持つ企業にしかできません。また、インフラストラクチャのセットアップにかかる法外なコストのため、この技術はゲートキーパーによって管理されており、個人がそれを実行することは現実的ではありません。

テレンス・タオもMastodonでこの問題を提起しています：

今や、有望な問題の特定こそが、希少で貴重なリソースなのです。私たちは今、誰かが問題に取り組んでいるという噂でさえ、元の研究プロジェクトがその可能性を最大限に発揮する前に、AIによる大規模な努力を引き起こす可能性があることを目の当たりにしました。インセンティブは今や、有望な研究の方向性をより広いコミュニティと共有しない方向に向かっている可能性があり、これは何世紀にもわたるオープンサイエンスの伝統を覆し、この分野の将来に深刻な長期的な損害を与えるでしょう。

要するに、強力な解抽出ツールの無差別な使用は、手元にある問題を解決するという短期的な目標を達成できますが、次世代の進歩のためのエコシステムを維持すること、あるいはすでに達成された進歩を理解することにはコストがかかります。

自動化されたツールを使用して無差別に解を抽出することを完全に禁止することは技術的に不可能かもしれませんが、問題の解決だけでなく、解決プロセスの洞察を特定し、近傍の問題の難易度ランドスケープについてさらに学び、これらの目的のために分析なしの生の解が無視できる、あるいはマイナスの価値しか持たないような、注意深い分析を望む多くのクラスの問題を指定できると信じています。これは、現代の食料寄付ドライブが、技術的に食用可能であることが確認されていても任意の貢献を受け入れるのではなく、実際に求められている貢献のレベルについて明確で社会的に受け入れられた基準を維持しているのと似ています。

ミレニアム賞が設定されたとき、誰もこの将来の技術を予期していませんでした。この問題に対処するための私自身の考えがあります。

第一に、結果（特に賞金付きの結果）に対して、人間または人間のグループのみが合理的に名前を挙げられたり、クレジットされたりすることを要求することです。もし人間または人間のグループが合理的に結果の背後にあると言えない場合、それはそのように認識されるべきです。これは、米国著作権法が、人間によって作成された作品のみが登録できると述べているのと似ています。動物が撮影した写真（または偶発的な自撮り）は著作権で保護されません。これにより、画像はパブリックドメインに入ります。

第二の潜在的な解決策は、結果を見つけるための全手法を公開することを要求することです。人間と完全に人間によって導かれた結果の場合、その手法には、本を読んだり、論文を読んだり、自分の頭を使ったりすることが含まれます。LLMによるタイプライターモンキーの大群の場合、これには少なくとも完全なシステムプロンプトとエージェントシステムのセットアップが必要になります。正確なセットアップは通常、企業秘密として扱われるため、これは、単なる噂の緊急性をもって問題の解決の帰属を掃き集めるメガAI企業/コングロマリットを抑制するはずです。

これが一種の開かれた質問であることは認識していますが、これは提起する価値のある重要な問題だと思います。国際的かつ協調的な数学の性質が、秘密主義の時代に逆戻りし、プロの数学者が一部の企業が結果の帰属のために4000万ドルを計算に費やすことを恐れて部分的な結果にしがみつくのを防ぐための、実行可能な方法はあるでしょうか？