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科学・技術

ラビットホール：最小Lシーム

Rabbit Hole: Minimum L-seams (fractalkitty.com)

21 pointsby evakhoury6 コメント

要約

この記事は、「Mrs. Perkins' Quilt」という数学の問題、すなわち正方形をできるだけ少ない数の小さな正方形に分割する問題から派生した、新しい探求について述べています。著者は、この分割を行う際に必要な「Lシーム」（縫製における角の処理や、紙切断におけるカットの最小化に関連する概念）の最小数を特定しようとしています。この探求から、n×nの正方形に対する最小Lシーム数を表す数列a(n)が導き出され、その初期値と、いくつかのnに対するデータが示されています。

全文翻訳

Rabbit Hole: Minimum L-seams

Sophia Wood

2026年9月16日 • 5分で読めます

［画像: Animation slicing a 13x13 quilt with two L-seams］

「squarable numbers」に関する記事を書こうとしていたのですが、Mrs. Perkins's Quilt をキルティングするのが良い追加になるかと思いました。1500語の記事を送信する準備がほぼできていたのですが、私はうさぎの穴に落ちてしまいました。この記事はかなり長く、多くのデータを含んでいますので、お付き合いいただくか、スキップしてください。来週にはキルトを使った芸術的な記事をお届けします。

なお、この記事は問題に取り組むにつれて更新されます。キルトに関する更新はこちらです。新しいOEISシーケンスはこちらです。

The quilt:

さて、まず、Mrs Perkins's Quilt は素晴らしい数学の問題です。課題は、辺の長さがnの正方形を、整数辺の小さな正方形に、可能な限り少ない正方形で分割することです。

ウェブサイトsquaring.netには、問題の元の記述など、さらに詳しい情報があります。Wolframには探求するためのデモンストレーションがあります。

「クリスマスに、パーキンズ夫人は169枚の正方形のシルク生地で作られたとてもきれいなパッチワークキルトを受け取りました。パズルは、キルトを構成できる最小数の正方形の部分を見つけ、それらがどのように一緒に縫い合わされるかを示すことです。または、逆に、糸を切るだけで、キルトをできるだけ少ない正方形の部分に分割することです。」

Henry E. Dudeney

解決策は次のようになります。

［画像: A 13x13 quilt with two squares that sho］

この記事を書いている間、私はこのキルトを縫うための生地を用意していましたが、代わりに多くのキルトを見て縫製技術を評価することになってしまいました。というのも、名前にもかかわらず、これらのキルトを縫っている人々の画像が見つからないのです。少しトリッキーだからかもしれません。角の周りを縫うのは好きではありません。しわが寄ることがあります（部分的な縫い目のトリックを使う必要があるかもしれません）。このキルトでは、2つのL字型の縫い目（上の黄色い破線で示されています）を縫う必要があります。

一緒に縫うことが理解しにくい場合は、別の考え方として、ペーパーカッターを持っている場合、残りをギロチンでカットできるように、カットする必要のある角の数を最小限に抑えるにはどうすればよいか、という問題として考えることもできます。

これが私に考えさせたのは、任意の最適な Mrs. Perkins's Quilt の辺 n に対して、必要な L字型の縫い目の最小数はいくつか？ということです。そして、ここでシーケンス a(n) の構築が始まります。

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, ... }

以下は、n の値が 1 から 17 までの探求です。私は大きな数から調べ始めましたが、多くのキルトが存在する可能性があり、正直なところ、この 13x13 や他のいくつかについて縫製を始めたいと思っています。以下はデータのみで、その後参考文献です。いくつかの疑問も考察されましたが、答えは出ていません。

  • 3つ、4つのL字型の縫い目を必要とするキルトは？
  • nが大きくなるにつれて、各nに対する怠惰なキルトと難しいキルトの分布は？
  • 2つのL字型の縫い目が連続して（U字型の縫い目のように）必要になることはありますか？
  • このシーケンスから派生する他のシーケンスはありますか？
  • 各キルトに対して、L字型の縫い目の解はいくつ存在しますか？
  • OEISシーケンスとして価値があるでしょうか、それともニッチすぎますか？（この不確実さから、仲間のパズル愛好家であり同僚に連絡しました）

Data:

a(1) = 0 - ただの正方形です。

a(2) = 0

［画像: A 2x2 quilt cut into four size one squares.］

a(3) = 0

［画像: A 3x3 quilt split into 6 squares where a 2 size is surrounded by 1 sized squares.］

a(4) = 0

［画像: A 4x4 quilt split into 7 blocks symmetrically with 2 sized two on the top then a 2 centered in the middle surrounded by 1's stacked on the sides.］

a(5) = 0

［画像: A 5x5 quilt split into 8 squares of sizes 1,2, and 3 that can be sliced up by guillotine.］

a(6) = 0

［画像］

A 6x6 quilt split into 9 squares of sizes 1,2, and 3 that can be sliced up by guillotine.

a(7) = 1

［画像］

Four 7x7 quilts with 9 blocks all requiring an L-seam.

a(8) = 0

28 quilts ( 26 need 0, 2 need 1) (only one zero is shown)

［画像: Three 8x8 quilts where the one on the right can be sliced without L-seams and the two on the left require one. the blocks are sized 1-4, but only the L-seams have size 5 blocks.］

a(9) = 1

［画像: Nine quilts of size 9x9 that need one L-seam.］

a(10) = 0

75 quilts ( 63 need 0, 12 need 1) (only one zero is shown)

［画像］

a(11) = 1

［画像: 35 quilt of size 11x11 that all have one L-seam］

a(12) = 1

9 quilts (8 need 1, 1 needs 2)

［画像: Nine quilts of 12x12 with 8 that have one L-seam and one that has two. The L-seams for the 1 are around rectangles of multiple blocks.］

a(13) = 2

［画像: A 13x13 square split into 11 squares with two L-seams needed in the top left and lower right blocks.］

a(14) = 1

［画像］

a(15) = 1

［画像: twenty-seven quilts, where one has tow L-seams and the rest have one.］

a(16) = 2

［画像: nine 16x16 quilts all needing two L-seams］

a(17) = 2

［画像: two 17x17 quilts that look very similar needing two L-seams］

References