数学的ビリヤード (2024)

数学的ビリヤード

by Lael Shelton Costa on January 10, 2024   |   Discuss on:      

［画像: What's that structure?］

ビリヤードやプールはお好きですか？私は大好きです。何度も跳ね返った後に複雑なショットでボールをポケットに入れるのは、とても満足感があります。しかし、私はあまり熟練したプレイヤーではないので、多くのショットを外してしまいます。幸いなことに、これらの失敗は摩擦や衝突の非弾性、あるいは別のボールの予期せぬ干渉のせいにできます。数学的ビリヤードの存在を知った時の私の安堵感といったら！

この記事では、数学的ビリヤードのいくつかの種類を説明し、これらのゲームの研究を進めるために私がコンピュータ実験をどのように利用しているかについて議論します。ここで見られる画像の一部は、Geogebraと、私が作成してウェブサイトでホストしているソフトウェアから来ています。それについては後ほど説明します。最初のゲームから始めましょう。

内側ビリヤード

ビリヤードをプレイしていると想像してください。しかし、標準的な長方形のテーブルの代わりに、ポケットがなく、好きな形状のカスタムメイドのテーブルを使用します。例えば、楕円形のビリヤードテーブルの形状を描くことができます（図1を参照）。しかし、この選択はあくまで一例です！どんな形状でも使用できます。ただし、凸である限り、つまり、レール上の任意の点から他の任意の点への明確なショットが可能である限りです。

［画像: Example of a billiards bounce in an ellipse according to the regular inner billiard map. Mathematicians describe this process as a mapping, in which the directed chord “xy” is sent to the directed chord “yz”.］

ここで、楕円の境界上の2つの異なる点を選びましょう。それらを「x」と「y」と呼びます。「x」から「y」の方向に点状のボールを打つと想像してください。ボールは図1のシアン色の経路をたどり、壁に当たって新しい点「z」に向かいます。理想的な、摩擦のない世界では、ボールの経路を何度でも追跡できます。結果として得られるコードのシーケンスを軌道と呼びます。数学的ビリヤードは、これらの理想的なビリヤードゲームにおけるボールの軌道を研究することです。

上級読者向け: 力学系としてのビリヤード

数学者は、このような「ゲーム」を力学系として記述することを好みます。力学系とは、「状態」（この場合、上記のxとyのような点のペアで、ある時点でボールがxからyへ移動する）と、その状態が時間とともにどのように進化するか（この場合、ボールがyで跳ね返るとコースが変わりzに向かうという物理的な概念）を記述するものです。

力学系の理論に詳しい方なら、このゲームを次のように説明するかもしれません。ビリヤードは、テーブルを定義する領域K内の有向コードの空間上の力学系です。ビリヤードマップ T**Kは、上記で説明された操作を行う変換です。それは有向コードxyを「食べ」、コードyzを「吐き出し」、コードは点yでの反射の法則に従います。

このようなシステムを研究する幾何学者は、「Kは周期的な軌道を許容するか？」といった疑問を投げかけます。つまり、あるxとyを選んで、結果として得られる軌道がしばらくしてから正確にそのステップを繰り返すことができるでしょうか？

［画像: A periodic billiards trajectory. Several iterations of a nearby trajectory which is not periodic.］

多くの数学者がこの形式のビリヤードを研究しており、多くのことが知られていますが、未解決の基本的な問題も存在します。例えば、すべての三角形が周期的な軌道を許容するかどうかはまだわかっていません。このトピックの良い参考資料はこちらで見つかります。

外側ビリヤード

時折、私のような初心者のビリヤードプレイヤーは、キューボールを少し強く打ちすぎて、テーブルから完全に外してしまうことがあります。もしこのような経験をしたことがあるなら、心配しないでください！数学は、「外側ビリヤード」と呼ばれるゲームで再び私たちを助けてくれます。このゲームはもはや物理的ビリヤードの「通常の」ルール（つまり、テーブル上での衝突の物理学）に従うのではなく、全く異なる数学的ルールのセットに従って、与えられた幾何学的形状の周りの物体の運動を記述する抽象的なゲームです。

例として、再び楕円という単純な例を選びましょう。楕円の外側にある点「x」を考え、その点から楕円の境界への2つの接線を引きます。図3のアニメーションで概略を示したように、2つの接点のうちの1つ（図では「p」と呼ばれます）を選びます。このとき、プレイヤーがxにいると見なした場合、楕円の内部が青い線分に対して左側に来るようにします。最後に、プレイヤーの位置xをその接点を通して反射させて、新しい点「y」を得ます。このxからyへの経路は、この修正されたビリヤードゲームにおける1回の「ストライク」に対応します。

［画像: One step of the outer billiard map. The point x is sent to the point y by what mathematicians call the outer billiards map.］

［画像: One step of the outer billiard map. The point x is sent to the point y by what mathematicians call the outer billiards map.］

外側ビリヤードは新しい力学系であり、状態は平面上のテーブルの外側の点であり、システムの進化はxをyに送るマップ（上記で説明した）です。yに到達したら、同じ手順を何度も繰り返すことができます。このようにして「ビリヤードボール」が訪れるすべての場所のシーケンス（つまり、点x、その点が送られる点、その点が送られる点、そしてその点、という点の集合）を、xから始まる場合（言い換えれば、点x、その点が送られる点、その点が送られる点、そしてその点、という点の集合）を、その点の軌道と呼びます。

外側ビリヤードは、研究の豊かな分野を提供します。なぜなら、そこには様々な振る舞いが見られるからです。研究されている物体の幾何学的形状の選択によっては、非常に予測可能な振る舞いが見られることもあれば、混沌とした振る舞いが見られることもあります。外側ビリヤードシステムは、楕円形のテーブルの場合、非常にうまく振る舞います。すべての軌道は、テーブルと同じ焦点を持つ楕円上にあります。しかし、軌道が無限大に発散するテーブルも示されています（参照）。

注意: 非滑らかな形状に対する外側ビリヤードの定義

非滑らかな形状の場合、外側ビリヤードの定義において、「接線」は単に「頂点を通る」という意味になる場合があることに注意してください。

外側ビリヤードマップの特異点

この記事の残りの部分では、主に正多角形が研究されている幾何学的形状である場合について議論します。注意深い読者は、外側ビリヤードマップの定義に穴があることに気づいたかもしれません。私たちがxを反射させたい接線が、その形状の平坦な辺に沿っている場合、どうなるでしょうか？この線の一方の側の点は1つの頂点を通して反射されますが、他方の側の点は別の頂点を通して反射されます。そのギャップを埋める線上の点のマップを定義する方法はないため、マップはここで定義されていない、あるいは「xに特異点がある」と言うことにします。私たちのテーブルがn角形の場合、これはマップの定義域からn本の線（多角形の辺の延長線）を除外する必要があることを意味します。しかし、これらの特異点を除けば、マップは非常にうまく定義されています。

しかし…特異点でない点から始まったビリヤードボールが、最終的に特異点に到達して動けなくなるということはあり得るでしょうか？これは実際に起こり得ます。私たちは、軌道全体が定義されている点のみに関心があるため、それらの開始点すべてを特異点と呼ぶ必要があります。では、完全な特異点集合はどのようになるのでしょうか？ここでコンピュータが真価を発揮します。

［画像: Singularity diagrams for an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon. In each case, the billiard table is the white polygon in the centre, the orange lines are the singularities, and the teal lines connect points in a single orbit.］

私たちのテーブルの形状が正則タイリング多角形（つまり、三角形、正方形、または六角形）の場合、特異点の図は平面のタイリングになります（そして、すべての非特異点は周期的な軌道上にあります）。しかし、辺の数が異なる他の正多角形の場合、得られる図ははるかに複雑になる可能性があります（例として図5を参照）。いくつかのケースは詳細に研究されています。例えば、五角形はよく記述されたフラクタル挙動と非周期的な軌道を持っています。

すべての正多角形について、辺の数がいくつであっても、次の観察を行うことができます。平面上には、特異点がない多角形領域がいくつかあります（画像中の暗い領域）。ボールがこれらの領域の1つから始まると、別の領域に送られ、さらに別の領域に送られます。時には、ボールが開始した領域に戻ってくることがあり、その場合、その領域内のすべての開始点が開始点に戻ってくることが判明します！これらの理由から、これらの領域を「周期的な島」と呼ぶことがあります。ほとんどどのような形状のテーブルでも、これらの島のいくつかと、それらの間に散らかった領域がいくつか見られるのが一般的です。

［画像: Singularity diagrams for the pentagon, heptagon (7 sides), and dodecagon (12 sides), and a long orbit in the pentagon case.］

上級読者向け: 双曲外側ビリヤード

この問題の興味深いバリエーションの1つは、双曲幾何学への翻訳です（このトピックの入門については、例えばこのウェブサイトを参照してください）。私たちの目的のための重要な違いは、nごとに単一の正n角形が存在するのではなく、辺の長さが異なるそれらの完全なファミリーが存在することです。正三角形から始めましょう。典型的な特異点の図は、様々なサイズの円形の周期的な島と、説明が不明な小さな連結成分を持つようです。これらの領域は周期的な軌道を構成するのでしょうか？それらは何らかのフラクタル構造を持つのでしょうか？

［画像: Typical behaviour for triangles and pentagons. Again, orange lines indicate the singularity sets and teal points belong to a single orbit.］

しかし、長さパラメータを変更すると、画像に顕著な規則性が見られることがあります。非常に正確に選択された辺の長さによっては、画像が劇的に単純化されます。実際、任意の整数 $k\geq 7$ に対して、次の特別な性質を持つ辺の長さ $\ell(k)$ を計算できます。辺の長さが $\ell(k)$ の三角形の特異点集合は、三角形とk角形による平面のタイリングとまったく同じように見え、各頂点に2つのコピーの各形状が交互に配置されています。この結果は、すべての整数 $n,k\geq 3$ で、$1/n+1/k < 1/2$ を満たす場合に成り立ちます。これは、ユークリッド平面で知られている3つではなく、双曲幾何学には、すべての軌道が周期的な無限個の異なる正多角形テーブル形状が存在することを示しています。これらのタイリング全般（つまり、ビリヤードの文脈以外）については、Wikipediaを参照してください。

［画像: Singularity diagrams which line up with uniform tilings (3, 7, 3, 7) and (5, 4, 5, 4). Teal dots are iterations of the starting point, highlighted in green.］

私は、私が書いたソフトウェアプログラムで遊んでいるうちにこれを発見し、パターンが明らかになりました。その後、何を探すべきかがわかったので、手作業で詳細を追うことができました。私にとって、これはコンピュータ実験が純粋数学の進歩につながる良い例です。

外側長さビリヤード

ここでユークリッド平面に戻り、さらに少し複雑な形式のビリヤードを説明しましょう。再び、テーブルの外側の点xを考え、そこからテーブルへの2つの接線を引きます。xから見ると、一方の線はテーブルを左側に持ちます。その線とテーブルの接点pでラベルを付けます。次に、pを通る接線と、すでに描かれている2つの線に接する一意の円Cを構築します。

［画像: One step of the outer length billiard map.］

［画像: One step of the outer length billiard map.］

この円は、実際にはテーブルと3つの接線を共有しています。そのうちの2つはすでに描かれています。3番目の接線を描いて新しい点yを得ます。これは、pを通る接線と3番目の接線の交点として定義されます。このゲームは、この記事の範囲を超える理由から、暫定的に外側長さビリヤードと呼ばれており、最近、Penn StateのSergei TabachnikovとHeidelberg UniversityのSTRUCTURESのPeter Albersによって記述されました。

外側長さビリヤードは、マップが点を通る接線に沿って点を移動させる点で外側ビリヤードに似ていますが、各ステップで移動する距離はテーブルの形状に依存する、より複雑な方法になります。私のプログラムは、標準的な外側ビリヤードと同様の方法で定義された特異点集合を描画しようとします。しかし、画像はより複雑です。数学に詳しい読者のために付け加えると、これはマップがもはや等長写像ではなくなったため、直線の前像は一般的に直線ではなくなるからです。

［画像: Singularity diagram for outer length billiards for an equilateral triangle. A single, likely diverging orbit drawn without the singularities.］

すべての正多角形は、このゲームで少なくとも1つの周期的な軌道を許容しますが、現時点ではこのシステムの一般的な振る舞いについて確かなことはほとんど言えません。しかし、そのダイナミクスは、単純さと複雑さの魅力的な組み合わせを示しているようです。

動機

なぜ数学者はこのような問題に関心を持つのでしょうか？いくつかの異なる理由があります。第一に、物理世界とのつながりがあります。標準的なビリヤードは、テーブルで跳ね返るボールや、鏡張りの部屋の光子をモデル化しており、外側ビリヤードは元々、惑星運動の非常に粗いモデルとして考案されました。第二に、平面上のダイナミクスの問題は、非常に馴染み深い空間にどれほど多くの詳細が隠されているかという点で興味深いです。私は「自分の手のひらを返すようにユークリッド幾何学を知っている」と言うかもしれませんが、顕微鏡で自分の手の皮膚を見るときのよう、最も単純な幾何学的システムでさえ、その振る舞いについてはまだ学ぶべきことがたくさんあります。第三に、力学系を研究するために開発する実験的および理論的ツールは、しばしば数学の他の分野で成果をもたらします。力学系の定義は広範であり、力学系理論の言語で元々定式化された多くの結果が、興味深い問題の広大で多様なコレクションに適用されます。

ソフトウェア

この記事の画像生成に使用されたビリヤードソフトウェアは、記事の最後にリンクされています。読者は自由に試してみてください。ただし、コントロールが常に自己説明的ではなく、まだ開発途中であることを警告しておきます。コードはAngular TypescriptとThree.JSを使用してWeb用に記述されています。これにより、展開と共同作業者との共有が容易になるという利点がありますが、パフォーマンスの欠点もいくつかあります。

余談ですが、ShaderToyをお勧めします。「平面上の各点に対して算術演算を行い、結果に応じて色を描画する」という形で表現できるプロセスに興味がある場合、ShaderToyは、それがどのように見えるかをブラウザベースで迅速に確認できる方法を提供します。例としては、Juliaフラクタルや、この記事で説明されている外側ビリヤードゲームの特異点集合があります。わずか数行のコードで、驚くほど詳細な画像を作成することが可能です。

実験 ≠ 証明

最後に、数学研究におけるコンピュータの様々な役割について、より広く考察したいと思います。このブログの他の記事では、いくつかの科学的問題に対する機械学習の応用について説明しています。コンピュータ支援証明法にも、永続的な関心が寄せられています。1976年の四色定理の証明は、間違いなくこれまでの最も有名な例です。

有限精度数値計算の制約のため、一部の数学的結果は、他の結果よりもコンピュータによる証明に適しています。一般的に、離散的であるほど良いです。より連続的な問題の厳密な証明には、通常、（a）良好な記録管理（各連続する浮動小数点計算は数値誤差を増幅するため）と、（b）必要な計算数を無限から有限に減らすための巧妙な方法が必要です。

一部のコンピュータ支援証明は、結果が真実であることを示すだけで、なぜそうなるのかについての直感は必ずしも伝わらないため、一部の数学者には満足のいくものではないと感じられます。私たちの中の多くの人にとって、なぜを理解することが、数学を学ぶ上で最も楽しいことです。

今のところ、コンピュータを使った私の仕事は、厳密さを約束しない直感を構築することです。新しい幾何学的問題を最初に探求するとき、私はそれをインタラクティブにする方法を考えるのが好きです。どのパラメータを制御できるようにしたいか、図のどの点をドラッグできるようにしたいか？私はその振る舞いを実装し、システムを操作して、一般的に何が起こるかの感覚を得ようとします。

時には、視覚化を使って、外側長さビリヤードの非有界軌道のように、期待しているものを見つけようとします。他の時には、双曲タイリングの場合のように、完全に予期しない何かが私を捉えます。どちらの場合も、ソフトウェアによって生成された画像は、しばしば特定の振る舞いを強く示唆しており、仮説を支持する証拠が少しでも得られれば、黒板に向かって厳密に証明を完成させようとすることができます。

ソフトウェア

https://lael.dev/#/billiards

著者について:

［画像: Author photo］

Lael Costaは、ペンシルベニア州立大学の博士課程候補者であり、Sergei Tabachnikov教授と共同研究しています。彼は、視覚的な要素が強い数学的および物理的な問題に興味を持っています。学部外では、Laelはハイキング、風景写真、外国語学習を楽しんでいます。

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Mathematics Experimental Mathematics Geometry Visualization Computation Hyperbolic Singularities

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