数学的ビリヤード (2024)

その構造は何だろうか？プールやビリヤードのゲームを楽しんでいますか？私は確かに楽しんでいます。いくつかのバウンドを経た複雑なショットでボールをポケットに入れるのは非常に満足感があります。しかし、私はあまり熟練したプレイヤーではないので、多くのショットを外します。幸いなことに、これらの失敗を摩擦や衝突の非弾性、あるいは別のボールの予期せぬ干渉のせいにすることができます。数学的ビリヤードの存在を知ったときは、どれほど安心したことでしょう！この記事では、数学的ビリヤードのいくつかの種類を説明し、これらのゲームの研究を進めるためにコンピュータ実験をどのように使用するかを議論します。表示される画像の一部はGeogebraと、私が作成してウェブサイトでホストしているソフトウェアからのものです。詳細は後ほど。最初のゲームから始めましょう。 内側ビリヤード ビリヤードをプレイしていると想像してください。しかし、標準的な長方形のテーブルの代わりに、ポケットがなく、好きな形状のカスタムメイドのテーブルを使用します。例えば、楕円形のビリヤードテーブルの形状を描くことができます（図1参照）。しかし、この選択は単なる例です！あらゆる形状を使用できます。ただし、それは凸形状である必要があります。つまり、レール上の任意の点から他の任意の点へのショットが明確であるということです。 図1：正則内側ビリヤードマップに従った楕円形でのビリヤードのバウンドの例。 数学者はこのプロセスをマッピングとして記述します。ここで、方向付けられた弦「xy」は方向付けられた弦「yz」に送られます。次に、楕円の境界上の2つの異なる点を選びましょう。それらを「x」と「y」と呼びます。xでyの方向に点状のボールを打つと想像してください。それは図1のシアン色の経路をたどり、壁に跳ね返って新しい点「z」に向かいます。理想的な、摩擦のない世界では、ボールの経路を何度でもバウンドさせることができます。結果として得られる弦のシーケンスを軌跡と呼びます。数学的ビリヤードは、これらの理想化されたビリヤードゲームにおけるボールの軌跡の研究です。 高度な読者向け：力学系としてのビリヤード 数学者は、このような「ゲーム」を力学系として記述することを好みます。力学系とは、「状態」（この場合、xとyのような点のペア。ある時点でボールがxからyに移動する）と、その状態が時間とともにどのように進化するか（この場合、ボールがyでバウンドしたときにコースを変更してzに向かうという物理的な概念）の記述です。力学系の理論に詳しい人は、ゲームを次のように説明するかもしれません。ビリヤードは、テーブルを定義する本体K内の方向付けられた弦の空間上の力学系です。ビリヤードマップTKは、上記の説明された操作を行う変換です。それは弦xyを「食べ」、弦yzを「吐き出し」、弦は点yでの反射の法則に従います。 このようなシステムを研究する幾何学者は、次のような質問をします。Kは周期的な軌跡を許容しますか？つまり、ある時間後に正確にステップを繰り返すようなxとyを選択できますか？ 図：周期的なビリヤード軌跡。周期軌跡ではない近くの軌跡のいくつかの反復。 多くの数学者がこの形式のビリヤードを研究しており、多くのことが知られていますが、未解決の基本的な質問も残っています。例えば、すべての三角形が周期軌跡を許容するかどうかはわかっていません。このトピックの良い参考文献はここにあります。 外側ビリヤード 時折、私のような初心者のビリヤードプレイヤーは、キューボールを少し強く打ちすぎて、テーブルから完全に外してしまうことがあります。この経験をしたことがあっても、心配しないでください！数学は、「外側ビリヤード」と呼ばれるゲームで再び私たちを助けてくれます。このゲームは、もはや物理的なビリヤードの「通常の」ルール（つまり、テーブル上での衝突の物理学）に従うのではなく、完全に異なる一連の数学的ルールに従って、与えられた幾何学的形状の周りの物体の動きを記述する抽象的なゲームです。 例として、再び楕円という単純な例を選びましょう。楕円の外側の点「x」を考え、その2つの接線を楕円の境界に引きます。図3のアニメーションに示されているように、一方の接点（図では「p」と呼ぶ）を選びます。このとき、プレイヤーがxにいると見なした場合、楕円の内部が青い線分に対して左側に来るようにします。最後に、その接点を通してプレイヤーの位置xを反射して新しい点「y」を得ます。xからyへの結果のパスは、この変更されたビリヤードゲームにおける1回の「ストライク」に対応します。 図：外側ビリヤードマップの1ステップ。点xは、数学者が外側ビリヤードマップと呼ぶものによって点yに送られます。 外側ビリヤードは新しい力学系であり、状態はテーブルの外側の平面上の点であり、システムの進化はxをyに送るマップ（上記で説明した）です。yに到達したら、同じ手順を何度も繰り返すことができます。 この方法で「ビリヤードボール」が訪れるすべての場所のシーケンス（つまり、点x、その点が送られる点、その点が送られる点が続くセット）は、その点の軌道と呼ばれます。 外側ビリヤードは、研究対象の幾何学的形状の選択に応じて、非常に予測可能な挙動やカオス的な挙動が見られるため、豊かな研究分野を提供します。楕円形のテーブルの場合、外側ビリヤードシステムは非常にうまく振る舞います。すべての軌道は、テーブルと同じ焦点を持つ楕円上にあります。しかし、軌道が無限大に発散することが示されているテーブルもあります（参照）。 注意：非滑らかな形状に対する外側ビリヤードの定義 外側ビリヤードの定義では、非滑らかな本体の場合、「接線」は単に「頂点を通る」ことを意味する場合があります。 外側ビリヤードマップの特異点 この記事の残りの部分では、主に正多角形が研究対象の幾何学的形状である場合について議論します。注意深い読者は、外側ビリヤードマップの定義に穴があることに気づいたかもしれません。もし私たちがxを反射したい接線が形状の平坦な辺に沿っている場合はどうなるでしょうか？この線の一方の側の点は一方の頂点を通して反射され、他方の側の点は別の頂点を通して反射されます。ギャップを埋める線上の点のマップを定義する方法がないため、マップはここで定義されていない、または「xに特異点がある」と言います。テーブルがn角形の場合、これはマップの定義域からn本の線（多角形の辺の延長）を除外する必要があることを意味します。 しかし、これらの特異点を除けば、マップは非常にうまく定義されています。しかし…非特異点から始まるビリヤードボールが最終的に特異点に到達して動けなくなることはあり得るでしょうか？これは実際に起こり得ます。私たちは、すべての軌道が定義されている点のみに関心があるため、それらのすべての開始点を特異点と呼ぶ必要があります。では、完全な特異点セットはどのように見えるのでしょうか？ここでコンピュータが真価を発揮します。 図：正三角形、正方形、正六角形の特異点図。各ケースで、ビリヤードテーブルは中央の白い多角形であり、オレンジ色の線は特異点、ティール色の線は単一の軌道内の点を結んでいます。 テーブルの形状が正則タイリング多角形（つまり、三角形、正方形、または六角形）の場合、特異点の図は平面のタイリングになります（そして、すべての非特異点は周期軌道上にあります）。しかし、他の辺の数を持つ正多角形の場合、得られる図ははるかに複雑になる可能性があります（例：図5を参照）。いくつかのケースが詳細に研究されています。例えば、五角形はよく記述されたフラクタル挙動と非周期軌跡を持っています。すべての正多角形について、辺の数がいくつであっても、次の観察を行うことができます。平面内に、多角形形状の領域がいくつか存在し、そこでは