大学院新入生へのアドバイス（2001年）

大学院新入生へのアドバイス、あるいはリサーチとは何か？あるいは大学院生活の4つのR：読書、計算、リサーチ、執筆 2001年8月29日更新 2002年8月28日 マヌエル・ブルーム 講演の概要：読書、学習、思考、博士課程の開始、博士課程の真っ最中、すべてを書き上げる。 あなた方の読書： 書物は巻物ではない。巻物はトーラーのように端から端まで読まなければならない。書物はランダムアクセスであり、巻物に対する偉大な革新である。この革新を活用せよ！ 書物を最初から最後まで読む義務を感じる必要はない。書物を開いて、どこからでも読み始めることを自分に許可せよ。 数学や物理学、あるいは特に難しいものについては、理解できるものを何でも見つけようと試みよ。読めるものを読め。余白に書き込め。（それがどれほど役に立つか、あなた方は知っているだろう。）次にその書物に戻ってきたとき、より多く読めるようになるだろう。この方法で、徐々に非常に難しいことを学ぶことができる。 読んだものを、読んでいる最中に書き留めることを検討せよ。これは、特に難しいものを読もうとしている場合には、真実である。 私はMITの数学教授、バートラム・コスタントという名前の人物を覚えている。彼はオフィスにいるときはいつもドアを開けており、いつも机に向かって書いていた。書いて、書いて、常に書いていた。彼は自分のリサーチを書き上げていたのか？おそらく。自分のアイデアを書き上げていたのか？おそらく。私は個人的には、彼は読書をして、読んだものを書き留めていたのだと思っている。少なくとも私にとっては、読んだものを書き留めることは、難しい教材を学ぶ上で最も楽しく、最も有益な方法の一つである。 学習： あなた方は皆、コンピュータサイエンティストだ。あなた方は有限オートマトンができること、チューリングマシンができることを知っている。例えば、有限オートマトンは加算はできるが乗算はできない。チューリングマシンは計算可能な関数なら何でも計算できる。チューリングマシンは有限オートマトンよりも信じられないほど強力である。それなのに、FAとTMの唯一の違いは、TMはFAとは異なり、紙と鉛筆を持っていることだ。考えてみてほしい。それは書くことの力について何かを教えてくれる。書くことがなければ、あなた方は有限オートマトンに還元される。書くことによって、あなた方はチューリングマシンという驚異的な力を得る。 思考： クロード・シャノンはかつて私に、子供の頃、ジグソーパズルに苦労していたことを覚えていると言った。通りかかった彼の兄は彼に言った。「何か言えることがあるよ。」兄が言ったのはそれだけだった。しかし、それはクロードがパズルを解くのを助けるには十分なヒントだった。 このヒントの素晴らしい点は…それは常に自分自身に与えることができるということだ！！！ 私はあなた方に、難しい問題で行き詰まったときは、小さな小鳥や年老いた自分自身がささやいていると想像するように勧める…「何か言えることがあるよ…」 私はかつて、MITの学部生だった時に、どうやって毎学期6科目も履修できたのかをウメシュ・ヴァジラニに尋ねた。彼は、難しい方法で答えを出す時間がないことを知っていたと言った。彼は近道を見つけなければならなかった。見てほしい、ウメシュは問題にはしばしば短くて賢い解決策があることを理解していた。 あなたは、ある問題に長く、懸命に取り組んでも、うまくいかない時が来るだろう :( そして、誰かがすでに解決策を見つけたことを知るだろう。これを、それを学ぶための偉大な機会と見なせ。それが通り過ぎるのを許すな。自問自答せよ：「その問題を解決するために、私はどのように考えていたはずか？」私は、そうすることが強力な訓練であることを発見した。ダニー・スレーターは、ボブ・フロイドが独立して彼の学生に全く同じ訓練を勧めたと言っている。彼は彼らを「どうすればその答えにたどり着けたのだろうか？」と自問するように導いた。考える時間を取りなさい。それは価値がある。 あなたは、ある問題に長く、懸命に取り組んでも、うまくいった時が来るだろう :) そして、誰かがすでに発表していたことを知るだろう :( それはあなたにとって受け入れがたいかもしれないが、これもまた偉大な機会と見なさなければならない。閉じこもるな。発表された論文を読め。発表された論文が、ある重要な点で、あなたがやったことと違うことに気づくことが多いだろう。約50%の時間は、あなたがやったことと全く同じではない。25%の時間は、同じだがそれほど良くはない。25%の時間は、より良い。これは、50%以上の時間、あなたも発表できることを意味する。そして、発表されたものがあなたのものより良かった25%の時間はどうなるのか？その場合、学ぶべき偉大な機会がある。自問自答せよ：「その問題を、この素晴らしい方法で解決するために、私はどのように考えていたはずか？」 これが、私が若いエンジニアだった頃、「現代代数」という非常に強力なものを学ぶべきだと発見した理由の一つだ。それが私が学部での専攻を電気工学から大学院での数学に変更した理由の一つである。もちろん、それはコンピュータサイエンスと呼ばれるものが存在する前のことだ。 思考について… パラドックスと矛盾の重要性。ある命題Sが真であることを証明でき、かつ、同じ命題Sが偽であることを証明できるとき、あなたは何かに気づいていることがわかる：どこかに何か間違っている。矛盾の力を決して過小評価してはならない。それは我々の最も強力な知識源の一つである。 例としては、集合論と言語の理解に応用されている「この文は偽である」という嘘つきのパラドックスがある。可算性と非可算性の見かけ上のパラドックスがある。CSでは、停止性問題につながる見かけ上のパラドックスがある。物理学には多くのパラドックス的な材料がある：量子論。アインシュタイン・ローゼン・ポドルスキー・パラドックス。相対論的に加速する双子。物質の波と粒子の性質。 私の現在の仕事に関する余談だが、これもパラドックスに基づいている：私は個人的に意識のパラドックスに興味がある。以下の二つの見方を比較せよ： 1. 人間は、実質的だが有限な内部メモリを持つメカニズム、自動機械であり、あらゆるコンピュータのようにプログラムされて、やることすべてを行う、という見方。 2. 人間は、神のような自由意志を持つ、思慮深く観察する生き物であり、その下の広大な無意識から提供される選択肢の中から何をするかを選んでいる、制御装置にある高度に複雑で能力の高いメカニズムである、という見方。 私の見解では、これら両方の見方は正しい。どうしてそれが可能なのか？ジェームズ・ボズウェルは彼の「ジョンソン伝」の中で、サミュエル・ジョンソンが「すべての理論は自由意志に反対であり、すべての経験は自由意志のためにある」と言ったと引用している。ジョンソンはニュートン（85歳）が埋葬されたとき18歳だった。ジョンソンはF=MAが人間はメカニズムであると含意することを知っていた。「すべての理論は自由意志に反対であり、すべての経験は自由意志のためにある。」 これで私の余談は終わりだ。 問題に取り組むための良い方法のリストを自分で作成せよ。私のお気に入りは、小さな例を試すことだ。それに比べて、デイビッド・グリースのお気に入りは、解決策（と仮定されるもの）の真ん中に自分を置くことだ。例として彼のコーヒー缶問題がある：黒と白のコーヒー豆が入った缶がある。以下の操作を行う：2つの豆を取り出す。もし両方とも同じ色なら、それらを1つの白い豆に置き換える。もし2つが異なる色なら、それらを1つの黒い豆に置き換える。最後の豆は何色になるか？あるいはハーシーバー問題で二つの方法を試してみよ[mxnのハーシーバーを1x1のピースに分割するための最適なアルゴリズムを与えよ。各ステップで、単一のチョコレートの長方形を選び、その垂直または水平の線に沿って割ることができる。1回の割れは1ステップとする。最も少ないステップ数で割ることを目指せ]。 脳は筋肉だ。運動によって強くなる。そしてたとえ強くなっても、運動しなければ弱くなる。カスパロフがディープブルーに敗れる数ヶ月前、彼の母親が彼を追いかけた。彼女は彼がチェスで自分自身を運動させるのに十分な時間を費やしていないことを心配していた。彼女の心配は当たった。 博士課程：開始にあたって 私はかつてIVIC（ベネズエラ科学研究所）で素晴らしい夏期雇用を得たことを覚えている。トップの神経生理学者、スヴァエチチンという名前の人物が、私に素晴らしい問題を与えてくれた…残念ながら私はそれを解決できなかった。その問題は、金魚の網膜の単一細胞に光を集中させる方法を見つけることで、光が隣接する細胞に漏れないようにするというものだった。