AI時代における純粋数学研究の未来

AI時代における純粋数学研究の未来 目次 トップの見出しと歴史 現代AIの価値 そもそも数学とは何か？ AIによる数学の生成 形式化の力と課題 純粋数学のための新しい高水準言語 自動定理証明 数学における問題解決 開かれた数学 新しい数学的概念 数学の目標 数学の美学 そもそも純粋数学は何のために行うのか？ さらに読む 注記 AI時代における純粋数学研究の未来 AI時代における純粋数学研究の未来 » (ビデオ) AI時代における純粋数学研究の未来 2026年9月28日 見出しと歴史 「あるAIシステムが、ある数学の問題を解決した」といった見出しが次々と出てきます。そして、「もはや人間が数学研究を行う必要はないのではないか」「すべてをもっと強力なAIに委任すべきではないか」という声を聞くことが増えています。率直に言って、こうした発言のいくつかに私は少々うんざりしています。なぜなら、それらはしばしば、数学が本当に何であるか、そして率直に言ってAIが何であるかについての根本的な誤解を含んでいるように思えるからです。おそらく、この点について私自身のユニークな個人的歴史が影響しているのでしょう。なにしろ、1988年に私たちが最初にMathematicaを導入したときも、数学がAIに取って代わられ、無意味になるのではないかという同じような議論がありました。もちろん、実際にはまったくそのようにはなりませんでした。それどころに、Mathematica（現在のWolfram Language）は、実行できる数学のレベルを引き上げ、長年にわたってあらゆる種類の重要な新しい数学を生み出しました。もし、記号積分を計算することが数学であると考えるならば、確かにMathematicaはそれを本質的に置き換えました。しかし、そのような問題解決が数学の多くの応用で必要とされる一方で、それは数学そのもの、その純粋な形の本質ではありません。純粋数学という営みは古くからあり、文明の歴史と不可分に結びついています。プラトンやユークリッドの時代から、純粋数学は、抽象的で合理的な思考がますます大きな構造を構築できる場所の典型例でした。そして数世紀にわたり、純粋数学は私たちの文明が築き上げた最大の知的建造物となりました。それには病理や限界がなかったわけではありません。そして、その建造物を築く人々の中でも、何が重要か、物事がどのように行われるべきかなどについて誤解に遭遇します。数学は根本的に、どんな手段を使っても証明を生み出すことなのでしょうか？ 数学は常にその応用によって最終的に正当化されるのでしょうか？ 数学が発見することを目指す、ある種の必然的な「正解の書」が存在するのでしょうか？ 再び、このすべてにおいて、私には個人的な歴史があると思います。なぜなら、基礎科学における私の努力は、数学を含む多くの事物の基礎についての問いを私に投げかけることになったからです。そのため、私は「すべての可能な数学の空間とは何か」「すべての定理のネットワークの限界構造とは何か」、そして特に「私たちが数学と呼ぶものを定義する上で人間の役割は何か」といった問いを研究してきました。 現代AIの価値 純粋数学の一般的な性質と価値については後で話しますが、まずは現在の問題、すなわち現代AIの役割について取り上げましょう。そして最初に言うべきことは、それが疑いなく有用であり、時には非常に有用であるということです。私にとって、数学的探求におけるその最大の用途は、人間の数学の知識ベースをテーマ別にマイニングする能力でした。1970年代初頭から、科学文献のキーワード検索ができるようになったことは、私が実施した多くの研究の重要な推進力となりました。そして今、現代AIを使えば、さらに多くのことができます。なぜなら、それらのLLMの内部には、私たちがまだ科学的に理解していない方法で、それらの何百万もの数学に関する論文や書籍から得られた生のアイデアの表現に相当するものがあるからです。そして、最良の場合、それは単に情報を取得するだけでなく、繋がりを作ることでもあります。ここでのこの結果と、あそこのその結果を組み合わせて、驚くべき有用な結論を導き出せることを見ることです。人間も日常的にそれを行いますが、彼らは数百本の論文しか読んでいない傾向があります。AIは事実上何百万もの論文を読んでおり、可能な組み合わせを数多く試すことは、彼らにとって事実上安価です。では、AIを起動して素晴らしい数学を持って帰ってくることを期待できるでしょうか？ 後で議論するように、素晴らしい数学とは、何よりもまず、それが問いかける質問によって定義されます。はい、AIは人間が以前は自分で行う必要があったことをうまく自動化できます。しかし、後で議論するように、純粋数学の中核には、どのような質問をすべきかを導く人間の想像力があります。現代AIが行うことと、純粋な計算が行うことの違いを理解する価値があります。現代AIは、第一に、人間の既存の知識のコーパスを活用する方法です。計算とは、その最も強力な形で、根本的かつ不可分に新しいものを生成する方法です。ある規則や公理から始めて、それを繰り返し適用する計算を実行するだけで、私の長年の好きな現象である計算の還元不可能性が、すべての計算ステップを実行すること以外には到達できない、新鮮で新しい結果を継続的に得られることを保証します。（まだ馴染みのない方のために説明すると、計算の還元不可能性とは、多くの計算プロセスが、たとえ単純な規則で定義されていても、一般的なショートカットを許さないという概念を捉えるために私が1980年代に導入した考え方です。その結果を決定する唯一の方法は、各ステップを明示的に実行することです。これは、可能なプログラムの計算宇宙において非常に遍在する現象であり、科学の多くの分野、そして哲学などにおける基礎的な問題の長い系列と関連していることがわかっています。）したがって、はい、AIとは無関係に、計算は新しい定理の無限の系列を生成でき、それは新しい事実の無限の系列などを表します。そして、それらの定理の中には、あらゆる種類の「独創性」と、事実上「驚き」が含まれるでしょう。しかし、落とし穴があります。それらの定理は、ある意味で「計算宇宙から摘み取られた結果」にすぎません。そして、そのように、それらは確かに私が多大な努力を費やしてきた新しい、そして非常に重要な「ルリオロジー」の範囲に含まれます。しかし、それは数学なのでしょうか？ そもそも数学とは何か？ さて、もちろんそれは数学が本当に何であるか、つまり私たちが理解する必要があるものに依存します。その初期の歴史において、数学は、例えば算術や幾何学について、世界に関する正確で形式的な声明を作る方法と考えられていました。しかし、19世紀後半には、私たちが経験する世界の様相に結びつかなくなった、より高次の抽象化レベルに到達しました。そして数学全体に、ますます形式主義的な見方が広まりました。つまり、究極的には数学は、特定の公理、例えば集合論の公理から「機械的」（つまり計算可能）に導き出すことができる定理の単なるコレクションである、というものです。ゲーデルの定理はこの図に小さなひびを入れました。しかし今日でさえ、もし追及されれば、多くの数学者は数学を、特定の選ばれた公理の帰結の形式的な研究であると定義しようとするでしょう。しかし、彼らがそう言ったとしても、それは彼らが実際に行っていることの良い説明ではありません。実際の純粋数学研究の大部分は、公理と機械的な導出のレベルで操作されていません。むしろ、それははるかに高いレベルで機能し、抽象的な構造とその相互関係を構築し、研究しています。これが可能であるとは限りません。数学で正しい答えを得る唯一の方法は、最も低いレベル、例えば公理の直接的なレベルで操作することかもしれません。しかし、それは純粋数学の本質的な、たとえ通常は語られない特徴です。実際には、例えばピタゴラスの定理のレベルで推論でき、実数の公理的な定義について常に下に潜って話す必要がないということです。私は最近、これがはるかに同じような理由で起こると主張しました。