数学の未来

私の研究や解説論文の最新情報、未解決問題の議論、その他の数学関連トピック。 ゲストブログ、math.HO、意見 | Terence Tao 著 [これはJeremy Avigadによるゲスト投稿です。このブログ投稿は当初、異なるファイル形式で書かれ、AIによって変換されました。 — T。] 「数学は19世紀に、その主題の第二の誕生と呼ぶのに過言ではないほど、非常に深い変革を遂げました。その最初の誕生は古代ギリシャで起こったのですが…」 Howard Stein、「Logos, Logic, and Logistiké: Nineteenth-Century Transformation of Mathematics に関するいくつかの哲学的考察」より 「私の死の知らせは誇張であった。」 Mark Twain 「興味深い時代に生きよ。」（伝統的格言） 私は最近、Lean FRO、つまりLean定理証明器を開発する非営利団体を監督する組織であるConvergent Researchが支援する、革新的な科学技術スタートアップの会議に出席しました。この会議は議論を活性化するために企画されたもので、私が数学者であると自己紹介すると、多くの参加者がAIにおける最近の出来事が数学に与える影響や、数学コミュニティの反応について熱心に話したがりました。彼らは、私たちの専門職としての日常的な生活の根本的な側面が変化することは避けられないと認識しているにもかかわらず、このブログやProofs and Promptsのような場所でのコミュニティの反応のトーンが、概して肯定的で励みになるものであると聞いて驚いていました。これらの議論は、私がここで共有したい考えを形作るのに役立ちました。 数学者が何をするのかについての狭い見方があり、それは私たちの日常のワークフローに凝縮されています。私たちは問題を解決しようとし、難しい問題が解決するにはあまりにも難しければ、より簡単な近似を作り出し、それを解決し、そしてパラメータを変化させます。この実践は、過去数ヶ月の出来事によって、1年前なら十分に立派な出版物になったであろう結果が、今ではAIの助けを借りて容易に生成できるようになるという意味で、混乱させられました。これにより、私たちは今後数学をどのように行うのか、そしてその何であれを行う次世代の数学者をどのように訓練し支援するのかについて、懸念を抱くようになりました。 数学の歴史は、より広い視点を与えてくれます。何世紀にもわたる変化にもかかわらず、安定しているのは、数学が厳密な推論とコミュニケーションの文化であり、私たちがより信頼性高く効率的に考え、コミュニケーションするための言語と抽象化を提供してくれることです。AIの時代であっても、そのような推論は確かに依然として重要です。多くの人が数学を美的に心地よいと感じるという事実は、その実用的な有用性を低下させるのではなく、むしろそれによって説明されます。数学を行うことがこれほど心地よく感じられる理由は、それが私たちの種としての生存に不可欠な能力の行使であり、私たちのDNAに組み込まれているからだと私は予想しています。それが正しいとすれば、数学的思考がすぐに消え去ることはないでしょう。 課題は、私たちが何十年も解決してきた種類の問題を解決することが、AIに作業を任せることで、私たちの数学的理解を深めるという目標から切り離されてしまうことです。したがって、問題は、私たちがまだ数学を必要としているかどうかではなく、AIの時代に数学的理解をどのように追求するかということです。私は3つの一般的な答えを提供します。 より困難な問題を解決する 今日の基盤モデルには、2つの顕著な特徴があります。第一に、それらは数学の文献全体を見ており、第二に、それらは疲れを知りません。エージェントの群れは、数え切れないほどのバリエーションを試すことで、解決策にたどり着くことができます。（この特徴づけとそれに続く分析については、Matthew Ballardに感謝します。） 興味深い数学的な質問はすべて、そのように答えることができるでしょうか？おそらくそうではありません。そして、たとえ答えることができる質問であっても、新しいアイデアや洞察を呼び起こす、より興味深く満足のいく解決策があるかもしれません。おそらく、近い将来、AIシステムはこのような洞察を生み出すことができるようになるでしょうが、少なくとも、私たちはまだそこに到達していないことを認識しましょう。 強化学習の訓練レジームでは、システムは従来の動きを連鎖させ、失敗と成功の履歴から、どの動きが特定の状態で最も有望であるかを学習します。最終的な軌跡の成功という観点からのみ行動の価値が評価されるという事実は、超人的な器用さを生み出しますが、創造性や高次の戦略を見逃す可能性があります。いずれにせよ、解決すべき困難な問題や追求すべき野心的な研究プログラムはまだ残っており、AIの助けを借りてそれらに進歩する可能性はエキサイティングです。 より大きな考えを巡らせる もし数学が、エイリアンから課せられた問題をチェックリストのようにこなしていく、終わりのない演習と試験の連続であるならば、私たちの現在の状況はずっと憂鬱なものになるでしょう。良いニュースは、私たちが数学を行うとき、問題を選択し、解決策を評価し、私たちが最も気に入ったものを優先することを選ぶことができるということです。私たちは、何が私たちにとって興味深いのか、どのような質問を追求するのか、そしてなぜそうするのかを決定します。私たちの運命は私たちの手にあります。 数学において私たちが最も賞賛するものは、しばしばどこからともなく現れるように見えます。1853年、若いベルンハルト・リーマンは、ゲッティンゲン大学での教職を得るために必要な講演（Habilitationsvortrag）のトピックとして、指導教官のカール・フリードリヒ・ガウスに3つの候補を提出しました。ガウスは、リーマンが最も準備不足なトピックを選んだと伝えられており、彼がそれをどう扱うかを見るためでした。その結果の講演「幾何学の基礎にある仮説について」は、1868年にリーマンの死後に発表され、この分野に革命をもたらしました。この講演は、空間の計量特性と位相特性を区別し、多様体という一般的な概念を導入しましたが、後者は20世紀まで完全に厳密な扱いを受けませんでした。空間の固有の特性、すなわちリーマン幾何学では、計量によって決定され、より大きな空間への埋め込みとは独立した特性に焦点を当てたことは、数十年後のアインシュタインの一般相対性理論の鍵となりました。リーマン幾何学は、ロボット工学や医療画像処理から統計分析に至るまで、リーマン自身が想像もできなかった応用を持っています。 William Ewald の優れたソースブック「From Kant to Hilbert」は、この論文への素晴らしい導入を提供し、Felix Klein の作品の描写を引用しています。「[リーマンの講演]の出版は、私が数学的問題に独立して取り組み始めたちょうどその時期に行われました。そのため、リーマンの思考の流れが当時の若い数学者に与えた並外れた影響の鮮明な記憶が今でも残っています。私たちにとって多くのことは暗く理解しにくいものでしたが、計り知れない深みがあり、現代の数学者は、すでにこれらのすべてを最初から思考様式に吸収しているため、その説明の明瞭さと生産性をただ賞賛するだけです。」 若いクラインにとって暗く神秘的に見えたものは、今や規範の一部となっており、基盤モデルが若い数学者と同じように、訓練を通じてそれを吸収し内面化しています。この例を提案し、強化学習の設定ではリーマンの決定を評価できなかったことを指摘してくれたBallardに再び感謝します。その利点は拡散しており、追跡が困難であり、時間的視野が長すぎます。これは、代数方程式の可解性の研究における置換群へのガロワの焦点、ポアンカレの力学系の質的研究、またはグロタンディークの広範な概念革新など、新しい展望を開いた数え切れないほどの数学的発展にも当てはまります。 AIは最終的にこのような進歩を遂げることができるでしょうか？それは尋ねるべき質問でさえありません。それは、私たちがどのように数学を追求するか、そして私たちがどのように数学的理解を追求するかということです。私たちがAIの助けを借りて、より困難な問題を解決し、より大きな考えを巡らせることで、数学の未来は明るいと私は信じています。 AIは、私たちが数学をどのように行うか、そして私たちがどのように数学的理解を追求するかを、より困難な問題を解決し、より大きな考えを巡らせることで、数学の未来は明るいと私は信じています。