Samon: 禅庭の砂紋描画パズルを設計する

禅の砂庭は、しばしば瞑想を目的としています。それは、砂をレーキの歯によって形成される所定のパターン（|||のような）に砂を梳いて維持しながら眺めるためです。 このような仕事は退屈かもしれませんが、混沌から審美的な秩序を回復することには大きな満足感があり、砂を梳くことは、バブルラップを潰すことのように、奇妙に満足感のあることの一つであるようです。私は夏のキャンプのライフガードたちが、毎日オフィスの前にビーチを梳く作業をむしろ楽しんでおり、キャンパーにそれをさせないようにしていたのを思い出します。 パズル解決もまた、「瞑想的」で「奇妙に満足感がある」とよく言われます。たとえそれが退屈な仕事のように見えてもです。 そのため、禅寺に住んでいない私たちにとって、禅の砂庭パズルを作ることはできるでしょうか？ このページは、元の2023年のスケッチを完全な設計に発展させます。スケッチが推測したこと（「ミラーレーキ」は制限が厳しすぎるか？ニューラルネットワークは解を美しさでランク付けできるか？難易度はどのように上げるべきか？）に対して、ソルバーと測定値で答えます。ギャップを残したこと（庭が正確に何を難しくするのか、世界とは何か、レベルはどのように生成されるのか、プレイヤーは何に触れるのか）を埋めます。 タイトルはSamon（砂紋、「砂の波紋」）で、パターンそのものを指す言葉です。 庭のピース 庭とは、白い砂利（京都では通常、北白川地域産の風化花崗岩である白川砂）でできた壁で囲まれた長方形であり、石を障害物として区切られた正方形のセルで構成されています。 縁側の側にある1つのセルがゲートです。これは、靴を脱ぐ平らな石（JAANUS）の前にある、縁側に面した隙間です。 プレイヤーは雲水、つまり新米の僧侶であり、庭は龍安寺のように、住職の縁側、つまり画面の下端から見られます。 ルール 新米は靴石から降り、砂の中に入り、レーキを置き、後ろ向きに歩いてゲートに戻り、自分の足跡をレーキで消します。 庭は、砂のすべてのセルが正確に一度だけ梳かれ、線が途切れず、靴石に戻ったときに完成します。 それが全体のルールです：一筆書き、すべてのセルを一度、交差なし、ゲートで終了。 梳き作業の解剖学 （1）6×6の庭に2つの石があり、ゲートは下の壁の隙間です。（2）プレイヤーはゲートから歩く経路を描きます。僧侶は足跡を残します。（3）歩行の終わりにレーキ（赤い点）を置き、後ろ向きに歩き、レーキが足跡を消します。（4）完成した庭：10ターン、これがパーです。この庭の1,023の有効な梳き作業のうち、2つがこれを達成します。 形式的には、ハミルトニアンパスです。 形式的には、砂のセルはグリッドグラフを形成し、有効な梳き作業は、ゲートセルで終わるそのグラフのハミルトニアンパスです。 レーキの線はパスの形状です：まっすぐ通過したセルは平行な溝になり、パスが曲がったセルは同心円状の四分円になり、レーキが置かれたセルは溝の開始点になります。 以下のすべてのカウント、パー、難易度に関する主張は、この定式化に対する正確なソルバー（「方法」を参照）から来ています。 歩行は無料です。 元のスケッチは、足跡を残す往路と、後ろ向きの梳き作業を区別し、「ミラーレーキ」—僧侶が自分の歩行を正確にたどる—を、おそらく厳しすぎる単純化として提案しました。 それは全く制限ではありません。どのような歩行の後でも、すべてのセルを一度だけ梳き、ゲートで終わる梳き作業を行えば、すべての足跡が消えます。なぜなら、すべてのセルが梳かれるからです。したがって、歩行は、それがどこで終わるかを除いて無関係であり、完成した庭のセットは、ゲートで終わるハミルトニアンパスのセットと正確に一致します。 逆に、そのようなパスはすべて、歩いて入り、梳いて出ることで達成されます。 したがって、ミラーレーキは何も失わず、インターフェースは可能な限りシンプルにすることができます：ゲートからパスを描きます。そのパスは往路であり、梳き作業はその逆です。 これはデザインにとって重要です。なぜなら、物語はそのまま（明かされるのは僧侶が庭から自分自身を梳き出すこと）でありながら、プレイヤーのタスクは単一で、分かりやすいジェスチャーになるからです。 単なるルールは緩すぎる 多くの梳き作業。 一筆書きのルールだけでは、開いた砂では弱い制約です。 角にゲートがある空の庭では、有効な梳き作業の数は、コーナーからのハミルトニアンパスの数、OEIS A145157であり、爆発的に増加します：5×5で824、7×7で1,510,446、9×9で54,986,690,944。（私たちのソルバーはA145157と5×nシーケンスA145156を正確に再現しており、これは有用な正しさのチェックです。） 誰でも開いた庭を梳くことができます：行を上下に歩くだけです。 空の庭、南（縁側）の壁の左下の角にあるゲート。 「ターン」は、ストロークが方向を変えるすべてのセルを数えます。ゲートを通って出る場合も含まれます。 最後の列は、広いレーキを予測しています。 庭 | 有効な梳き作業 | パー（最小ターン） | パーでの梳き作業 | 中央値ターン | 最大ターン | ワイドレーキでの梳き作業 3×3 | 8 | 4 | 2 | 5 | 6 | 2 4×4 | 52 | 6 | 4 | 8 | 13 | 4 5×5 | 824 | 8 | 10 | 13 | 20 | 4 6×6 | 22,144 | 10 | 24 | 20 | 31 | 6 7×7 | 1,510,446 | 12 | 66 | 27 | 42 | 6 6×8 | 899,432 | 11 | 66 | 26 | 42 | 8 パリティ。 石はルールを厳しくしますが、主に庭を不可能にすることでそうします。 セルをチェッカーボードのように色分けします：ストロークの各ステップは色を変えるので、n個のセルをなぞるストロークは色を交互に繰り返し、一方の色がより多くのセルを持つ場合、ストロークはそれに始まり、それに終わらなければなりません。 5×5の庭には13個の暗いセルと12個の明るいセルがあるため、ゲートは暗いセルになければなりません。ゲートを壁に沿って1セル移動させると、梳き作業は全く存在しなくなります。 ランダムな7×7の庭で、縁側の壁にゲートがある場合、石がない場合は57%がこのパリティテストに合格しますが、石が6個ある場合はわずか31%です。 チェッカーボードのパリティは、他の何よりも前に解可能性を決定します。 5×5の庭には13個の暗いセルと12個の明るいセルがあるため、ストロークは暗いセルで始まり、暗いセルで終わらなければなりません。（左）暗い角にあるゲート：824の有効な梳き作業（1つがパー、8ターン、表示）。（右）明るいセルにあるゲートを1セル移動させると、梳き作業は存在しません。 ランダムな石：解けないか、開いている。 パリティを過ぎると、石は行き止まり（自由な隣接セルが1つしかないセルは、レーキが置かれる場所でなければならない—そのようなセルは最大で1つしか存在できない）と廊下（自由な隣接セルが2つあるセルは両方を使用しなければならない）を作成します。 これらは一筆書きパズルの古典的な推論ですが、ランダムな石の配置はそれらを間違った割合で生成します：庭は解けないか、まだ数千もの梳き作業があります。 300個のランダムな7×7の庭（行ごと）では、0〜6個のランダムな石を持つ庭はユニークな梳き作業を持っていませんでした：300個のランダムな7×7の庭（行ごと）、ランダムな1×1の石、南の壁のランダムなセルにあるゲート。 中央値は解ける庭についてです（カウントは100,000に制限）。 ワイドレーキの列は以下で説明します。 石 | パリティOK | 一筆書き：解ける | 一筆書き：ユニーク | 一筆書き：中央値梳き作業 | Uターンなし：解ける | ワイドレーキ：解ける | ワイドレーキ：ユニーク | ワイドレーキ：中央値梳き作業 0 | 57% | 57% | 0% | ≥100,000 | 0% | 57% | 0% | - 6 | 2 | 43% | 42% | 0% | 28,326 | 0% | 18% | 2.7% 2 | 4 | 34% | 20% | 0% | 610 | 0% | 2.7% | 0.3% 3 | 6 | 31% | 8% | 0% | 96 | 0% | 0.3% | 0% 4 | - | - | - | - | - | - | - | - したがって、単なるルールだけではゲームを成り立たせることはできません：開いた砂では完了は些細なことであり、それを非些細にする障害はほとんどそれを不可能にします。 これを修正する2つのこと：その緩さを重要にするスコア、そしてそれを除去するルールです。 喜ばしいことに、両方とも梳かれた庭を美しくするものから来ています。 静けさ：ターンがスコアになる 住職はターンを数えます。 最も一般的な砂紋は長い平行線であり、石を囲むときに中断されます。 ジグザグに梳かれたものは落ち着きがないように見えます。 したがって、ゲームの唯一の審美的な指標はターンの数です：ストロークが方向を変えるすべてのセル。 ターンが少ないほど、より穏やかです。 各庭にはパーがあり、すべての有効な梳き作業における最小ターン数です。これは制約ソルバーによって証明されています（最大数秒で、9×9までの庭の場合）。 有効な梳き作業であればどれでも庭を完成させます。パーでの梳き作業は、住職の朱印を得ます。 同じ7×8の庭を3つの方法で梳いたもの。（左）パー、17ターン：103,812の有効な梳き作業のうち6つがこれを達成します。（中央）中央値の梳き作業、31ターン。（右）最も落ち着きのない可能な梳き作業、48ターン（5つの梳き作業）。 パーは針です。 ターンは緩さを有用にします。 すべての有効な梳き作業におけるターンの分布は広い山形であり、パーはその遠いタイにあります。