ブラウン運動

ホーム ブログ RSS ブラウン運動 離散時間ランダムウォークからその周辺分布を導出することで、ブラウン運動の直感的な理解を深める。 公開日: 2026年4月22日 コップの水に浮遊する花粉粒子を想像してみてください。時間の経過とともにその粒子の垂直位置を観測し記録すると、その動きはランダムであることがわかります。そして、この位置をプロットすると、時間とともにギザギザの経路が得られます（図111、左）。この経路は無数の可能性のある経路のうちの1つに過ぎず、もしこの観測実験を何度も繰り返したとしても、同じ経路が再び現れるとは期待できません。このランダム性から、この現象についてどのように推論できるでしょうか？この粒子について、何か興味深く有用なことを言うことはできるでしょうか？ 人類の歴史のほとんどにおいて、これは不可能に見える課題でした。確率論における重要な洞察、概念的な柱は、実際に起こったこと（図111、左）と他の可能な結果（図111、右）を切り離すことです。このアプローチにより、私たちは反事実（counterfactuals）を通して世界を推論することができます。花粉が取り得た可能性のある経路はすべて何でしょうか？それぞれの経路はどれくらい可能性が高いでしょうか？結果の分布について何が言えるでしょうか？ 図1. 左。時間に対してプロットされた花粉粒子の垂直位置の単一のランダム経路。右。同じ初期位置から始まる、そのような無数のランダム経路。 花粉粒子をランダムプロセスとして理解することは、深遠なアイデアであり、理解には何十年もの年月と多くの科学者を要しました。この現象は、1830年代にスコットランドの植物学者ロバート・ブラウンによって初めて観察されました。ブラウンは顕微鏡を使って水に浮遊する花粉粒子を観察し、驚くべきことに、粒子が動いているのを発見しました！当初、彼は花粉粒子が生きていると考えていましたが、ガラス粉、鉱物、さらにはエジプトのスフィンクスの粉砕された断片など、無生物であると確信していた粒子でも同じ効果が見られたため、この仮説を検証し、否定しました（Góra, 2006）。 約半世紀の間、この現象は謎のままでしたが、ブラウン運動として知られるようになりました。その後、1905年から、アルバート・アインシュタインは一連の論文を発表し、その中で花粉粒子が液体中の見えない分子に衝突されているために動いていると仮説を立てました（Einstein, 1905）。翌年、ポーランドの物理学者マリアン・スモルホフスキは、独立してほぼ同じ理論を発表しました（Von Smoluchowski, 1906）。当時、分子の概念はまだ広く受け入れられていなかったため、この理論は物議を醸しました。しかし、統計力学を用いて、アインシュタインとスモルホフスキは粒子の挙動について検証可能な予測を立てることができ、別の科学者であるジャン・バティスト・ペランが数年後にそのモデルを検証しました（Perrin, 1909）。そして、アインシュタインの画期的な研究以来、ブラウン運動は広く研究され、より深く理解されるようになりました。 数学界では、ブラウン運動はノーバート・ウィーナーによって形式化され（Wiener, 1923）、特に数学者の間では、ブラウン運動はウィーナー過程と呼ばれることもあります。 この投稿の目標は、ブラウン運動をよりよく理解することです。ブラウン運動は、液体に浮遊する粒子から株式の価格に至るまで、多くの現象をモデル化するために使用できる重要な概念です。最終的には、任意の時点での花粉粒子の周辺分布を再構築します。これを見ると、これが正規分布であることがわかります。この深いつながりは、完全にランダムなプロセスについて、数学的に正確な確率的記述を行うことができることを意味します。 ランダムウォーク まず、花粉粒子の離散時間における単純化されたモデルから始めましょう。これはランダムウォークと呼ばれる確率過程です。次のセクションでは、これを連続時間、すなわちブラウン運動に拡張します。 離散時間で時間を離散化し、単一の離散的な「ティック」を観測できると想像してください。この1ティックの間に花粉粒子に何が起こるのでしょうか？私たちの単純な世界のモデルでは、コインを投げると想像します。必ずしも公平ではないコインを投げ、そのコインの出目に基づいて花粉粒子は同じ量だけ上下に動きます。コイン投げは、花粉粒子が水分子によってランダムに爆撃されているという事実をモデル化しており、したがって次の時点での位置はランダムです。そのため、花粉粒子はその場にとどまることはできません。時計の1ティックの後、それは上下に動きます。 形式的には、S0を粒子の初期位置（非ランダム）とし、S1を1ティック後の花粉粒子の垂直位置を表す単変量確率変数とします。初期位置は0（S0=0）と仮定します。これは計算と表記を容易にし、最終的な経路の単純な垂直シフトであるためです。したがって、確率pのコインを投げます。ここでpは表（H）の確率であり、q:=1−pは裏（T）の確率です。コインが表なら、花粉粒子はuだけ上昇し、コインが裏なら、花粉粒子はuだけ下降します（−uへ）。各コイン投げの結果を、{-1, 1}の値をとる確率変数Ziと表記します。すると、単一のコイン投げ後の位置はuZ1となります（図2）。 図2. 花粉粒子の1期間モデル。確率pで表が出るコイン投げの後、花粉粒子はuまで上昇するか、−uまで下降します。S0は初期位置、uZ1はコイン投げ後の位置を示します。 次に、nタイムステップ後の位置Snを考えます。各時点iで、他のすべてのコイン投げとは独立であると仮定するコインを投げ、現在の位置から花粉粒子が上下にどれだけ変位するかを決定します。するとSnは単純に和 Sn=uZ1+uZ2+⋯+uZn.(1) となります。 各Ziはランダムなので、Snもランダムです。明らかに、コインを繰り返し投げると、花粉粒子の可能な位置の集合はnとともに線形に拡大します。これらの可能な位置すべてを、有向グラフまたはツリーとして視覚化できます。これは、二項木（図3、左）と呼ばれることもあります。後でその名前を説明します。 ツリーの層（垂直スライス）はゼロからインデックス付けされており、ルートノードは時間n=0で発生します。各ノードは可能な位置であり、n番目の層は時間nまでのすべての可能な位置です。有向エッジ（左から右）は花粉粒子の有効な移動です。ツリー内のパスは、ツリーのルート（最も左のノード）から始まり、各タイムステップで右に進み、リーフノード（最も右のノード）に到達するステップのシーケンスです。有効なパスは、常に左から右へ、ルートからリーフへと移動するものです。例えば、有効なパスは、同じタイムステップでまっすぐ下に移動したり、後方に移動したりすることはできません。 図3. 左。深さn=5の二項木。各ノードには、そのノードに到達するために必要な上向きまたは下向きの移動の正味の数がラベル付けされています。2つのランダムパスが黄色と赤で示されています。右。左のプロットですが、ノードには(n,k)タプルがラベル付けされており、コイン投げの回数、したがってその回数での可能な終点をインデックス付けしています。 ノードを識別しやすくするために、計数kを導入します。これはリーフノードをインデックス付けし、k∈{0,1,…,n}の値をとります。時間インデックスnと同様に、kもゼロベースのインデックスです。k=0の最も下のリーフノードとk=nの最も上のリーフノードを表記します。これを説明するために、ノードに(n,k)タプルがラベル付けされたツリーを視覚化しました（図3、右）。 花粉粒子のこの単純な離散時間モデルを理解したので、動機付けとなった質問に取り組みましょう。どの結果（リーフノード）が最も可能性が高いでしょうか？任意の経路はランダムですが、結果の分布について何か言うことはできるでしょうか？まず、図で強調表示されたリーフノードに到達する確率を計算してみましょう。