証明を超えたイラストレーション

証明を超えたイラストレーション 10月11日、2026年ゲストブログ、math.GM | Terence Tao著 [これはKate StangeとEdmund Harrissによるゲスト投稿です。このブログ記事は当初、異なるファイル形式で書かれ、AIによって変換されました。— T.] 1月に、数学者、歴史家、芸術家、教育者のグループがInstitut Henri Poincaré (IHP)に集まり、数学的意味に関する非常に珍しいワークショップを開催しました。数学研究におけるイラストレーションの使用に関する特別な3ヶ月間のプログラムの一環として、その週の私たちの焦点は、「イラストレーションが厳密であるとはどういうことか」という問いを立てることでした[1]。わずか6ヶ月後に、人間の数学的実践の定義そのものに関する、取り巻く疑問の集まりがどれほど緊急のものとなるかを、私たちは予期していませんでした。私たちの議論は、夏の間、ライデン宣言[2]の文脈で書かれ、現在Notices[3]に採択された記事につながりました。過去1〜2ヶ月間、人間として数学を行うことの意味、そして近い将来それが何を意味するのかについて、心からの様々な見解が表明されてきました。熱心な議論から、数学者であることには多くの多様で重要な意味があることは明らかです。数式通信以外の感覚に訴えかけるコンピュータグラフィックスやその他のメディアを含む数学的イラストレーションは、証明執筆を超えた人間の数学者の活動の一つです。この分野自体の苦闘は、おそらく数学がこれからどこへ向かうのかについての洞察を提供してくれるでしょう。私たちは、現状の再確認から始めます。Bryna Kra[4]は、現在の問題の中心を説明しています。長年にわたり、定理の生産が成功の最も重要な尺度となっています。地位や賞はその上に成り立っています。しかし、それは常に測定が難しいもの、すなわち理解の代理に過ぎませんでした。深い定理は希少で困難であったため、深い思考を確実に特定しました。AIはこの希少性を打ち破りました。彼女にとって、証明は「物語、絵、洞察、説明」です。Silvia De ToffoliとEamon Duede[5]はこの視点を鋭くし、数学は機械が今や勝てるゲームであるという考えを否定しています。数学の目標は単なる検証可能な解決策ではありません。数学は「学術コミュニティによって関与され、解釈され、消化される知識の体」であり、結果の登録簿ではありません。Matilde Marcolli[6]はさらに進みます。偉大な定理は決してポイントではなく、コミュニティが選択した価値システムに過ぎず、選択は再び行われ得ます。Grant Sanderson[7]は、それが実際には何を意味するのかを問います。数学的作業と理解の他の形態に、どのようにして真の評価を与えることができるのでしょうか。過去には、他の知の形態も評価されてきました。私たちの論文は、19世紀のGaspard MongeのÉcole Polytechniqueにおける数学的訓練に必要な手描きの描写から始まります。1月のワークショップで、歴史家のFrédéric Brechenmacherはこれを明確にしました。「描くことは知ること」でした[8]。私たちは、その伝統が20世紀にどのように脇に追いやられたかをたどりますが、それでも存続し、1990年代の証明と数学における意味の関係を巡るより最近の議論の一部として現れました。その時、Arthur JaffeとFrank Quinn[9]による影響力のある論文に応答して、多くの数学者がその考えを表明しました。最も有名なのはBill Thurstonです。彼の今や広く引用されている「On Proof and Progress in Mathematics」[10]で、彼はJaffeとQuinnの批判に対して自身の仕事を守りました。他の多くの応答も読む価値があります[11]。De ToffoliとDuedeの分野であるPhilosophy of Mathematical Practice[12]は、コミュニティ全体でこれらの問題を体系的に研究しています。 代数的数星図：有理立方多項式の複素根。右側の画像はSteve Trettelによるシェーダーです。コードはshadertoyにあります。Illustrating Mathematicsコミュニティは、描画と数学的オブジェクトの作成というこの伝統から発展しました。2019年のICERMでの学期中に形を成し、今年のIHPの3ヶ月プログラム[13]を組織しました。それは、数学の画像、モデル、ソフトウェア、経験を積極的に開発する数学者たちを集めます。特に、イラストレーションが研究方法として果たす役割に焦点が当てられています。単に説明するだけでなく、数学を探求するのです。良い証明がその結果以上のものを示すのと同じように、良いイラストレーションは形態やパターンを示す以上のことをします。私たちの代数的星図[14]での仕事、上記の画像を含む（Steve Trettelと、Jayadev Athreya、Gabriel Dorfsman-Hopkins、Claudio Gonzalezが参加）は、ささやかな例です。これらの画像は、有理立方多項式の複素根における複雑な構造を示しています。右側の画像にシェーダーを使用して描画したとき、コードの単純な最初のドラフトは円を楕円に変えました。しかし、意図しない歪みが意味のある構造の追加の次元を明らかにしたことに気づきました。これらの画像は、すでに知られているものを説明するのではなく、まだ探求されていない数学を示しています。もちろん、証明とイラストレーションの両方が誤解を招く可能性があります。特に研究においては。LLMの能力には代償が伴います。イラストレーションの場合、コードを生成する能力により、イラストレーションはこれまで以上にアクセスしやすくなっています。しかし、vibecodingによって、私たちは知識から2ステップ離れています。作成アルゴリズム自体も理解されていない可能性があります。証明の場合、この「消化」の問題が現在中心となっています。今月[15]、Ioannis Tsiokosの提案により、GPT-6 Astraは、最初の3次元非周期単タイルであるChair44を発見しました。Tsiokosは61ページの論文[16]を共有しました。彼は幾何学的な直感的な議論は理解したが、数学は理解できなかったと述べています。その後、Chaim Goodman-Straussは、その議論を8ページに要約しました[17]。これは、スーパータイルの構造を可視化する一致する矢印の図を中心に構築されており、非周期性の古典的な階層的証明を提供しています。Tsiokosの論文における形状自体のイラストレーションは、鍵となるアイデアを明らかにする上で重要な手がかりでした。したがって、私たちの元の質問に戻ると、これらの問題に直面して、イラストレーションはどのように厳密になりうるのでしょうか。論文では、Valeria Giardinoの思考のための表現としてのツール（Endeavour 42, 2018）[18]のアカウントを参考にしています。これは、イラストレーションの「アフォーダンス」、つまり図が誘発する読み取り、操作、推論を考慮しています。アフォーダンスのより強い定義を選択するかもしれません。つまり、証明が正確さを保証するイラストレーションの特性です。逆に、証明は、明白な特性がアフォーダンスではないことを示すことができます。例えば、マンデルブロ集合の初期の画像は、それが切断されているように見えました[19]。しかし、ピクセル化された画像では、ピクセル間のステップよりも薄い特徴が見落とされる可能性があります[20]。一方、主要な心臓部から特定のサイズのバルブの数のような特性は、ピクセルサイズが比較的小さい場合、正確であることが証明できます。これが画像の正確性に対処する場合、そのエンゲージメントや明らかにする能力はどうでしょうか。これらは明確な答えのない質問ですが、重要でないわけではありません。これらはまた、学術芸術が学生の作品に問いかける質問であり、芸術には長年テストされた方法があります。「クリティック」です。ワークショップで、芸術基礎の教授であるJean Schmittは、私たちが3ヶ月プログラム全体で使用したクリティックのフレームワークを設定するのを助けてくれました。クリティックは、しばしば最小限の紹介で提示される作品の議論であり、それが聴衆にどのように受け取られるかを明らかにします。その受け止め方と作成者の意図との間には、どのような類似点と相違点があるのでしょうか。これは、私たちがすでにしていた非公式な会話に、より正式な構造を与え、議論を共有空間に置きました。クリティックは、Gelfandのモスクワセミナーのスタイルと何かを共有しています。Schmittのワークショップでの講演[21]は、Tim Ingoldの「作りながら考える」（Making, Routledge, 2013）[22]のアイデアを参考にしています。そこでは、形態と