機械に数学を教えたのは誰か？

私たちが伝えた知識、そしてそれがどうなったかについて 10月6日、OpenAIは内部AIシステムによって生成された700以上の数学論文を公開しました。一部にはLean形式の正式な証明が付随し、その他は異なる検証段階にありました。 私はその論文リストをすべて確認する気になれませんでした。 2021年、私がFOCSプログラム委員長を務めていた頃、数日間に約400件の投稿が届いたことを思い出しました。 その時は、コミュニティが生み出したものを見ることに興奮していました。 この場合、火星からパッケージが届いたような感覚でした。 私は過去に気にかけていたいくつかの問題をクリックしましたが、それ以上は読みませんでした。 奇妙な断絶を感じ、好奇心だけではそれを乗り越えることができませんでした。 5月、私は、機械が数学者たちが長年成果を測ってきたものを生成できるようになると、数学に何が起こるかについて、「The Branch and the Wish」というエッセイを書きました。 その時の私の懸念は、機械が不正確な数学を生成することではなく、正確な証明を生成することに非常に長けた場合に何が起こるかということでした。 時間が経つにつれて、数学は、その目に見える成果――定理、証明、論文――を活動そのものと同一視するようになりましたが、長年の失敗した試み、直感とセンスの開発、そして数学者の形成は、見えにくくなっていきました。 私は、カウリダーサとミダス王の物語を借りて、その窮状を描写しました。 私たちは、生成した人々から独立して、明示化、検証、保存できる証明を望んでいました。 それらは良い願いでした。しかし、機械がそれらを満たし始めると、私たちはその願いが何を省略していたかを発見するかもしれません。 数学者が結果を発表するとき、その評判はその主張と結びついています。 数学者は問題に数ヶ月、時には数年を費やすことがあり、発表する前に議論を理解し、判断を行使することが期待されます。 数学者は間違いを犯します（私も犯しました）、そして最高の数学者でさえ不正確な証明を発表したことがあります。 しかし、深刻な間違いは、他者がその仕事を見る目に長年影響を与える可能性があります。 一方、OpenAIは数百の論文を公開し、一部には誤りがある可能性があることを認め、コミュニティにそれらを調べるよう促すことができます。 同社はその結果の数で注目を集めますが、個々の誤りの結果ははるかに拡散しています。 数学が信頼を維持してきた慣習が、このような結果の生成と発表方法のために設計されたものなのか、私には確信がありません。 次に、誰がチェックを行うのかという問題があります。 数学者は、見慣れない証明を理解し、その詳細を検討し、その声明が元の問題を捉えているかを確認し、すでに知られているものと比較するために、数日または数週間を必要とするかもしれません。 形式的な証明システムはかなりの助けになりますが、どの結果がより重要かを決定することは別の問題です。 そのためには、数学的なセンスを認識できる追加の機械が必要になるかもしれません。 このようなものが開発されることは疑いませんが、今回提示されたのはそれではありませんでした。 数百の結果が一度に届いた場合、それらを理解するために必要な注意は、単に公開されたという理由だけで利用可能になるわけではありません。 同社は比較的安価にそれらを生成できますが、数学者はどの結果が彼らの時間を費やす価値があるかを決定することになります。 私の5月のエッセイでは、検証は長い見習い期間を通じて開発されるスキルであり、数学がますます機械に委任されるようになると、このスキルが低下する可能性があると懸念していました。 今、別の可能性があります：既存の検証能力が、生成される資料の量によって圧倒されてしまう可能性があるということです。 私はまた、数学と理論計算機科学の学生を訓練し、同僚に私の結果の内部構造を説明するために費やした数え切れないほどの時間を思い出しました。 私たちは、Unique Games Conjecture、sparsest cut、graph Laplacians、最適化、および関連する問題に取り組みました。これには、OpenAIが現在解決したと主張しているものも含まれます。 これの多くは、教科書や研究論文にさえ載っていないことに関係していました。 なぜ特定の還元が有用なのか、なぜ一見自然なアプローチがうまくいかないのか、間違った問題設定を見ているといつ認識するのか、そして議論が行き詰まったときに何を試すべきか。 数学を長年行う中で、しばしば自分自身の教師や協力者から、無数の小さなトリックやステップを学びます。 私は、私自身の訓練と直感を伝えました。それはさらに他の人々から受け継がれたものでした。 一部は書き留められましたが、多くはそうではありませんでした。 それは会話、黒板、そして何かがうまくいった、あるいは失敗した理由を理解しようとする繰り返しの試みの中に生きていました。 ある時、同僚がSTOCの後で私の計画を変更させ、私がメトリック埋め込みに関する最新の結果を非常に詳細に説明するために彼らの大学に同行させたことを思い出します。 これらのやり取りは多くの時間を要し、学術生活の中で私が最も大切にしていた部分でした。 私が教えた何人かを含む、大学で訓練を受けた多くの数学者が、AI企業に移籍しました。 私は産業界の研究にも時間を費やしましたが、それには問題ありませんでした。 私の理解の一部は、初期の産業研究研究所によって形成されました。そこではオープンさの文化があり、研究者はしばしば広範な数学コミュニティに自由に貢献していました。 私たちが互いに伝えた数学的知識が、最終的に機械に数学を教えるために使用される可能性があり、それには私たちが問題を解決するために学んだ多くの書き留められていないトリックや中間ステップが含まれることを懸念していました。 この知識がどのように機械に入るのか、あるいはこの方法でどれだけ伝達できるのか、私には正確にはわかりません。 しかし、私は全体像について考えています。 大学は何年もかけて人々を訓練しており、その多くは公的支援を受け、知識は共有されるべきであるという知的文化を通じて行われています。 企業はこれらの人々を採用し、世代を超えて開発された専門知識を集め、ますます同じ知的作業を行うことを目的としたシステムを構築するためにそれを使用します。 結果として得られる能力は、大学自体が太刀打ちできないリソースとコンピューティングインフラストラクチャで構築された専有資産となります。 この知識は私のものでも、特定の誰かの所有物でもなかったと思います。 また、私たちが協力する人々として互いに負っていたもの以外に、誰かが私に何かを負っていたとも思いません。 私は、他人が時間と知識を自由に与えてくれたから数学を学びました。そして私も次の世代に同じことをしたいと思っていました。 学生が私にはできないことを成し遂げる可能性は、その目的の一部でした。 しかし、私はこれを人間活動の継続として想像していました。 私は誰かが数学を学ぶのを助けており、おそらくその人は他の人に教え、私が発見しなかったことを発見し、私たちが学んだことの一部を新しい方向へ運んでいくでしょう。 私はこの知識を guarded するものとして扱うことを想像できませんでした。 その価値は、伝達できるという事実に一部ありました。 この伝達プロセス自体が、ますます多くのこの作業を行うことを目的としたシステムの構築の一部となり得ます。人間の数学者を介さずに。 私はこれを抽出の一形態と呼びますが、単純なものではありません。 産業界は長年数学を支援しており、多くの重要なアイデアやツールが産業研究所から来ています。 大学で開発された知識が大学内に留まるべき理由もありません。 しかし、研究者が分野の開発にオープンに参加する産業研究所と、公的に開発された知識と専門知識を集めて専有システムを作成する企業との間には違いがあります。 この知識を開発するために何十年も費やした人々は、それが今何に使われているかについてほとんど発言権がありません。 かつて私が当然と考えていた大学と産業界の間の交換は、もはや同じようには機能しないかもしれません。 そして、かつて自由な循環を支えていた機関