複素数の単位根に関する注記

数学の最も素晴らしい側面の1つは、一見些細な問いを研究することで、どれほど深く掘り下げることができるかということです。単位根を考えてみましょう。「単位」とは単純に数字の1を意味します。

基本: 実数における単位根
単位根の研究は通常、中学校で始まります。1の平方根は何でしょうか？同等に、この方程式の解は何でしょうか？

[x^2=1]

さて、答えは2つあります。1と-1です。同様に、より高次の根についても質問できます。3乗根は方程式の解です。

[x^3=1]

そして、さらに続きます。実数のみを扱う場合、話はほぼそれだけです。奇数次の1の根の場合、唯一の答えは1です。偶数次の1の根の場合、答えは1または-1のいずれかです。私たちの領域を複素数に拡張すると、物事はより面白くなります。

基本: 複素数における単位根
形式的な定義によれば、単位根とは、正の整数べき乗nで1になる任意の複素数です。1のすべての可能な根を調べるのではなく、特定の与えられたnに対する根を議論する方がしばしば有用です。つまり、z^n=1となる複素数zです。例えば、n=2を考えてみましょう。根は1と-1であることがすでにわかっています。これらは虚部がゼロの複素数です。n=4の場合はどうでしょうか？4つの根があります。1、-1、i、-iです。n=3の場合、3つの根[1]は1、(-1+i*sqrt(3))/2、(-1-i*sqrt(3))/2です。これらが実際に3乗すると1になることを確認するのは簡単ですが、そもそもどのように計算するのでしょうか？

極座標を用いた複素数の根の計算
大きさ1の複素数は、極座標[2]でz=e^(i*theta)と表すことができます。zをn乗すると、次のようになります。

[z^n=e^(i*n*theta)]

z^nの大きさは依然として1であり、zがn乗根であるためには不可欠です。z^nを1に等しいとしましょう。

[z^n=e^(i*n*theta)=1]

この方程式の解を見つけるために、まず1自体を極座標で表したいと思います。別の変数で角度を表しましょう。

[1=e^(i*phi)]

phiの値は何でしょうか？単位円を考えると、phiは2*piの任意の整数倍です。これをk=0,1,2...に対して2*pi*kと表現します。

[1=e^(i*2*pi*k)]

z^nに戻りましょう。

[z^n=e^(i*n*theta)=e^(i*2*pi*k)]

または

[n*theta=2*pi*k => theta=(2*pi*k)/n]

したがって、n乗根は次のようになります[3]。

[z_k=e^(i*2*pi*k/n), k=0,1,...,n-1]

いくつかの基本的な例
n=2から始めましょう。次の根があります。

[z_0=e^(i*2*pi*0/2)=e^0=1]
[z_1=e^(i*2*pi*1/2)=e^(i*pi)=cos(pi)+i*sin(pi)=-1]

n=3の場合：

[z_0=e^(i*2*pi*0/3)=e^0=1]
[z_1=e^(i*2*pi*1/3)=cos(2*pi/3)+i*sin(2*pi/3)=-1/2+i*sqrt(3)/2]
[z_2=e^(i*2*pi*2/3)=cos(4*pi/3)+i*sin(4*pi/3)=-1/2-i*sqrt(3)/2]

予想通りです。n=4の根を計算するのも同様に簡単なはずです。試してみてください。

単位根と単位円上の回転
単位根z_kをそれ自身で乗算するとどうなるでしょうか？根の大きさは1なので、それによる乗算は、根の角度による単位円上の回転に似ています。例えば、3乗根のz_1を考えてみましょう。

[z_1=e^(i*2*pi*1/3)]

z_1をそれ自身で乗算します。

[z_1^2=e^(i*2*pi*1/3) * e^(i*2*pi*1/3) = e^(i*2*pi*2/3)]

z_1の角度が2*pi/3の場合、z_1^2の角度は4*pi/3です。もう一度z_1で乗算してみましょう。

[z_1^3=e^(i*2*pi*2/3) * e^(i*2*pi*1/3) = e^(i*6*pi/3) = 1]

結果は1になります。予想通りです（結局、z_1は3乗根なのですから）。この視覚化は、単位根が単位円上にどのように現れ、それらをべき乗すると根が回転し、最終的にz_k^n=1になるかを示しています。

[The nth roots of unity, equally spaced around the unit circle. Use the root selector below. Roots n]

[Root k]

[The powers of the selected root. Use the power slider below. Power m]

最初にnを選択すると、n乗根が単位円上の青い点として表示されます。次に、いずれかの根をクリックすると、下のプロットでそのべき乗が表示されます。スライダーをドラッグして回転を確認してください。しばらくこれで遊んでいると、一部の根、例えばn=6のときのz_2は、nより小さいべき乗で1に戻ることがわかります。単位根の群論的側面について議論する際に、この結果を再訪します。

幾何学: 単位根と正多角形
単位根は複素平面上の単位円上に均等に配置されていることがわかりました。根を隣接する点と直線で結ぶと、興味深いことに気づきます。

[Adjacent nth roots of unity joined to form a regular polygon on the unit circle. Roots n]

nの値を変えると、正多角形が得られます！各根を原点に直線で結ぶと、これを証明するのは非常に簡単です。得られる三角形は合同です。なぜなら、原点から根までの辺はすべて長さ1であり、中心角はすべて2*pi/nだからです。したがって、多角形の辺とその角度はすべて同一であり、それらを正多角形にしています。

単位根の共役
単位根を次のように仮定します。

[z_k=e^(i*2*pi*k/n)]

あるkとnに対して。z_kの逆数を取ると：

[z_k^(-1)=e^(-i*2*pi*k/n)]

すると：

[(z_k^(-1))^n=e^(-i*n*2*pi*k/n)=e^(-i*2*pi*k)=1]

したがって、z_k^(-1)もn乗根です。z_kのべき乗は単位円上を反時計回りに回転してn乗で1に着地する一方、z_k^(-1)のべき乗は同様に時計回りに回転します。z_k^(-1)はz_kの複素共役でもあります。

[z_k^(-1)=z_k^*]

したがって、次のような場合：

[z_k=e^(i*2*pi*k/n), k=0,1,...,n-1]

がn乗根である場合、次のようになります。

[z_k^*=e^(-i*2*pi*k/n), k=0,1,...,n-1]

もn乗根です。実際、これらは同じ根です。なぜなら、任意の正のkに対して：

[z_k^*=e^(-i*2*pi*k/n)]
[=1 * e^(-i*2*pi*k/n)]
[=e^(i*2*pi) * e^(-i*2*pi*k/n)]
[=e^(i*2*pi*n/n) * e^(-i*2*pi*k/n)]
[=e^(i*2*pi*(n-k)/n) = z_(n-k)]

したがって、共役根を列挙することは、根自体を逆順に列挙することと同じです。

群論: 単位根の巡回群
あるnに対して、z_k（単位根）の集合を見てみましょう。

[mu_n = {z_k = e^(2*pi*i*k/n) : k=0,1,...,n-1}]

この集合は、乗算演算とともに、群を形成します。それを証明してみましょう。

閉包: z, yがmu_nに属すると仮定します（つまり、z^n=1かつy^n=1）。すると：

[(zy)^n = z^n * y^n = 1]

したがって、zyはmu_nに属します。

単位元: 数字の1はmu_nに属するので、群の単位元として機能できます。

結合法則: 複素数における乗算演算の結合法則から直接取られます。

逆元: 共役に関するセクションで、zがn乗根である場合、z^(-1)もn乗根であることを示しました。したがって、逆元は存在し、群の一部です。演算は複素数乗算であるため、可換性のような追加の性質を容易に導き出すことができます。したがって、群mu_nはアーベル群です。

最後に、群が巡回群でもあることを示し、その生成元について議論できます。より簡単な表記のために、w=z_1としましょう。すると、群は次のように表すことができます。

[mu_n = {1, w, w^2, ..., w^(n-1)}]

これにより、群が巡回群であることが明らかになります。そのすべての要素はwの整数べき乗として表現できます。そしてwは群の生成元です。しかし興味深いことに、wはこの群の唯一の生成元ではありません。任意のw^kが生成元になり得ます。ただし、kとnが互いに素である場合に限ります。例えば、群mu_6を考えてみましょう。

[mu_6 = {1, w, w^2, w^3, w^4, w^5}]

明らかに、wはこの群の生成元です。しかし、w^2はそうではありません！それをさまざまなべき乗にすると、次のようになります。

[(w^2)^0 = 1]
[(w^2)^1 = w^2]
[(w^2)^2 = w^4]
[(w^2)^3 = w^6 = 1]
[(w^2)^4 = w^8 = w^2]
[(w^2)^5 = w^10 = w^4]

w^6=1なので、w^2のべき乗はわずか3ステップで繰り返されるため、6つの群要素のうち3つしか到達しません。しかし、kとnが互いに素であれば、w^kは生成元になります。mu_6の場合、wとw^5だけが生成元であることを簡単に確認できます。

[The roots that are generators]