ヒルベルト空間では、あらゆることは量子的に可能

ヒルベルト空間では、あらゆることが量子的に可能

量子現象を探求するには、馴染みのある世界を離れ、ヒルベルト空間という抽象的な領域に入らなければなりません。

量子力学の中心には、この理論をどのように使うかについてのいくつかの神聖な規則があります。まず第一に、そして最も重要なのは、通常の空間を駆け巡る通常の物体について考えてはならない、ということです。むしろ、量子力学は、物体が将来どのように存在するようになるか、そのすべての可能な方法を、驚くほど詳細に予測します。それらの可能な未来を探求するには、全く異なる数学的対象—広大で異質な領域に方向づけられたベクトルと呼ばれる矢印—を追跡する必要があります。

これらの矢印は場所を指しているわけではありません。「それは、それよりもはるかに抽象的な空間です」と、カナダ、ウォータールーにあるペリメーター理論物理学研究所の物理学者、ルシアン・ハーディは述べています。「それらは、可能性の空間における方向を指しているのです。」

この可能性の空間はヒルベルト空間と呼ばれ、量子物理学の主要な舞台として機能します。

初期の量子力学の開拓者たちは、原子の振る舞いを驚くほど正確に捉えた難解な数学が、現実世界からかけ離れていることに、当初は気づいていませんでした。この量子世界をヒルベルト空間として認識し、定義したのは、先見の明のある数学物理学者、ジョン・フォン・ノイマンでした。彼がそうしたとき、ヒルベルト空間の入り組んだ理解を探求することが、物理学者たちを量子物理学のより深く、より統一された理解へと導きました。

フォン・ノイマンの量子力学の最初の戒律がどのように生まれ、それをどのように理解するかを説明します。

ヒルベルト空間とは何か？

フォン・ノイマンの戒律、または公理は、1920年代に立て続けに開発された量子力学の2つの異なる形式を理解するための彼の方法でした。まず1925年に、ヴェルナー・ハイゼンベルクの「行列力学」が登場しました。これは、原子を周回する電子がより高い軌道または低い軌道にジャンプする確率を計算するために、不可解な表や、後の定式化では果てしない数のタワーを使用しました。翌年、エルヴィン・シュレーディンガーは「波動力学」を導入しました。これは、例えば、粒子が空間の特定の場所で見つかる確率を追跡するために波を使用しました。これら2人の物理学者が想起させたイメージは完全に異なって見えましたが、それらは同一の予測をもたらしました。ハイゼンベルクとシュレーディンガーは、1つの理論の2つの根本的に異なる化身を考案したのです。しかし、その理論とは何だったのでしょうか？

この疑問は、物理学を厳格な公理の堅固な基盤の上に再構築することに人生の多くを捧げた著名な数学者、デイヴィッド・ヒルベルトを魅了しました。彼は1920年代半ばにフォン・ノイマンにこの問題について考えさせました。1927年、23歳の天才は、ポール・ディラックの洞察に基づいて、単著の3部作論文でそれを解決しました。

［画像: 髭を生やした男性が籐椅子に座っている。］

数学者のデイヴィッド・ヒルベルトは、量子力学の異なる形式を統一する数学的構造を求めていました。

Mactutor

「具体的にはフォン・ノイマンのアイデアでしたが、公理化するとはどういうことか、そして何のために公理化するのかというインスピレーションは、彼がヒルベルトから得たものです」と、数学史家のレオ・コリーは述べています。

これらの論文は量子力学の規則を定め、理論の中心的な対象とその振る舞いを注意深く定義しました。フォン・ノイマンは、ハイゼンベルクのタワーとシュレーディンガーの波が、0.5と½が数直線上の同じ点を指すように、同じ実体の異なる側面であることを示しました。それらは両方とも、量子力学の中心的なキャラクターである量子状態を表していました。

すべてのものには状態があります。コインは表か裏かを示すことができます。振り子時計の錘は、揺れる際に任意の数の位置を取ることができます。物理学のほとんどは、物体の状態を捉え、それがどのように変化するかを予測することに費やされます。

フォン・ノイマンの量子規則は、状態の概念を複雑にします。量子物体を観測する前に、それは特定の場所のような固定された性質のセットを持っていません。代わりに、それは量子力学に固有の可能な性質の組み合わせ—「量子重ね合わせ」を持ちます。重ね合わせは、例えば、粒子が最終的に存在する可能性のあるすべての場所を組み合わせます。それらの可能性は正確で有益である可能性があります。例えば、粒子が左側で見つかる確率が99%、右側で見つかる確率が1%かもしれません。賭け方を決めることはできますが、確認するまで勝ったかどうかは決して確実にはわかりません。

フォン・ノイマンは、量子状態をベクトルと呼ばれる数学的な矢印として表現しました。この矢印は、あらゆる量子物体の可能なすべての未来を捉える空間—ヒルベルト空間—を横切る方向を指します。

3つの可能な状態（赤、黄、緑）を持つ量子信号機を想像してください。その矢印は3次元のヒルベルト空間に存在し、3つの軸は可能な未来の色を表します。信号機が観測される瞬間まで、それは色を持たず、むしろ可能な色の混合物を持っています。そのため、その矢印は空間の中心領域を指します。矢印が例えば赤の軸にどれだけ近づくかによって、信号機が赤と測定される可能性が高まります。

電子から銀河まで、あらゆる物体の状態は、そのようなヒルベルト空間を横切るある方向を指す、そのようなベクトルによって捉えることができます。これがフォン・ノイマンの量子力学の最初の規則です。

ヒルベルト空間では何が起こるのか？

矢印は2つの方法のいずれかでヒルベルト空間内を移動します。フォン・ノイマンの他の戒律は、その方法を指定します。

最初の可能性は、観測前に行われることに対応します。世界が物体に影響を与え、その状態を変化させるにつれて、矢印はヒルベルト空間内をスムーズに回転します。それは緑の軸に近づくかもしれません。それは信号機が緑と測定される可能性を高めるでしょう。あるいは赤や黄色に近づくかもしれません。重要なのは、これらすべてがスムーズかつ予測可能に行われるということです。

次に、実際にシステムを観測すると、ベクトルは瞬時にランダムに赤、黄、または緑の軸のいずれかにスナップします。1つの軸にどれだけ整列しているかによって、他の軸よりもその軸にスナップする可能性が高くなりますが、その運命は最終的に予測不可能です。例えば、それが緑になったとしましょう。あなたは緑の信号機を観測し、矢印は緑の軸に完全に整列しているため、後続の測定でも緑のままである確率が100%になります。量子重ね合わせはもう存在しません。

ヒルベルト空間を定義する性質は何ですか？

物体が持つ可能な未来が多いほど、そのヒルベルト空間は大きくなります。2つの可能な未来を持つコインのような粒子は「量子ビット」であり、量子コンピュータの計算の構成要素です。それは2次元のヒルベルト空間を持ちます。私たちの3色の信号機は3次元のヒルベルト空間を持ちます。しかし、それは始まりにすぎません。自由に浮遊する粒子は宇宙のあらゆる場所で見つかる可能性があるため、そのヒルベルト空間は無限次元を span する必要があります。

このサイズ—それが2次元であろうと無限次元であろうと—は、フォン・ノイマンの規則によれば、ヒルベルト空間の唯一の基本的な特徴です。軸は任意であり、私たちが想像したものであり、空間固有のものではありません。

電子を考えてみましょう。それは1つの状態、1つの矢印を持ち、広大なヒルベルト空間を指しています。そのヒルベルト空間は、エネルギー、位置、運動量など、可能なすべての測定を span します。電子がどこにある可能性があるかを知りたい場合は、可能な位置を表す軸で空間に印を付けることができます。粒子がどこへ向かっている可能性があるかを知りたい場合は、可能な運動量表す異なる軸セットを適用します。どの測定を意図するにしても、基盤となるヒルベルト空間は同じままです。

ヒルベルト空間を自由に切り分けることができるこの自由は、ハイゼンベルクとシュレーディンガーが同じ理論の2つの異なるバージョンを考案することを可能にしたものです。ハイゼンベルクの描像は基本的に軸を配置し、それらをベクトルを中心に回転させましたが、シュレーディンガーの描像は逆のことを行いました。それは固定された軸セットを配置し、ベクトルをそれらに対して回転させました。それらは、同じヒルベルト空間内の同じ矢印に対する、完全に異なる2つの数学的視点でした。

1927年の論文の最初の論文で、フォン・ノイマンは、そのような空間を定義する2つの数学的基準を概説しました。第一に、それは「完全」でなければなりませんでした。それは領域や点を欠いていてはなりませんでした。第二に、状態と軸の間の整列を計算できる必要がありました。これは、光が矢印にまっすぐ下に当たって軸上に影を落とすのを想像することで視覚化できます。（影が長いほど、矢印はその軸に強く整列しています。）空間はこの操作、内積として知られるものを可能にする必要がありました。これらの2つの特徴を持つ任意の空間は、そのサイズや起源に関係なく、ヒルベルト空間でした。

「これは、いわゆるヒルベルト空間量子力学を作成する上で大きな一歩でした」と、ロンドン・スクール・オブ・エコノミクスの物理学哲学者であるミクロス・レデイは述べています。「数学的一般化または抽象化がどのように行われるかの美しい例です。」

フォン・ノイマンは、1900年代初頭に無限次元の特定の空間を最初に探求したメンターであるヒルベルトにちなんで、これらの抽象空間をヒルベルト空間と呼びました。ヒルベルトの研究は、それらの空間が完全であり、内積を持つことに依存していましたが、彼の弟子がそれらをより一般的な空間のクラスの例としてまとめるまで、彼はそれらをより一般的なクラスの空間の例として考えていませんでした。年配の数学者は、自分の名前がこの新しい数学的構造に付けられていることを発見して驚いたかもしれません。「フォン・ノイマン博士、結局のところ、これらのヒルベルト空間が何であるかを知ることに本当に興味があります」と、ヒルベルトは1929年の講義中に報告されているように尋ねました。

ヒルベルト空間は現実か、それとも単なる抽象か？

量子力学誕生から1世紀を経て、この理論は物理学者たちを気まずい立場に置きました。私たちは、物体が3次元の物理空間を移動するにつれて位置を変える世界に住んでいます。しかし、私たちの最も基本的な理論は、フォン・ノイマンの広大な可能性の領域で、別の場所で行われています。それは私たちの世界の現実、あるいはヒルベルト空間の現実について何を意味するのでしょうか？

ジョンズ・ホプキンス大学の哲学者兼物理学者であるショーン・キャロルにとって、メッセージは明確です。量子力学が自然の基本的な理論であるならば、ヒルベルト空間は現実の基本的な劇場と見なされるべきだと、彼は2022年の論文で主張しました。彼の研究分野の1つは、宇宙があり得るすべての方法をカプセル化した、混乱したヒルベルト空間から私たちの馴染みのある世界を抽出しようとしています。

他の物理学者はより実用的な立場を取っています。プリンストン大学の物理学者であるジョナサン・ソー​​スは、ヒルベルト空間は多くの量子システムを記述するのに驚くほど役立つ便利な数学的構成であると述べていますが、すべてではありません。彼は、空間と時間の構造を量子対象として記述できる数学的構成を探求している研究者のコミュニティに属しています。そのような理論は、ブラックホールの中心で何が起こるかのような大きな質問に答えるための前提条件です。

これらの質問をしている物理学者は最近、彼らの目的に特に適しているように見える、さらに抽象的な空間に焦点を当てています。この種の空間は、ヒルベルト空間に対して行うことができること、例えばそれを異なる方法でスライスしたり、あるスライスを別のスライスに回転させたりすることから作られています。このアリーナで、彼らはブラックホールがそれほど神秘的ではないように見えることを発見しました。

この種の超空間は、今日フォン・ノイマン代数として知られています。フォン・ノイマン自身は、彼を悩ませていたヒルベルト空間の一部の論理的不整合の潜在的な解決策として、それを開発するのを助けました。「私は、不道徳に聞こえるかもしれない告白をしたいのですが、私はもはやヒルベルト空間を信じていません」と、彼は代数の利点を探求していた1935年の手紙で書いています。

ソー​​ス自身は、フォン・ノイマンがすべてのものを支配する1つの空間を求めた願望を共有していません。彼は、研究している量子対象に最も適した数学的構成を使用することに満足しています。多くの場合、それはヒルベルト空間です。時にはそれはフォン・ノイマン代数です。そして、時折、数学者が過去1世紀にわたって考案した他の多くの空間の1つである可能性もあります。

「これらのものの動物園全体があります」と彼は言いました。

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