石鹸膜の色の科学

石鹸膜の色の科学

石鹸膜は、石鹸分子の2つの層の間にある水のシートであり、しばしば1マイクロメートルよりも薄いです。重力によって下方に流れる垂直な膜は上部が薄くなるため、白色光の下では厚さ順に並んだ色の帯を示します。ニュートンは、ガラスカバーの下に置かれた泡でそれらを観察しました（Opticks、Book II, Part I, Observation 17）：上部に色のリングが形成され、水が流れ落ちるにつれて広がり下に移動し、泡が壊れる前に上部に黒い斑点が現れました。

厚さdでの色は、2つの要素から導かれます。各波長λで膜が反射する光の割合と、国際照明委員会（CIE）がスペクトルを色に還元するために使用する3つのカラーマッチング関数です。前者は1/λの単一のコサインであり、色は固定された白色から、膜の背面で反射された光が移動する追加の光路長である2nd（ここでnは水の屈折率）で評価されたカラーマッチング関数のコサイン変換を引いたものになります。計算された色は、ニュートンがそれらのためにまとめた厚さの表と一致します。

反射スペクトルはコサインである

波長λの光が膜の2つの表面に垂直に、つまり膜に垂直に進むと仮定します。2つのビームが眼に向かって戻ってきます。1つは前面で反射されます。もう1つは膜を横切り、背面で反射され、再び膜を横切ります。

光は電磁波です。つまり、波が進むにつれて一緒に振動する電場と磁場です。ビームの振幅は電場振動の大きさであり、ビームの明るさはその振幅の2乗に比例します。図では、各ビームは入射ビームの振幅の倍数として振幅がラベル付けされています。

d 1 r t −rt −rtt′ ≈ −r air, index 1 front surface water, index n back surface air front-surface wave back-surface wave their sum, the reflected light τ direction of travel →

図中のすべてのビームは、膜に垂直な同じ線に沿って進みます。それぞれにラベルを付けられるように、それらは並べて描かれています。右半分は、ある瞬間の2つの戻り波を示しています。背面波は前面波を上下反転させたもので、前面波よりτだけ遅れています。眼に届く光は、2つの波の合計です。

各表面がどれだけ反射するか。 光が表面に垂直に進むとき、その電場と磁場の両方は表面に平行です。屈折率nの媒質では、磁場の振幅はnに屈折率の振幅を掛けたものに比例します。振幅1のビームが、屈折率n1の媒質から屈折率n2の媒質へ横切るとき、それは振幅rの反射ビームと振幅tの透過ビームに分割されます。マクスウェル方程式は、各場が境界の両側で同じ値を取ることを要求します。電場の場合、この条件は1+r=tとなります。反射ビームは反対方向に進むため、その磁場は反対方向を向き、磁場に関する条件はn1(1-r)=n2 tとなります。これら2つの連立方程式を解くと、法線入射に対するフレネル係数が得られます。

r = (n1 - n2) / (n1 + n2), t = 2n1 / (n1 + n2)

石鹸膜では、空気の屈折率は1、水の屈折率はnです。前面では、光は空気から水へ移動するため、r = (1-n)/(1+n)、t = 2/(1+n)となります。n=1.33の場合、r=-0.142です。背面では、光は水から空気へ移動します。2つの屈折率が入れ替わり、反射係数は(n-1)/(n+1) = -rとなります。したがって、2つの反射は反対の符号を持ちます。背面ビームは前面を水から空気へ通過する際に透過係数t' = 2n/(1+n)を持ちます。このビームは透過、反射、そして再び透過して、振幅として戻ってきます。

t (−r) t′ = −r ⋅ 4n / (1+n)² = −r (1 - r²)

最後のステップでは、(1+n)² - (1-n)² = 4nを使用します。水の場合、1-r² = 0.98です。ここから、0.98 ≈ 1と近似します。これは背面ビームの振幅を2%変化させます。したがって、2つの戻りビームの振幅はrと-rになります。

2番目のビームが最初のビームにどれだけ遅れるか。 背面ビームは、水の内部で追加の距離2dを移動し、そこで波長はλ/nに短縮されます。したがって、それは前面ビームから2d / (λ/n) = τ/λ波長だけ遅れます。ここで、

τ = 2nd

は2つのビーム間の光路長差です。波長がλである空気中では、これは図に示すように距離τに相当します。遅延の各波長は振動の1サイクル全体であるため、背面波は位相差φ = 2πτ/λだけサイクルがシフトします。この角度は位相差と呼ばれます。

位相が異なる2つの波は、振幅がその大きさで位相がその角度である複素数として書き出すことで加算されます（オイラーの等式ポストを参照）。φによるシフトは複素数をe^(iφ)で乗算します。したがって、膜によって反射される光の振幅は次のようになります。

r − r e^(iφ) = r (1 − e^(iφ)), φ = 2πτ / λ

反射率Rは、膜が反射する入射光の割合です。明るさは振幅の2乗に比例するため、Rはこの複素数の大きさの2乗です。|1 - e^(iφ)|² = (1 - cos φ)² + sin² φ = 2 - 2 cos φなので、

R(λ) = 2r²(1 - cos(2πτ/λ)) = 4r² sin²(πτ/λ)

n=1.33を可視光帯全体で一定とすると、r²=0.0201なので、Rは0から4r²=8.0%の間になります。波数σ = 1/λでは、R = 2r²(1 - cos(2πστ))となり、周期1/τの単一コサインになります。光は膜内で数回往復してから外に出ることもあります。これらすべての反射を合計すると、正確なエアリーの公式（Born and Wolf, §7.6）が得られます。その高調波cos(2πkστ)（整数k≥2）は、各kから次のkへr² ≈ 0.02の係数で縮小し、2ビーム式はそれから約4%以内のままです。

スペクトルからの3つの数値

CIE 1931 標準観察者の場合、スペクトルパワーP(λ)を持つ光は、3つの三刺激値によって記述されます。

X = ∫ P x̄ dλ, Y = ∫ P ȳ dλ, Z = ∫ P z̄ dλ

ここで、x̄, ȳ, z̄は表形式のカラーマッチング関数です。同じ(X,Y,Z)を持つ2つの光は標準観察者にとって同一に見え、ȳは明るさに対する眼の感度であるため、Yは輝度です。膜によって反射される光は、スペクトルSを持つ光源に対してP = SRとなります。私はD65を使用します。これはCIEの平均昼光の標準表現です（ニュートンは彼の泡を「白い色の場合、空の反射によって」観察しました）。完全な反射体が白色点 W = (0.950, 1, 1.089)となるように正規化されています。sRGB標準は、(X,Y,Z)を画面が表示する色に変換する3x3行列とエンコーディングカーブを指定します。

色はコサイン変換である

Rを3つの積分に代入し、変数σ = 1/λに変換します。波数軸上に3つの重み曲線

wx(σ) dσ = S(λ) x̄(λ) dλ / ∫ S ȳ dλ

と、同様にwy, wzを定義します。これにより、それらの積分はWの3つの成分になります。w = (wx, wy, wz)とすると、膜の三刺激値は次のようになります。

(XYZ)(d) = 2r²(W - ĉ(τ)), ĉ(τ) = ∫ w(σ) cos(2πτσ) dσ, τ = 2nd.

ベクトルĉ(τ)は、3つの重み曲線のコサイン変換（フーリエ変換の実部）であり、パス差で評価されます。

黒い膜。 d=0のとき、コサインはすべての波長で1になり、ĉ(0) = Wとなり、膜は何も反射しません。2つの反射は完全に相殺されます。dが小さいとき、R(λ) ≈ 4r²(πτ/λ)²は1/λ²に比例するため、薄い膜が最初に反射する光は短い波長に偏ります。その色度は、CIE座標(x,y) = (X,Y)/(X+Y+Z)で(0.266, 0.281)となり、白色点(0.313, 0.329)よりも青くなります。この青みがかった灰色は、ニュートンが黒の直後にリストしている淡い青です。d=10 nmのとき、膜は光の0.18%を反射します。これは単一の水表面が反射する2%よりも少ないですが、ゼロではなく、ニュートンは黒い斑点から「非常にかすかに反射された（ろうそくや太陽の）像」を見ることができました。

次数。 輝度Y = 2r²(1 - ĉy(τ))は、ȳの中心の波長が消滅するとき、つまりτがλ̄ = 554 nm（ȳの平均波数長の逆数）の倍数であるときに最小になります。計算された最小値はd=207, 416, 626, 837 nmにあり、λ̄/2n = 208 nm間隔です。スペクトルの中心が除去されると、赤と青の光が残り、これらの紫色の帯が次数を分離します。第2および第3次では青、緑、黄、赤を通過し、第4次以降では緑とピンクが交互に現れて淡くなります。

ウィジェットは、55 nmステップでCIEテーブルから式を評価します。反射率は、Sx̄, Sȳ, Sz̄の積が破線で示され、色度図には現在のdまでの膜のパスが示され、2 μmまでのすべてのdに対する色が示されます。

第1次では、Rのピーク（λ=2τ）は紫外線から可視帯に移動します。d=104 nmでは553 nmにあり、Rは帯全体で最大値の半分以上に保たれ、膜は白くなります。Rのゼロ（λ=τ）はd=143 nmで帯に入り、膜を黄色にし、その後赤にし、d=208 nmで緑に達します。色度のパスは、各最初の3つの次数で白色点を1周します。その後、第2次以降、白色点の緑側とピンク側の間で揺れ動き、その距離は各次数で縮小します。

色は白に薄れていく

dが増加すると、リーマン・ルベーグの補題（積分可能な関数のフーリエ変換は無限大でゼロに収束する）によりĉ(τ)→0となるため、厚い膜は光源自体の色を2r² ≈ 4%で反射します。これは、干渉せずに反射が加算される2つの水表面の反射率です。Rのコサインはσで周期1/τを持ち、可視帯にはその周期のτ (1/380 - 1/780) nm⁻¹が含まれます。d=0.5 μmでは1.8、d=1.5 μmでは5.4です。数周期にわたる重み曲線は、コサインをほぼゼロに平均化します。

重み曲線の幅が減衰率を決定します。ȳを同じ平均σ̄ = 1/λ̄と標準偏差sを持つガウス分布に置き換えると、

ĉy(τ) ≈ cos(2πσ̄τ) e^(-2π²s²τ²)

次数を生成する振動が、ガウス包絡線の下にあります。表形式のD65とȳの場合、s = 0.136 μm⁻¹であり、包絡線はτ = 1/(√2 π s) = 1.65 μm（厚さ0.62 μm）で1/eまで低下します。表形式の曲線の正確な変換の絶対値は、d=1.2 μmまでこの包絡線から0.032以内に留まります。より狭い重み曲線の変換は、よりゆっくりと減衰します。これは、ハイゼンベルクの不確定性ポストからのフーリエ変換の幅のトレードオフです。計算によると、d ≥ 1.25 μmのすべてのdで色度は白色点から0.03以内、d ≥ 1.61 μmのすべてのdで0.01以内に留まります。

ニュートンの表

ニュートンは、2枚のレンズを押し付けた間にできた空気の薄膜の色のリングを測定し、空気、水、ガラスの膜について「各色が最も強く鮮明になる」厚さの表を百万分の一インチ単位でまとめました（Book II, Part II）。彼の水の列の選択されたエントリを、百万分の一インチあたり25.4 nmで変換し、その厚さでの計算された色と並べて示します。

最も明るい計算された膜（104 nm）は、98 nmのニュートンの第1次白色です。彼の第2次紫（213 nm）は、最初の輝度最小値（207 nm）の隣にあり、彼の最後の項目である第7次赤みがかった白色（1467 nm）は、白色点に近いピンクがかった白色として現れます。

ニュートンはまた、泡を斜めに見ました（Observation 19）。膜内部の法線に対する角度θでは、光路長差は2nd cos θとなるため、法線入射で厚さdで見える色は、d/cos θの厚さで見える色と同じになります。スネルの法則は、sin θ ≤ 1/nを与え、最も傾斜した入射での最大の係数はn/√n² - 1 = 1.52（水の場合）です。ニュートンの最も傾斜した観察での比率は次のとおりです。「私の最も良い観察によると、それは15と15-1/2対10の間でした。」

ミシェル＝レーヴィチャート

交差した偏光子の間に置かれた複屈折性結晶のプレートは、それらに対して45°の角度で、偏光された光のsin²(πΓ/λ)の割合を透過します。ここで、遅延Γはプレートの2つの偏光間の光路長差です。これはΓ=τの場合のR/4r²に相当するため、ウィジェットのストリップは、鉱物学者が薄片で鉱物を識別するために使用する干渉色チャートでもあり、遅延は2ndです（同じ光源を使用し、複屈折性が帯全体で一定であると仮定）。Sørensen (2013)は、第一原理からそのチャートを再計算しました。

参考文献

• Isaac Newton. Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light. London, 1704. Fourth edition, 1730. Book II, Part I, Observations 17–19 on soap bubbles, and Part II, the table of thicknesses of colored plates.
• Max Born and Emil Wolf. Principles of Optics, 7th edition. Cambridge University Press, 1999. Chapter 7: two-beam interference in a plane-parallel plate (§7.5) and multiple-beam interference (§7.6).
• CIE. Colour-matching functions of CIE 1931 standard colorimetric observer. Dataset, 2019, from ISO/CIE 11664-1:2019.
• CIE. CIE standard illuminant D65. Dataset, 2019, from ISO/CIE 11664-2:2022.
• IEC 61966-2-1:1999. Multimedia systems and equipment – Colour measurement and management – Part 2-1: Colour management – Default RGB colour space – sRGB.
• Bjørn Eske Sørensen. A revised Michel-Lévy interference colour chart based on first-principles calculations. European Journal of Mineralogy, 25(1):5–10, 2013.

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