最近の数学の実践に関する雑記

最近の数学の実践に関する雑記

これは奇妙な瞬間です。後になって振り返れば、物事がどこへ向かっていたのかが明白だったと語り合うような物語を語るだろうという予感があります。そこで、この時点での混乱を記録するために、小さなタイムカプセルをここに置きたいと思います。これは、最前線からの個人的な視点です。

1.

普通の人は、AIが長い間数学に長けていると感じているかもしれません[1]。しかし、「本当の」数学に関しては、おおよそ以下のようでした。

過去にAIの進歩に驚かされた経験があっても、AIが数ヶ月のうちに、かすかに役立つ玩具から、多くの人が今やほぼ不可欠だと考えるものへと進化したのを見るのは、やはり驚くべきことでした。

2.

個人的には、現在のAIは「数学をすること」において私の生産性を約50%向上させると言えます。これは、AIが今や、私が自分でやるには何時間もかかったであろうことを、数分でこなすことができるにもかかわらずです。

私の「数学をすること」という概念には、定理のアイデアを思いつく、それを証明しようとする、書き留める、より明確にするためにすべてを再編成するなど、さまざまなステップが含まれます。AIはこれらのうちのいくつかは得意ですが、他のいくつかはまだかなり苦手なので、全体的なスピードアップは期待するほど高くはありません。

（飛行機が10倍速く飛べたとしても、ロンドンのアパートからローマの友人の家までのドアツードアの移動時間はそれほど大幅には短縮されないでしょう。空港への移動や搭乗待ちがあるからです。）

3.

しかし、私はまだ（ある意味で、後述します）古い「数学をすること」のワークフローに従おうとしており、その一部を自動化しているだけです。それは正しいことでしょうか？

もし私たちが現在のコストの1%でバッテリーを製造する方法を見つけたとすれば、「クール、バッテリーは今や安い」と言うだけでは済まないでしょう。私たちは、以前は意味をなさなかったバッテリーのあらゆる種類の新しい使い方を見つけ、これらの新しいバッテリーすべてを考慮して発電方法を変えるでしょう。おそらく、私たちのエネルギーシステム全体が変革されるでしょう。同様に、AIが証明に長けていることは、非常に異なる均衡状態につながるはずです。しかし、それは何でしょうか？[2]

4.

現時点では、「数学をすること」の意味について流動的な見解を維持することは健全なようです。しかし、最低限、それは私が「やっている」数学を理解することを確実に含みます。そのワークフローの一部である限り、AIがどれほど優れていても、「私」が数学を「できる」速さには限界があるように思われます。

一つの明白な結論は、私の小さな有機的な脳をワークフローから完全に削除すべきだということです。そうかもしれません！しかし、人間をループに残したまま、物事がどれほど速く進む可能性があるかを推測するのは興味深いです。答えはこうです：たくさん。

5.

あなたが聞いたかもしれないこととは対照的に、人間は数学において廃止されていません。まだです。最も明白な理由は、AIがまだ書くのが苦手だということです。

人々はしばしば、AIの文章がさまざまなパターンを使いすぎたり、独自の声を持っていなかったりすると不平を言います。私も同意しますが、私は常に、指で押さえることができない、より深い問題があるように感じていました。数学においては、これは非常に明確になります：問題は、それが全く意味をなさないということです。

本当に、私はそれが「書くのが下手」ということよりも深いと思います。AIは、悪い文章として現れる特定の思考方法が苦手なようです。

6.

初心者が数学を行うとき、彼らはしばしば「スパゲッティコード数学」を作成します。たくさんの数式がある長い文書を想像してみてください。しかし、あなたが数式を指差しても、それがどのような仮定に基づいているのか、あるいは大きな絵の中でどのように適合するのかを言うのは困難です。17ページ前に言及されたランダムなアイデアが、警告なしにいつでも再び使用される可能性があります。経験を積むと、人々は複雑な議論を、比較的単純な仮定と結論を持つ「API」のようなモジュール化された部分に分解することを学びます。

どういうわけか、AIはこれらの驚くべき技術スキルを開発しましたが、抽象化を作成するのはまだ苦手です。そのため、AIが与える議論は長く、絡み合い、当惑させるものです。これがAIの数学が非常に異質に見える理由です。

7.

さて、あなたが考えていることはわかっています。おそらくAIは抽象化を作成するのが苦手なのではなく、あなた、小さな有機的な脳を持つ人間にとって機能する抽象化を作成するのが苦手なのでしょう。

遠くから見れば、それはもっともらしく見えます。そして、ある程度は真実かもしれません。私は人間の脳に高帯域幅でアクセスできます。これは、私が人間の脳がアイデアの特定の提示にどのように反応するかを予測するのに有利であると想像するのは狂気ではありません。しかしそれでも、AIは抽象化を作成するのが客観的に苦手であると主張します。消費者が人工物であれ人間であれ、その抽象化の消費者に関係なくです。

理由は次のとおりです。AIに難しいことを証明するように頼むと、単純なものから始まり、徐々に複雑な暴走に陥る証明を生成します。それを自己完結型の部分に分解するように指示すると、ステートメントを述べるだけで1ページかかるような補題を生成します。「なぜ？なぜ私にこんなことをするのですか？」と尋ねると、AIは「これ以上単純にはできません。それほど悪くはありません。あなたの問題は何ですか？」と言います。

しかし、AIとしばらく議論すると、議論の基本的な輪郭を理解し始めることができます。そして、「なぜまず、blahblahblahを心配せずに、blahをblahblahの仮定だけを使って証明しようとしないのですか？それはもっと簡単ではありませんか？」と尋ねます。多くの場合、これはうまくいきません。私のアイデアが悪かったか、AIがそれを実行するほど賢くないかのどちらかです。（どちらでしょうか？誰が知るでしょう！）しかし、数回の試行の後、私は通常、機能する何かを見つけることができ、AIはそれを使用して証明をいくらか単純な方法で書き直すことができます。これを何度も繰り返すと、複雑さを徐々に削り取ることができます。

しかし、それはまだ人間が理解しやすいように証明を単純化しているだけでしょうか？いいえ！一つには、これは通常証明を短くし、時には劇的に短くします。さらに重要なのは、このプロセス中に、誰か（私かもしれませんし、AIかもしれません）が、異なる証明戦略があり、より強力な結果をもたらすことに気づくことがよくあります。「x < 9.7」を証明する代わりに、「x < 7.1」を証明できるようになります。したがって、職人的な人間の抽象化は「客観的に」有用です。

8.

一部の人々は、私がやっていることの一部を、マルチエージェントのルーブ・ゴールドバーグ・マシンで自動化できると主張するかもしれません。私は確信がありません。なぜなら、賢い AGENTS.MD やカスタムスキル、ハーネスに多くの時間を投資することは、時間の有効な使い方ではないという経験があるからです。それらはある程度役立ちますが、物事は非常に速く変化するため、知識の半減期は短いです。また、これらのトリックに関する情報の大部分は、テクノロジー自体に興奮している人々から来ています。

一方、automatorは、「独立したエージェントに敵対的なレビューを依頼する」と入力するように私に言いました。そして、その7つの単語は非常に役立つことがわかりました。最先端から離れていたい人のための、退屈なベストプラクティスのソースを見つけられたらと思います。

9.

AIが私の生産性をそれほど向上させないもう一つの理由は、それがしばしば「緑色の光」、私から遠ざかる陶酔的な未来だからです。AIに何かを依頼すると、それはほとんどそれをやったように見えます。それで変更を依頼すると、それは役立つように見えますが、まだ完全に正しくはありません。数時間後、私は何も達成せず、何も学びませんでした。最終的に、自分で、または非常に厳しく管理されたAIでやり直すと、30分で完了します。このことが起こるたびに、私は愚かに感じ、二度としないように自分に言い聞かせます。しかし、リアルタイムで判断するのは非常に困難です。

10.

もちろん、AIが本質的に書くこと、考えること、または抽象化を作成することが苦手であると主張しているわけではありません。それらのすべてにおいて改善されており、今後もそうし続けると予想しています。私が言っているのは、2026年秋現在、人間はまだ貢献することがたくさんあり、それは単に優れた表現力だけではないということです。

11.

AIは2025年秋に実際に数学がずっと上手になったのでしょうか？あるいは、大局的に見れば、人間の数学的能力は狭い範囲に収まるのでしょうか？

12.

一部の人々は、新しい現実に反応して、喜んでAIを使用して、半ばまともな論文を大量に生成し、arXivに公開しています。この行動を駆動するインセンティブは理解できます。ある意味では、新しい現実への論理的な対応のように思えます。（車を発明した後、私たちはさらに多くの低価値な旅行をするようになりました。）しかし、これは社会的に有用ではないと思いますし、すぐに誰もがこれを恥ずかしいと思うようになると考えています。しかし…確信はありません。もしかしたら社会的に有用なのでしょうか？そして、この方法でワイヤリングされている人々、つまり、視野が狭まるのではなく、機会を見て略奪する人々に対して、かすかに嫉妬を感じています。

13.

楽観的でAIと進歩を支持する見解が欲しいですか？OKです。私の古い「数学をすること」のワークフローを取ると、AIはそれを厳密に改善します。大幅に改善します。それは、多くの点で私よりも賢く、信じられないほどの速度で働き、ほぼすべてを知っている、超献身的なインターンを持っているようなものです。

はい、AIは文章や抽象化の作成が苦手です。しかし、私が規律を守り、AIに助けを求めながら、主に「自分で」数学をやろうとすれば、以前よりもはるかに速くアイデアを探求し、はるかに少ない間違いをし、以前と同じくらい明確なものを作成し、同じだけの理解を深めることができます。「コフニ展開をしたらどうなる？」と尋ねて、すぐに答えを得ることができます。イラストやインタラクティブな視覚化を依頼して、すぐにそれらを見ることができます。議論の余地がありますが、これらの新しいツールがこの新しい領域を開拓してくれたこの瞬間に生きている私たちは、信じられないほど幸運です。

14.

そして、これが私が望んでいたことではありませんか？2024年に、私は嘆きました、AIが最も苦労しているように見えたのは、事実を正確に把握することでした。

おそらく、古いSFロボットは私たちの空想の投影でした。私は自分のスタイルと声が貴重で模倣できないものであることを望みます。私が創造性とセンスと魔法を提供するAIアシスタントを望みます。しかし、そうではありません。したがって、覚えておくべきです：AIが有用でありながら人間がある程度の比較優位を保持するシナリオでは、その比較優位がどこにあるのか気に入らないかもしれません。

少なくとも数学においては、そして少なくとも現時点では、私がカークであり、AIがスポックであるということです。（他の種類の文章でさえ、2024年以降、AIはスポックの次元よりもカークの次元でより改善されたという印象があります。）それは良いことです。

15.

過去数ヶ月間、共同研究者がAIを使用して何かを生成し、それを私に送って有用かどうかを確認するように依頼することがよくあります。これが合理的だと思われる理由はわかります。（本当に、わかります。）しかし、それが頻繁に起こると、人間の共同研究者の目的は何だろうかと不思議に思わずにはいられません。

16.

一方で、創作については、AIを全く書くために使わないことをお勧めします。質問があれば尋ねても構いませんが、一字一句自分で書いてください[3]。数学に関しては、それほど厳格な線引きは意味をなさないと感じます。良いものを作成するには、依然として人間の関与が多く必要であり、表記法に苦しみ、繰り返し再編成し、個々の文章を大幅に編集する必要があります。それでも、人々がその努力をすれば、手作業で作成できたものと同じくらい良いものを作成できるが、それでもおそらく50%はAIで書かれている可能性があると私は感じています[4]。

したがって、人々が「ケンタウロス数学」を送ってきても構いません。ただし、内容については責任を負うものとします。問題は、AIと協力するとき、理解を超えて物事が滑り落ちるのを防ぐために、絶え間ない偏執的な警戒が必要だということです。私はしばしば、人々をぎこちなく尋ねたくなることがあります。「OK、明らかにAIを使ってこれを作ったんですね…それはOKですが…このうちどれくらいをあなたは保証しますか？もし議論するための会議を開いたら、質問が始まった瞬間にあなたは崩壊しますか？」

17.

抽象化作成モードに入るとき、私は知的なことをしているように感じます。AIに悪い表記法や文章について叫ぶとき、私は味を提供しているように感じます。しかし、私はしばしば非常に基本的なように思えるフィードバックを提供していることに気づきます。例えば、「これはめちゃくちゃだ、片付けろ。」とか、「その仮定は必要か？」とか、「この問題を解決できないなら、なぜもっと簡単なバージョンを作成して最初に解決しないのか？」などです。

一方では、優れた人間のマネージャーの多くは、非常に基本的なフィードバックを提供することに相当すると推測できます。他方では、この種のことを行う上で私が多くの持続的な利点を持っていると想像するのは困難です。したがって、抽象化作成や味覚においても、どれだけの持続的な利点があるのか疑問に思います。

18.

AIが証明に長けていることに対する一般的な反応は、人間は表現にもっと焦点を当てる必要があるということです。これには、明白なブルデュー
風の批判があります：人間の画家はかつて写実主義を強く重視していましたが、カメラが発明された後、彼らは「ああ、写実主義は重要ではなく、重要なのは表現であり、偶然にもカメラはそれをできない」と皆を説得しました。数学における表現への移行は、単に人間がゴールポストを動かし、自身の継続的な関連性を正当化する方法ではないでしょうか？

その批判を回避する唯一の信頼できる方法は、事実を受け入れて、実際には、AIが登場する前から、数学はすでに表現にもっと焦点を当てるべきだったと言うことです。個人的には、これは真実であると強く信じています。

19.

私が生産的でない最大の理由は、何だと思いますか？それは何のためか？過去に、エレガントな証明を思いついたら、「私は何かを作った！他の人が私のものを見て使うだろう！私は人類の進歩を前進させている」と自分に言い聞かせたでしょう。今でもそう言えます。しかし、疑問に思わざるを得ません。誰かが実際にあなたの証明を読むでしょうか？それとも、別のAIに説明を求めるだけでしょうか？あなたの証明は、AIがそれをより良く説明するのに役立つでしょうか？どれくらいの期間？もし1年待ったら、別のAIが同じ証明を独自に生成するでしょうか？

1. または、普通の人は、LLMがまだ基本的な算術で苦労していると思うかもしれませんか？↩

2. AIの進歩は社会の適応能力に比べて非常に速いため、私たちは実際には「現在の均衡」がどのようになるのかを決して見ることができないかもしれません。↩

3. このエッセイは、もしあなたが疑問に思っているなら、一字一句自分で書いてAIには何も頼みませんでした。↩

4. そのパーセンテージが何を意味するかについて、丸一日の議論をすることができます。私の意見では、AIによって書かれた単語の数よりも、アイデアの全体的な構造に誰が責任を負っているかがより重要です。↩

ルール

• 技術用語は適切にカタカナ表記または原語のまま残し、それ以外の英単語は日本語に訳してください
• 数値と単位は原文の意味を正確に保って訳してください（例: trillion は「兆」）
• 本文は Markdown で与えられます。translatedBody も Markdown で書き、原文の構造（見出し・段落・箇条書き・番号付きリスト・引用・表・強調・取り消し線）をそのまま保ってください。段落の間には空行を入れ、全文を1つの塊にまとめないでください
• コードブロックとインラインコードは翻訳せずそのまま残してください
• リンク テキスト はテキストだけを翻訳し、URL は一字も変えずに残してください
• ［画像: …］［動画: …］［音声: …］［図: …］は原文に画像・動画・音声・図があった位置を示す印です。印の形と位置はそのまま残し、「…」の説明文だけを翻訳してください
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• タイトル先頭の「Ask HN:」「Show HN:」「Tell HN:」「Launch HN:」は翻訳せず、そのまま titleJa の先頭に残してください
• titleJa と summary は Markdown を使わないプレーンテキストで書いてください（太字、箇条書きの記号、# 見出し、テキスト のリンクなどの記法は使わない）
• 本文が取得できない場合は、タイトルから推測した簡潔な説明のみを記述し、「本文が取得できません」等の取得状況には一切言及しないでください
• 記事の順番を維持してください